在矩阵分析里，什么叫奇异值和奇异矩阵 非负矩阵分解和奇异值矩阵分解的区别
\u5982\u4f55\u7406\u89e3\u77e9\u9635\u5947\u5f02\u503c\u548c\u7279\u5f81\u503c\uff1f\u57fa\u672c\u4ecb\u7ecd
\u5947\u5f02\u503c\u5206\u89e3\u5728\u67d0\u4e9b\u65b9\u9762\u4e0e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u6216Hermite\u77e9\u9635\u57fa\u4e8e\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u7684\u5bf9\u89d2\u5316\u7c7b\u4f3c\u3002\u7136\u800c\u8fd9\u4e24\u79cd\u77e9\u9635\u5206\u89e3\u5c3d\u7ba1\u6709\u5176\u76f8\u5173\u6027\uff0c\u4f46\u8fd8\u662f\u6709\u660e\u663e\u7684\u4e0d\u540c\u3002\u5bf9\u79f0\u9635\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u5206\u89e3\u7684\u57fa\u7840\u662f\u8c31\u5206\u6790\uff0c\u800c\u5947\u5f02\u503c\u5206\u89e3\u5219\u662f\u8c31\u5206\u6790\u7406\u8bba\u5728\u4efb\u610f\u77e9\u9635\u4e0a\u7684\u63a8\u5e7f\u3002[1]
\u7f16\u8f91\u672c\u6bb5\u7406\u8bba\u63cf\u8ff0
\u5047\u8bbeM\u662f\u4e00\u4e2am\u00d7n\u9636\u77e9\u9635\uff0c\u5176\u4e2d\u7684\u5143\u7d20\u5168\u90e8\u5c5e\u4e8e\u57df K\uff0c\u4e5f\u5c31\u662f \u5b9e\u6570\u57df\u6216\u590d\u6570\u57df\u3002\u5982\u6b64\u5219\u5b58\u5728\u4e00\u4e2a\u5206\u89e3\u4f7f\u5f97
M = U\u03a3V*\uff0c
\u5176\u4e2dU\u662fm\u00d7m\u9636\u9149\u77e9\u9635\uff1b\u03a3\u662f\u534a\u6b63\u5b9am\u00d7n\u9636\u5bf9\u89d2\u77e9\u9635\uff1b\u800cV*\uff0c\u5373V\u7684\u5171\u8f6d\u8f6c\u7f6e\uff0c\u662fn\u00d7n\u9636\u9149\u77e9\u9635\u3002\u8fd9\u6837\u7684\u5206\u89e3\u5c31\u79f0\u4f5cM\u7684\u5947\u5f02\u503c\u5206\u89e3\u3002\u03a3\u5bf9\u89d2\u7ebf\u4e0a\u7684\u5143\u7d20\u03a3i,i\u5373\u4e3aM\u7684\u5947\u5f02\u503c\u3002
\u5e38\u89c1\u7684\u505a\u6cd5\u662f\u4e3a\u4e86\u5947\u5f02\u503c\u7531\u5927\u800c\u5c0f\u6392\u5217\u3002\u5982\u6b64\u03a3\u4fbf\u80fd\u7531M\u552f\u4e00\u786e\u5b9a\u4e86\u3002(\u867d\u7136U\u548cV\u4ecd\u7136\u4e0d\u80fd\u786e\u5b9a\u3002)
\u76f4\u89c2\u7684\u89e3\u91ca[2]
\u5728\u77e9\u9635M\u7684\u5947\u5f02\u503c\u5206\u89e3\u4e2d M = U\u03a3V*
\u00b7V\u7684\u5217(columns)\u7ec4\u6210\u4e00\u5957\u5bf9M\u7684\u6b63\u4ea4"\u8f93\u5165"\u6216"\u5206\u6790"\u7684\u57fa\u5411\u91cf\u3002\u8fd9\u4e9b\u5411\u91cf\u662fM*M\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u3002
\u00b7U\u7684\u5217(columns)\u7ec4\u6210\u4e00\u5957\u5bf9M\u7684\u6b63\u4ea4"\u8f93\u51fa"\u7684\u57fa\u5411\u91cf\u3002\u8fd9\u4e9b\u5411\u91cf\u662fMM*\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u3002
\u00b7\u03a3\u5bf9\u89d2\u7ebf\u4e0a\u7684\u5143\u7d20\u662f\u5947\u5f02\u503c\uff0c\u53ef\u89c6\u4e3a\u662f\u5728\u8f93\u5165\u4e0e\u8f93\u51fa\u95f4\u8fdb\u884c\u7684\u6807\u91cf\u7684"\u81a8\u80c0\u63a7\u5236"\u3002\u8fd9\u4e9b\u662fM*M\u53caMM*\u7684\u5947\u5f02\u503c\uff0c\u5e76\u4e0eU\u548cV\u7684\u884c\u5411\u91cf\u76f8\u5bf9\u5e94\u3002
\u5947\u5f02\u503c\u548c\u5947\u5f02\u5411\u91cf, \u4ee5\u53ca\u4ed6\u4eec\u4e0e\u5947\u5f02\u503c\u5206\u89e3\u7684\u5173\u7cfb
\u4e00\u4e2a\u975e\u8d1f\u5b9e\u6570\u03c3\u662fM\u7684\u4e00\u4e2a\u5947\u5f02\u503c\u4ec5\u5f53\u5b58\u5728Km \u7684\u5355\u4f4d\u5411\u91cfu\u548cKn\u7684\u5355\u4f4d\u5411\u91cfv\u5982\u4e0b \uff1a
\u5176\u4e2d\u5411\u91cfu \u548cv\u5206\u522b\u4e3a\u03c3\u7684\u5de6\u5947\u5f02\u5411\u91cf\u548c\u53f3\u5947\u5f02\u5411\u91cf\u3002
\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u7684\u5947\u5f02\u503c\u5206\u89e3
\u77e9\u9635\u03a3\u7684\u5bf9\u89d2\u7ebf\u4e0a\u7684\u5143\u7d20\u7b49\u4e8eM\u7684\u5947\u5f02\u503c. U\u548cV\u7684\u5217\u5206\u522b\u662f\u5947\u5f02\u503c\u4e2d\u7684\u5de6\u3001\u53f3\u5947\u5f02\u5411\u91cf\u3002\u56e0\u6b64,\u4e0a\u8ff0\u5b9a\u7406\u8868\u660e:
\u4e00\u4e2am \u00d7 n\u7684\u77e9\u9635\u81f3\u5c11\u6709\u4e00\u4e2a\u6700\u591a\u6709 p = min(m,n)\u4e2a\u4e0d\u540c\u7684\u5947\u5f02\u503c\u3002
\u603b\u662f\u53ef\u4ee5\u627e\u5230\u5728Km \u7684\u4e00\u4e2a\u6b63\u4ea4\u57faU\uff0c\u7ec4\u6210M\u7684\u5de6\u5947\u5f02\u5411\u91cf\u3002
\u603b\u662f\u53ef\u4ee5\u627e\u5230\u548cKn\u7684\u4e00\u4e2a\u6b63\u4ea4\u57faV\uff0c\u7ec4\u6210M\u7684\u53f3\u5947\u5f02\u5411\u91cf\u3002
\u5982\u679c\u4e00\u4e2a\u5947\u5f02\u503c\u4e2d\u53ef\u4ee5\u627e\u5230\u4e24\u4e2a\u5de6\uff08\u6216\u53f3\uff09\u5947\u5f02\u5411\u91cf\u662f\u7ebf\u6027\u76f8\u5173\u7684\uff0c\u5219\u79f0\u4e3a\u9000\u5316\u3002
\u975e\u9000\u5316\u7684\u5947\u5f02\u503c\u5177\u6709\u552f\u4e00\u7684\u5de6\u3001\u53f3\u5947\u5f02\u5411\u91cf\uff0c\u53d6\u51b3\u4e8e\u6240\u4e58\u7684\u5355\u4f4d\u76f8\u4f4d\u56e0\u5b50ei\u03c6\uff08\u6839\u636e\u5b9e\u9645\u4fe1\u53f7\uff09\u3002\u56e0\u6b64\uff0c\u5982\u679cM\u7684\u6240\u6709\u5947\u5f02\u503c\u90fd\u662f\u975e\u9000\u5316\u4e14\u975e\u96f6\uff0c\u5219\u5b83\u7684\u5947\u5f02\u503c\u5206\u89e3\u662f\u552f\u4e00\u7684\uff0c\u56e0\u4e3aU\u4e2d\u7684\u4e00\u5217\u8981\u4e58\u4ee5\u4e00\u4e2a\u5355\u4f4d\u76f8\u4f4d\u56e0\u5b50\u4e14\u540c\u65f6V\u4e2d\u76f8\u5e94\u7684\u5217\u4e5f\u8981\u4e58\u4ee5\u540c\u4e00\u4e2a\u76f8\u4f4d\u56e0\u5b50\u3002
\u6839\u636e\u5b9a\u4e49\uff0c\u9000\u5316\u7684\u5947\u5f02\u503c\u5177\u6709\u4e0d\u552f\u4e00\u7684\u5947\u5f02\u5411\u91cf\u3002\u56e0\u4e3a\uff0c\u5982\u679cu1\u548cu2\u4e3a\u5947\u5f02\u503c\u03c3\u7684\u4e24\u4e2a\u5de6\u5947\u5f02\u5411\u91cf\uff0c\u5219\u4e24\u4e2a\u5411\u91cf\u7684\u4efb\u610f\u89c4\u8303\u7ebf\u6027\u7ec4\u5408\u4e5f\u662f\u5947\u5f02\u503c\u03c3\u4e00\u4e2a\u5de6\u5947\u5f02\u5411\u91cf\uff0c\u7c7b\u4f3c\u7684\uff0c\u53f3\u5947\u5f02\u5411\u91cf\u4e5f\u5177\u6709\u76f8\u540c\u7684\u6027\u8d28\u3002\u56e0\u6b64\uff0c\u5982\u679cM \u5177\u6709\u9000\u5316\u7684\u5947\u5f02\u503c\uff0c\u5219\u5b83\u7684\u5947\u5f02\u503c\u5206\u89e3\u662f\u4e0d\u552f\u4e00\u7684\u3002
\u4e0e\u7279\u5f81\u503c\u5206\u89e3\u7684\u8054\u7cfb
\u51e0\u4f55\u610f\u4e49
\u56e0\u4e3aU \u548cV \u5411\u91cf\u90fd\u662f\u5355\u4f4d\u5316\u7684\u5411\u91cf, \u6211\u4eec\u77e5\u9053U\u7684\u5217\u5411\u91cfu1,...,um\u7ec4\u6210\u4e86Km\u7a7a\u95f4\u7684\u4e00\u7ec4\u6807\u51c6\u6b63\u4ea4\u57fa\u3002\u540c\u6837\uff0cV\u7684\u5217\u5411\u91cfv1,...,vn\u4e5f\u7ec4\u6210\u4e86Kn\u7a7a\u95f4\u7684\u4e00\u7ec4\u6807\u51c6\u6b63\u4ea4\u57fa(\u6839\u636e\u5411\u91cf\u7a7a\u95f4\u7684\u6807\u51c6\u70b9\u79ef\u6cd5\u5219).
\u7ebf\u6027\u53d8\u6362T: Kn \u2192 Km\uff0c\u628a\u5411\u91cfx\u53d8\u6362\u4e3aMx\u3002\u8003\u8651\u5230\u8fd9\u4e9b\u6807\u51c6\u6b63\u4ea4\u57fa\uff0c\u8fd9\u4e2a\u53d8\u6362\u63cf\u8ff0\u8d77\u6765\u5c31\u5f88\u7b80\u5355\u4e86: T(vi) = \u03c3i ui, for i = 1,...,min(m,n), \u5176\u4e2d\u03c3i \u662f\u5bf9\u89d2\u9635\u03a3\u4e2d\u7684\u7b2ci\u4e2a\u5143\u7d20; \u5f53i > min(m,n)\u65f6\uff0cT(vi) = 0\u3002
\u8fd9\u6837\uff0cSVD\u7406\u8bba\u7684\u51e0\u4f55\u610f\u4e49\u5c31\u53ef\u4ee5\u505a\u5982\u4e0b\u7684\u5f52\u7eb3\uff1a\u5bf9\u4e8e\u6bcf\u4e00\u4e2a\u7ebf\u6027\u6620\u5c04T: Kn \u2192 Km\uff0cT\u628aKn\u7684\u7b2ci\u4e2a\u57fa\u5411\u91cf\u6620\u5c04\u4e3aKm\u7684\u7b2ci\u4e2a\u57fa\u5411\u91cf\u7684\u975e\u8d1f\u500d\u6570,\u7136\u540e\u5c06\u4f59\u4e0b\u7684\u57fa\u5411\u91cf\u6620\u5c04\u4e3a\u96f6\u5411\u91cf\u3002\u5bf9\u7167\u8fd9\u4e9b\u57fa\u5411\u91cf\uff0c\u6620\u5c04T\u5c31\u53ef\u4ee5\u8868\u793a\u4e3a\u4e00\u4e2a\u975e\u8d1f\u5bf9\u89d2\u9635\u3002
\u5047\u8bbeM\u662f\u4e00\u4e2am\u00d7n\u9636\u77e9\u9635\uff0c\u5176\u4e2d\u7684\u5143\u7d20\u5168\u90e8\u5c5e\u4e8e\u57dfK\uff0c\u4e5f\u5c31\u662f\u5b9e\u6570\u57df\u6216\u590d\u6570\u57df\u3002\u5982\u6b64\u5219\u5b58\u5728\u4e00\u4e2a\u5206\u89e3\u4f7f\u5f97M=U\u03a3V*\uff0c\u5176\u4e2dU\u662fm\u00d7m\u9636\u9149\u77e9\u9635\uff1b\u03a3\u662f\u534a\u6b63\u5b9am\u00d7n\u9636\u5bf9\u89d2\u77e9\u9635\uff1b\u800cV*\uff0c\u5373V\u7684\u5171\u8f6d\u8f6c\u7f6e\uff0c\u662fn\u00d7n\u9636\u9149\u77e9\u9635\u3002\u8fd9\u6837\u7684\u5206\u89e3\u5c31\u79f0\u4f5cM\u7684\u5947\u5f02\u503c\u5206\u89e3\u3002\u03a3\u5bf9\u89d2\u7ebf\u4e0a\u7684\u5143\u7d20\u03a3i,i\u5373\u4e3aM\u7684\u5947\u5f02\u503c\u3002\u5e38\u89c1\u7684\u505a\u6cd5\u662f\u4e3a\u4e86\u5947\u5f02\u503c\u7531\u5927\u800c\u5c0f\u6392\u5217\u3002\u5982\u6b64\u03a3\u4fbf\u80fd\u7531M\u552f\u4e00\u786e\u5b9a\u4e86\u3002(\u867d\u7136U\u548cV\u4ecd\u7136\u4e0d\u80fd\u786e\u5b9a\u3002)\u5947\u5f02\u503c\u5206\u89e3\u5728\u67d0\u4e9b\u65b9\u9762\u4e0e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u6216Hermite\u77e9\u9635\u57fa\u4e8e\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u7684\u5bf9\u89d2\u5316\u7c7b\u4f3c\u3002\u7136\u800c\u8fd9\u4e24\u79cd\u77e9\u9635\u5206\u89e3\u5c3d\u7ba1\u6709\u5176\u76f8\u5173\u6027\uff0c\u4f46\u8fd8\u662f\u6709\u660e\u663e\u7684\u4e0d\u540c\u3002\u5bf9\u79f0\u9635\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u5206\u89e3\u7684\u57fa\u7840\u662f\u8c31\u5206\u6790\uff0c\u800c\u5947\u5f02\u503c\u5206\u89e3\u5219\u662f\u8c31\u5206\u6790\u7406\u8bba\u5728\u4efb\u610f\u77e9\u9635\u4e0a\u7684\u63a8\u5e7f\u3002
奇异值：对于一个实矩阵A（m×n阶），如果可以分解为A＝USV’，其中U和V为分别为m×n与n×m阶正交阵，S为n×n阶对角阵，且S＝diag（a1,a2,...,ar,0,...,0）。且有a1=a2=a3=...=ar=0.那么a1,a2,...,ar称为矩阵A的奇异值。U和V成为左右奇异阵列.
A的奇异值为A’A的特征值的平方根（A’表示A的转置矩阵），通过此可以求出奇异值.奇异矩阵就是行列失等于0的矩阵.
奇异值是矩阵里的概念，一般通过奇异值分解定理求得。奇异值分解是线性代数和矩阵论中一种重要的矩阵分解法，适用于信号处理和统计学等领域。
奇异矩阵是线性代数的概念，就是该矩阵的秩不是满秩。
首先，看这个矩阵是不是方阵（即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵）。
然后，再看此矩阵的行列式|A|是否等于0，若等于0，称矩阵A为奇异矩阵；若不等于0，称矩阵A为非奇异矩阵。
同时，由|A|≠0可知矩阵A可逆，这样可以得出另外一个重要结论：可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。
如果A为奇异矩阵，则AX=0有无穷解，AX=b有无穷解或者无解。如果A为非奇异矩阵，则AX=0有且只有唯一零解，AX=b有唯一解。
扩展资料
矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。这类系统的运动方程可以用矩阵的形式来表示，即用一个质量矩阵乘以一个广义速度来给出运动项，用力矩阵乘以位移向量来刻画相互作用。
求系统的解的最优方法是将矩阵的特征向量求出（通过对角化等方式），称为系统的简正模式。
这种求解方式在研究分子内部动力学模式时十分重要：系统内部由化学键结合的原子的振动可以表示成简正振动模式的叠加。描述力学振动或电路振荡时，也需要使用简正模式求解。
参考资料：搜狗百科——奇异值
参考资料：搜狗百科——奇异矩阵
参考资料：搜狗百科——矩阵
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