一元二次方程该怎么解，要详细，明天就要期末考试了…… 一元二次方程怎么解
\u600e\u6837\u5217\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0c\u5feb\u554a\uff0c\u660e\u5929\u5c31\u8003\u8bd5\u4e86\u5982\u4f55\u5217\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u89e3\u5e94\u7528\u9898
\u540c\u5b66\u4eec\u77e5\u9053\uff0c\u5e94\u7528\u9898\u4e00\u822c\u90fd\u662f\u7531\u5927\u91cf\u7684\u6587\u5b57\u6765\u53d9\u8ff0\u95ee\u9898\u7684\uff0c\u56e0\u800c\u6c42\u89e3\u65f6\u4e00\u822c\u90fd\u6bd4\u8f83\u68d8\u624b\uff0c\u7279\u522b\u662f\u5217\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u89e3\u5e94\u7528\u95ee\u9898\uff0c\u66f4\u662f\u8ba9\u540c\u5b66\u4eec\u96be\u4ee5\u4e0b\u7b14\u4e0d\u89e3.\u90a3\u4e48\u5982\u4f55\u624d\u80fd\u5feb\u901f\u3001\u6b63\u786e\u5730\u6c42\u89e3\u5e94\u7528\u9898\u5462\uff1f\u7b14\u8005\u8ba4\u4e3a\u9996\u5148\u5e94\u601d\u60f3\u4e0a\u6218\u80dc\u5b83\uff1b\u5176\u6b21\u662f\u8981\u8ba4\u771f\u5730\u9605\u8bfb\u5206\u6790\u9898\u610f\uff1b\u7b2c\u4e09\u662f\u8981\u80fd\u5b66\u4f1a\u5206\u89e3\u9898\u76ee\uff0c\u5404\u4e2a\u51fb\u7834\uff0c\u4ece\u800c\u627e\u5230\u5df2\u77e5\u7684\u6761\u4ef6\u548c\u672a\u77e5\u95ee\u9898\uff0c\u5fc5\u8981\u65f6\u53ef\u4ee5\u901a\u8fc7\u753b\u56fe\u3001\u5217\u8868\u7b49\u65b9\u6cd5\u6765\u5e2e\u52a9\u6211\u4eec\u7406\u987a\u5df2\u77e5\u4e0e\u672a\u77e5\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb\uff0c\u627e\u5230\u4e00\u4e2a\u6216\u51e0\u4e2a\u76f8\u7b49\u7684\u5f0f\u5b50\uff1b\u7b2c\u56db\u662f\u8981\u53ca\u65f6\u5730\u68c0\u9a8c\u7b54\u6848\u7684\u6b63\u786e\u6027.\u73b0\u4e3e\u4e24\u4f8b\u8bf4\u660e.
\u3000
\u4f8b1\u3000\u67d0\u79cd\u5546\u54c1\u539f\u4ef750\u5143.\u56e0\u9500\u552e\u4e0d\u7545\uff0c3\u6708\u4efd\u964d\u4ef710%\uff0c\u4ece4\u6708\u4efd\u5f00\u59cb\u6da8\u4ef7\uff0c5\u6708\u4efd\u7684\u552e\u4ef7\u4e3a64.8\u5143\uff0c\u8bd5\u6c424\u30015\u6708\u4efd\u4e24\u4e2a\u6708\u5e73\u5747\u6da8\u4ef7\u7387.
\u7b80\u6790\u3000\u8bbe4\u30015\u6708\u4efd\u4e24\u4e2a\u6708\u5e73\u5747\u6da8\u4ef7\u7387\u4e3ax\uff0c\u5219\u6839\u636e\u9898\u610f\uff0c\u5f9750\u00d7(1\uff0d10\uff05)(1+
x)2\uff1d64.8\uff0c\u5373(1+x)2\uff1d1.44\uff0c\u89e3\u4e4b\uff0c\u5f971+x\uff1d\u00b11.2\uff0c\u6240\u4ee5x1\uff1d0.2\uff1d20\uff05\uff0cx2\uff1d\uff0d2.2\uff08\u820d\u53bb\uff09\uff0c\u53734\u30015\u6708\u4efd\u4e24\u4e2a\u6708\u5e73\u5747\u6da8\u4ef7\u7387\u4e3a20\uff05.
\u8bf4\u660e\u3000\u672c\u9898\u7684\u89e3\u7b54\u8fc7\u7a0b\u4e2d\uff0c\u9664\u4e86\u6b63\u5e38\u5730\u6c42\u89e3\u5916\uff0c\u5f97\u5230\u4e24\u4e2a\u672a\u77e5\u6570\u7684\u503c\uff0c\u5176\u4e2d\u4e00\u4e2a\u662f\u6b63\u503c\uff0c\u53e6\u4e00\u4e2a\u662f\u8d1f\u503c\uff0c\u4f46\u7531\u4e8e\u672c\u9898\u4e2d\u7684\u589e\u957f\u7387\u5fc5\u987b\u662f\u6b63\u503c
\u53ea\u542b\u6709\u4e00\u4e2a\u672a\u77e5\u6570\uff0c\u4e14\u672a\u77e5\u6570\u7684\u6700\u9ad8\u6b21\u6570\u662f2\u6b21\u7684\u6574\u5f0f\u65b9\u7a0b\u53eb\u505a\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b( quadratic equation of one variable )\u3002 \u3000\u3000\u3000\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u6709\u56db\u4e2a\u7279\u70b9\uff1a \u3000\u3000(1)\u542b\u6709\u4e00\u4e2a\u672a\u77e5\u6570\uff1b \u3000\u3000(2)\u4e14\u672a\u77e5\u6570\u6b21\u6570\u6700\u9ad8\u6b21\u6570\u662f2\uff1b \u3000\u3000(3)\u662f\u6574\u5f0f\u65b9\u7a0b\uff0e\u8981\u5224\u65ad\u4e00\u4e2a\u65b9\u7a0b\u662f\u5426\u4e3a\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0c\u5148\u770b\u5b83\u662f\u5426\u4e3a\u6574\u5f0f\u65b9\u7a0b\uff0c\u82e5\u662f\uff0c\u518d\u5bf9\u5b83\u8fdb\u884c\u6574\u7406\uff0e\u5982\u679c\u80fd\u6574\u7406\u4e3a ax^2+bx+c=0(a\u22600)\u7684\u5f62\u5f0f\uff0c\u5219\u8fd9\u4e2a\u65b9\u7a0b\u5c31\u4e3a\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0e \u3000\u3000(4)\u5c06\u65b9\u7a0b\u5316\u4e3a\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\uff1aax^2+bx+c=0\u65f6\uff0c\u5e94\u6ee1\u8db3\uff08a\u3001b\u3001c\u4e3a\u5e38\u6570\uff0ca\u22600\uff09
\u7f16\u8f91\u672c\u6bb5\u8865\u5145\u8bf4\u660e
\u3000\u30001\u3001\u8be5\u90e8\u5206\u7684\u77e5\u8bc6\u4e3a\u521d\u7b49\u6570\u5b66\u77e5\u8bc6\uff0c\u4e00\u822c\u5728\u521d\u4e8c\u5c31\u6709\u5b66\u4e60\u3002(\u4f46\u4e00\u822c\u4e8c\u6b21\u51fd\u6570\u4e0e\u53cd\u6bd4\u4f8b\u51fd\u6570\u4f1a\u6d89\u53ca\u5230\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u6cd5) \u3000\u30002\u3001\u8be5\u90e8\u5206\u662f\u9ad8\u8003\u7684\u70ed\u70b9\u3002 \u3000\u30003\u3001\u65b9\u7a0b\u7684\u4e24\u6839\u4e0e\u65b9\u7a0b\u4e2d\u5404\u6570\u6709\u5982\u4e0b\u5173\u7cfb\uff1a X1+X2= -b/a\uff0cX1\u00b7X2=c/a\uff08\u4e5f\u79f0\u97e6\u8fbe\u5b9a\u7406\uff09 \u3000\u30004\u3001\u65b9\u7a0b\u4e24\u6839\u4e3ax1\uff0cx2\u65f6\uff0c\u65b9\u7a0b\u4e3a\uff1ax^2-(x1+x2)X+x1x2=0 (\u6839\u636e\u97e6\u8fbe\u5b9a\u7406\u9006\u63a8\u800c\u5f97) \u3000\u30005\u3001b^2-4ac>0\u67092\u4e2a\u4e0d\u76f8\u7b49\u7684\u5b9e\u6570\u6839\uff0cb^2-4ac=0\u6709\u4e24\u4e2a\u76f8\u7b49\u7684\u5b9e\u6570\u6839\uff0cb^2-4ac<0\u65e0\u5b9e\u6570\u6839\u3002
\u4e00\u822c\u5f0f
\u3000\u3000ax^2+bx+c=0\uff08a\u3001b\u3001c\u662f\u5b9e\u6570\uff0ca\u22600) \u3000\u3000\u4f8b\u5982\uff1ax^2+2x+1=0
\u914d\u65b9\u5f0f
\u3000\u3000(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2
\u4e24\u6839\u5f0f
\u3000\u3000a(x-x1)(x-x2)=0 \u3000\u3000\u4e00\u822c\u89e3\u6cd5
1.\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5
\u3000\u3000\uff08\u53ef\u89e3\u90e8\u5206\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff09 \u3000\u3000\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\u53c8\u5206\u201c\u63d0\u516c\u56e0\u5f0f\u6cd5\u201d\u3001\u201c\u516c\u5f0f\u6cd5\uff08\u53c8\u5206\u201c\u5e73\u65b9\u5dee\u516c\u5f0f\u201d\u548c\u201c\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u516c\u5f0f\u201d\u4e24\u79cd\uff09\u201d\u548c\u201c\u5341\u5b57\u76f8\u4e58\u6cd5\u201d\u3002\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\u662f\u901a\u8fc7\u5c06\u65b9\u7a0b\u5de6\u8fb9\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6240\u5f97\uff0c\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u7684\u5185\u5bb9\u5728\u516b\u5e74\u7ea7\u4e0a\u5b66\u671f\u5b66\u5b8c\u3002 \u3000\u3000\u5982 \u3000\u30001.\u89e3\u65b9\u7a0b\uff1ax^2+2x+1=0 \u3000\u3000\u89e3\uff1a\u5229\u7528\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u516c\u5f0f\u56e0\u5f0f\u89e3\u5f97\uff1a\uff08x+1\ufe5a^2=0 \u3000\u3000\u89e3\u5f97\uff1ax₁= x₂=-1 \u3000\u30002.\u89e3\u65b9\u7a0bx\uff08x+1\uff09-3\uff08x+1\uff09=0 \u3000\u3000\u89e3\uff1a\u5229\u7528\u63d0\u516c\u56e0\u5f0f\u6cd5\u89e3\u5f97\uff1a\uff08x-3\uff09\uff08x+1\uff09=0 \u3000\u3000\u5373 x-3=0 \u6216 x+1=0 \u3000\u3000\u2234 x₁=3\uff0cx₂=-1 \u3000\u30003.\u89e3\u65b9\u7a0bx^2-4=0 \u3000\u3000\u89e3\uff1a\uff08x+2\uff09\uff08x-2\uff09=0 \u3000\u3000x+2=0\u6216x-2=0 \u3000\u3000\u2234 x₁=-2\uff0cx₂= 2 \u3000\u3000\u5341\u5b57\u76f8\u4e58\u6cd5\u516c\u5f0f\uff1a \u3000\u3000x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) \u3000\u3000\u4f8b\uff1a \u3000\u30001. ab+b^2+a-b- 2 \u3000\u3000=ab+a+b^2-b-2 \u3000\u3000=a(b+1)+(b-2)(b+1) \u3000\u3000=(b+1)(a+b-2)
2.\u516c\u5f0f\u6cd5
\u3000\u3000\uff08\u53ef\u89e3\u5168\u90e8\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff09 \u3000\u3000\u9996\u5148\u8981\u901a\u8fc7\u0394=b^2-4ac\u7684\u6839\u7684\u5224\u522b\u5f0f\u6765\u5224\u65ad\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u6709\u51e0\u4e2a\u6839 \u3000\u30001.\u5f53\u0394=b^2-4ac0\u65f6 x\u6709\u4e24\u4e2a\u4e0d\u76f8\u540c\u7684\u5b9e\u6570\u6839 \u3000\u3000\u5f53\u5224\u65ad\u5b8c\u6210\u540e\uff0c\u82e5\u65b9\u7a0b\u6709\u6839\u53ef\u6839\u5c5e\u4e8e2\u30013\u4e24\u79cd\u60c5\u51b5\u65b9\u7a0b\u6709\u6839\u5219\u53ef\u6839\u636e\u516c\u5f0f\uff1ax={-b\u00b1\u221a\uff08b^2\uff0d4ac\uff09}/2a \u3000\u3000\u6765\u6c42\u5f97\u65b9\u7a0b\u7684\u6839
3.\u914d\u65b9\u6cd5
\u3000\u3000\uff08\u53ef\u89e3\u5168\u90e8\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff09 \u3000\u3000\u5982\uff1a\u89e3\u65b9\u7a0b\uff1ax^2+2x\uff0d3=0 \u3000\u3000\u89e3\uff1a\u628a\u5e38\u6570\u9879\u79fb\u9879\u5f97\uff1ax^2+2x=3 \u3000\u3000\u7b49\u5f0f\u4e24\u8fb9\u540c\u65f6\u52a01\uff08\u6784\u6210\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u5f0f\uff09\u5f97\uff1ax^2+2x+1=4 \u3000\u3000\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u5f97\uff1a\uff08x+1)^2=4 \u3000\u3000\u89e3\u5f97\uff1ax₁=-3,x₂=1 \u3000\u3000\u7528\u914d\u65b9\u6cd5\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u5c0f\u53e3\u8bc0 \u3000\u3000\u4e8c\u6b21\u7cfb\u6570\u5316\u4e3a\u4e00 \u3000\u3000\u5e38\u6570\u8981\u5f80\u53f3\u8fb9\u79fb \u3000\u3000\u4e00\u6b21\u7cfb\u6570\u4e00\u534a\u65b9 \u3000\u3000\u4e24\u8fb9\u52a0\u4e0a\u6700\u76f8\u5f53
4.\u5f00\u65b9\u6cd5
\u3000\u3000\uff08\u53ef\u89e3\u90e8\u5206\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff09 \u3000\u3000\u5982\uff1ax^2-24=1 \u3000\u3000\u89e3\uff1ax^2=25 \u3000\u3000x=\u00b15 \u3000\u3000\u2234x₁=5 x₂=-5
5.\u5747\u503c\u4ee3\u6362\u6cd5
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\u5f00\u653e\u5206\u7c7b\uff1a
\u6570\u5b66\uff0c\u65b9\u7a0b\uff0c\u97e6\u8fbe\u5b9a\u7406
\u6211\u6765\u5b8c\u5584 \u201c\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u201d\u76f8\u5173\u8bcd\u6761\uff1a
\u4e8c\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u4e8c\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u4e09\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u4e00\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u4e00\u5143\u56db\u6b21\u65b9\u7a0b\u7edf\u8ba1\u521d\u6b65
\u7edd\u5bf9\u503c\u4e8c\u6b21\u6839\u5f0f\u76f8\u4f3c\u56fe\u5f62\u5206\u5f0f\u4e8c\u6b21\u51fd\u6570\u4e8c\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u7ec4\u6b63\u6bd4\u4f8b\u51fd\u6570\u6362\u5143\u6cd5\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u89e3\u6cd5\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b
\u6258\u52d2\u5bc6\u5b9a\u7406\u76f8\u4ea4\u5f26\u5b9a\u7406\u5207\u7ebf\u65b9\u7a0b\u4e8c\u5143\u4e00\u6b21\u4e0d\u7b49\u5f0f\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62
\u4e8c\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b \u4e8c\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b \u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b \u4e09\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b \u4e00\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b \u4e00\u5143\u56db\u6b21\u65b9\u7a0b \u7edf\u8ba1\u521d\u6b65 \u4e8c\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7ec4 \u7edd\u5bf9\u503c \u4e8c\u6b21\u6839\u5f0f \u76f8\u4f3c\u56fe\u5f62 \u5206\u5f0f \u4e8c\u6b21\u51fd\u6570 \u4e8c\u5143\u4e00\u6b21\u65b9\u7a0b\u7ec4 \u6b63\u6bd4\u4f8b\u51fd\u6570 \u6362\u5143\u6cd5 \u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u89e3\u6cd5 \u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b \u97e6\u8fbe\u5b9a\u7406 \u6258\u52d2\u5bc6\u5b9a\u7406 \u76f8\u4ea4\u5f26\u5b9a\u7406 \u5207\u7ebf\u65b9\u7a0b \u4e8c\u5143\u4e00\u6b21\u4e0d\u7b49\u5f0f \u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62
\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u5b9a\u4e49\u8865\u5145\u8bf4\u660e\u4e00\u822c\u5f0f\u914d\u65b9\u5f0f\u4e24\u6839\u5f0f1.\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd52.\u516c\u5f0f\u6cd53.\u914d\u65b9\u6cd54.\u5f00\u65b9\u6cd55.\u5747\u503c\u4ee3\u6362\u6cd5\u5982\u4f55\u9009\u62e9\u6700\u7b80\u5355\u7684\u89e3\u6cd5\u4f8b\u9898\u7cbe\u8bb2\u5c0f\u7ed3\u8bfe\u5916\u62d3\u5c55\u5224\u522b\u65b9\u6cd5\u5217\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u89e3\u9898\u7684\u6b65\u9aa4\u7ecf\u5178\u4f8b\u9898\u7cbe\u8bb2\u97e6\u8fbe\u5b9a\u7406\u8ba1\u7b97\u673a\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b
在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．
[编辑本段]一般形式
ax^2+bx+c=0（a、b、c是实数a≠0)
x^2+2x+1=0
[编辑本段]一般解法
1..配方法（可解所有一元二次方程）
2.公式法（可解所有一元二次方程）
3.因式分解法（可解部分一元二次方程）
4.开方法（可解部分一元二次方程）一元二次方程的解法实在不行(你买个卡西欧的fx-500或991的计算器 有解方程的，不过要一般形式)
一、知识要点：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基
础，应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为：ax^2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2
的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解
法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
方程，其解为x=m±√n
例1．解方程（1）(3x+1)^2=7 （2）9x^2-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2，右边=11>0，所以
此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)^2=7
∴(3x+1)^2=7
∴3x+1=±√7(注意不要丢解)
∴x= ...
∴原方程的解为x1=...,x2= ...
（2）解： 9x^2-24x+16=11
∴(3x-4)^2=11
∴3x-4=±√11
∴x= ...
∴原方程的解为x1=...,x2= ...
2．配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)
先将固定数c移到方程右边：ax^2+bx=-c
将二次项系数化为1：x^2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x^2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=
当b2-4ac≥0时，x+ =±
∴x=...(这就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x^2-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边 3x^2-4x=2
将二次项系数化为1：x^2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x^2-x+( )^2= +( )^2
配方：(x-)^2=
直接开平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2= .
3．公式法：把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式，然后把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。
当b^2-4ac>0时，求根公式为x1=-b+√(b^2-4ac)/2a,x2==-b-√(b^2-4ac)/2a（两个不相等的实数根）
当b^2-4ac=0时，求根公式为x1=x2=-b/2a（两个相等的实数根）
当b^2-4ac<0时，求根公式为x1=-b+√(4ac-b^2)i/2a,x2=-b-√(4ac-b^2)i/2a（两个共轭的虚数根）（初中理解为无实数根）
例3．用公式法解方程 2x^2-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x^2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解为x1=,x2= .
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让
两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0
(3) 6x^2+5x-50=0 (选学） (4)x^2-4x+4=0 （选学）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x^2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x^2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(3)解：6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解：x^2-4x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小结：
一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般
形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式
法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程
是否有解。
配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方
法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。
例5．用适当的方法解下列方程。(选学）
（1）4(x+2)^2-9(x-3)^2=0 （2）x^2+2x-3=0
（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差
公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。
（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。
（3）化成一般形式后利用公式法解。
（4）把方程变形为 4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。
（1）解：4(x+2)^2-9(x-3)^2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
（2）解： x^2+2x-3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3，x2=1
（3）解：x^2-2 x=-
x^2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )^2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
（4）解：4x^2-4mx-10x+m^2+5m+6=0
4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6．求方程3(x+1)^2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)^2=0的二根。 (选学）
分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我
们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方
法）
解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7．用配方法解关于x的一元二次方程x^2+px+q=0
解：x^2+px+q=0可变形为
x^2+px=-q (常数项移到方程右边)
x^2+px+( )2=-q+( )2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
(x+)2= (配方)
当p^2-4q≥0时，≥0（必须对p^2-4q进行分类讨论）
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
当p^2-4q<0时，<0此时原方程无实根。
说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母
取值的要求，必要时进行分类讨论。
练习：
（一）用适当的方法解下列方程：
1. 6x^2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
3. x^2-x=0 4. x^2-4x+4=0
5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
（二）解下列关于x的方程
1.x^2-ax+-b2=0 2. x^2-( + )ax+ a2=0
练习参考答案：
（一）1.x1=-1/2 ,x2=2/3 2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6.解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式）
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
即 (2x+9)(2x+2)=0
∴2x+9=0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
（二）1．解：x^2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x^2-(+ )ax+ a· a=0
[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是
原方程的解。 原方程的解。
测试(有答案在下面)
选择题
1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ）
A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5
2．多项式a2+4a-10的值等于11，则a的值为（ ）。
A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7
3．若一元二次方程ax^2+bx+c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个
根是（ ）。
A、0 B、1 C、-1 D、±1
4． 一元二次方程ax^2+bx+c=0有一个根是零的条件为（ ）。
A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0
C、b=0且c=0 D、c=0
5． 方程x^2-3x=10的两个根是（ ）。
A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5
6． 方程x^2-3x+3=0的解是（ ）。
A、 B、 C、 D、无实根
7． 方程2x^2-0.15=0的解是（ ）。
A、x= B、x=-
C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-
8． 方程x^2-x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）。
A、(x-)2= B、(x- )2=-
C、(x- )2= D、以上答案都不对
9． 已知一元二次方程x^2-2x-m=0，用配方法解该方程配方后的方程是（ ）。
A、(x-1)^2=m2+1 B、(x-1)^2=m-1 C、(x-1)^2=1-m D、(x-1)^2=m+1
答案与解析
答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
解析：
1．分析：移项得：(x-5)^2=0，则x1=x2=5,
注意：方程两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次方程有实数根，一定是两个。
2．分析：依题意得：a^2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.
3．分析：依题意：有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时， ax^2+bx+c=a+b+c，意味着当x=1
时，方程成立，则必有根为x=1。
4．分析：一元二次方程 ax^2+bx+c=0若有一个根为零，
则ax^2+bx+c必存在因式x，则有且仅有c=0时，存在公因式x，所以 c=0.
另外，还可以将x=0代入，得c=0，更简单！
5．分析：原方程变为 x^2-3x-10=0,
则(x-5)(x+2)=0
x-5=0 或x+2=0
x1=5, x2=-2.
6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，则原方程无实根。
7．分析：2x2=0.15
x2=
x=±
注意根式的化简，并注意直接开平方时，不要丢根。
8．分析：两边乘以3得：x^2-3x-12=0，然后按照一次项系数配方，x^2-3x+(-)2=12+(- )^2，
整理为：(x-)2=
方程可以利用等式性质变形，并且 x^2-bx配方时，配方项为一次项系数-b的一半的平方。
9．分析：x^2-2x=m, 则 x^2-2x+1=m+1
则(x-1)^2=m+1.
中考解析
考题评析
1．（甘肃省）方程的根是（ ）
（A） （B） （C） 或 （D） 或
评析：因一元二次方程有两个根，所以用排除法，排除A、B选项，再用验证法在C、D选项中选出正确
选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元
二次方程是两个根，所以是错误的，而选项D中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是错误的。正确选项为
C。
另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式，使得方程丢根，这种错误要避免。
2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。
评析：思路，根据方程的特点运用因式分解法，或公式法求解即可。
3．（辽宁省）方程的根为（ ）
（A）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1
评析：思路：因方程为一元二次方程，所以有两个实根，用排除法和验证法可选出正确选项为C，而A、
B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。
4．（河南省）已知x的二次方程的一个根是–2，那么k=__________。
评析：k=4.将x=-2代入到原方程中去，构造成关于k的一元二次方程，然后求解。
5．（西安市）用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（ ）
（A）x=3+2 （B）x=3-2
（C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2
评析：用解方程的方法直接求解即可，也可不计算，利用一元二次方程有解，则必有两解及8的平方
根，即可选出答案。
课外拓展
一元二次方程
一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二
次的整式方程。 一般形式为
ax^2+bx+c=0, (a≠0)
在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它
的倒数之和等于 一个已给数，即求出这样的x与，使
x=1, x+ =b,
x^2-bx+1=0,
他们做出( )2；再做出 ，然后得出解答：+ 及 - 。可见巴比伦人已知道一元二次
方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数，所以负根是略而不提的。
埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax^2=b。
在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次方程的求根公式。
希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中
之一。
公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x^2+px+q=0的一个求根公
式。
在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种
不同的形式，令 a、b、c为正数，如ax^2=bx、ax^2=c、 ax^2+c=bx、ax^2+bx=c、ax^2=bx+c 等。把二次方程分成
不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一 次
给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的
数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。
韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。
我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x^2+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学
家还在方程的研究中应用了内插法。
[编辑本段]判别方法
一元二次方程的判断式：
b^2-4ac>0 方程有两个不相等的实数根．
b^2-4ac＝0 方程有两个相等的实数根．
b^2-4ac<0 方程有两个共轭的虚数根（初中可理解为无实数根）．
上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．
[编辑本段]列一元二次方程解题的步骤
(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；
(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；
(3)找出相等关系，并用它列出方程；
(4)解方程求出题中未知数的值；
(5)检验所求的答案是否符合题意，并做答．
[编辑本段]经典例题精讲
1．对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．
2．解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．
3．一元二次方程 (a≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．
4．一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
[编辑本段]韦达定理
韦达（Vieta's ，Francois，seigneurdeLa Bigotiere）1540年出生于法国普瓦捷,1603年12月13日卒于巴黎。早年在普法捷学习法律，后任律师，1567年成为议会的议员。在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码，赢得很高声誉。法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。
他1540年生于法国的普瓦图。1603年12月13日卒于巴黎。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。
韦达定理实质上就是一元二次方程中的根与系数关系
韦达定理(Viete's Theorem）的内容
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中
设两个根为X1和X2
则X1+X2= -b/a
X1*X2=c/a
韦达定理的推广
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0
它的根记作X1,X2…,Xn
我们有
∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，∏是求积。
如果一元二次方程
在复数集中的根是，那么
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程
在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：
其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
韦达定理的证明
设x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解。
有:a(x-x1)(x-x2)=0
所以 ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2=0
通过对比系数可得：
-a(x1+x2)=b ax1x2=c
所以 x1+x2=-b/a x1x2=c/a
韦达定理推广的证明
设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。
则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i （在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理）
通过系数对比可得：
A（n-1）=-An(∑xi)
A（n-2）=An(∑xixj)
…
A0==(-1)^n*An*∏Xi
所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，∏是求积。
[编辑本段]计算机解一元二次方程
VB实现方法
'该代码仅可实现一般形式的求值，并以对话框形式显示。
dim a,b,c,i
'在这里添加a、b、c的赋值过程
'例如：a=text1.text
'b=text2.text
'c=text3.text
if a*2 <> 0 then
i=((0-b)+Sqr(b^2-4*a*c))/2
msgbox i
i=((0-b)-Sqr(b^2-4*a*c))/2
msgbox i
else
msgbox("2a为零")
end if
一元二次方程的通式为ax2+bx+c=0（其中a、b、c均为实数且a≠0），解方程的步骤如下：1. 判别式：计算Δ=b2-4ac的值，判断方程的解的情况。当Δ\u003e0时，方程有两个不同实数根；当Δ=0时，方程有两个相等实数根；当Δ\u003c0时，方程无实数根，有两个虚数根。2. 求根公式：根据判别式的情况，使用不同的求根公式求解方程。具体公式如下：（1）当Δ\u003e0时，方程有两个不同实数根：x? = (-b+√Δ)/2ax? = (-b-√Δ)/2a（2）当Δ=0时，方程有两个相等实数根：x?=x?=-b/2a（3）当Δ\u003c0时，方程无实数根，有两个虚数根：x? = (-b+√|Δ|)i/2ax? = (-b-√|Δ|)i/2a其中i为虚数单位，即i2=-1。3. 化简答案：根据题目要求，化简答案为整数、分数或小数形式。4. 检验答案：将求出的根代入原方程中检验，确保答案正确。以上就是一元二次方程的解法，希望对您有所帮助。祝您考试成功！
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