如何利用矩阵的初等行变换判断向量组线性相关或线性无关？ 怎样判断向量组是线性相关还是线性无关
\u5982\u4f55\u5229\u7528\u77e9\u9635\u7684\u521d\u7b49\u884c\u53d8\u6362\u5224\u65ad\u5411\u91cf\u7ec4\u7ebf\u6027\u76f8\u5173\u6216\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\uff1fm\u4e2an\u7ef4\u5217\u5411\u91cf\u03b11,\u03b12,\u2026\u2026\uff0c\u03b1m\uff0c\u5982\u679cm\uff1en.\uff5b\u03b11,\u03b12,\u2026\u2026\uff0c\u03b1m\uff5d\u5fc5\u7136\u7ebf\u6027\u76f8\u5173\u3002
\u5f53m\u2264n\u65f6\u3002\u5bf9n\u884cm\u5217\u77e9\u9635\uff08\u03b11,\u03b12,\u2026\u2026\uff0c\u03b1m\uff09\uff0c\u8fdb\u884c\u884c\u521d\u7b49\u53d8\u6362\u3002\u76ee\u6807\u662f\u6709r
\u5217\u3002\u5176\u524dr\u884c\u6784\u6210\u7684\u5b50\u5f0f\u53d8\u6210r\u9636\u5355\u4f4d\u77e9\u9635\u3002\u5e76\u4e14\u6574\u4e2a\u77e9\u9635\uff0c\u81ear+1\u884c\u4e4b\u540e\u5168\u90e8\u4e3a
\u96f6\u3002
\u5982\u679cr\uff1dn.\u5219.\uff5b\u03b11,\u03b12,\u2026\u2026\uff0c\u03b1m\uff5d\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u3002
\u5982\u679cr\uff1cn..\uff5b\u03b11,\u03b12,\u2026\u2026\uff0c\u03b1m\uff5d\u7ebf\u6027\u76f8\u5173\u3002
\u5e76\u4e14\uff1a\u8fd8\u540c\u65f6\u89e3\u51b3\u4e86\u4e24\u4e2a\u5176\u4ed6\u7684\u91cd\u8981\u95ee\u9898\u3002\u2460\u627e\u51fa\u4e86\u6700\u5927\u65e0\u5173\u7ec4\u3002
\u2461\u627e\u51fa\u4e86\u201c\u5176\u4ed6\u201d\u5411\u91cf\u5173\u4e8e\u8fd9\u4e2a\u6700\u5927\u65e0\u5173\u7ec4\u7684\u8868\u793a\u5f0f\u3002
\u4f8b\u5982\uff08\u03b11,\u03b12,\u03b13,\u03b14,\u03b15\uff09\u2192\u884c\u521d\u7b49\u53d8\u6362\u2192
2,
1,
3,
0,
0
-1,
0,
2,
1,
0
12,
0.-2,
0,
1
0,
0,
0,
0,
0.\uff08\u6807\u51c6\u5f62\uff09\uff0c\u5219\u6709\uff1a
\u2460\u3002\uff5b\u03b11,\u03b12,\u03b13,\u03b14,\u03b15\uff5d\u7ebf\u6027\u76f8\u5173\u3002\uff08\u22353\uff1dr\uff1c4\uff1dn\uff09
\u2461\u3002\u6700\u5927\u65e0\u5173\u7ec4\u4e3a\uff5b\u03b12\uff0c\u03b14\uff0c\u03b15\uff5d\uff08\u5f53\u7136\u4e0d\u552f\u4e00\u3002\uff09
\u2462\u3002\u03b11=2\u03b12-\u03b14+12\u03b15.
\u03b13=3\u03b12+2\u03b14-2\u03b15.
\uff08\u8fd9\u4e9b\u7ed3\u679c\u7684\u9053\u7406\uff0c\u53ea\u4e00\u4e2a\uff0c\u5c31\u662f\uff1a\u884c\u521d\u7b49\u53d8\u6362\u4fdd\u6301\u5217\u4e4b\u95f4\u7684\u7ebf\u6027\u5173\u7cfb\u3002\uff09
\u5224\u65ad\uff1a\u82e5\u6ca1\u6709\u77e2\u91cf\u53ef\u7528\u6709\u9650\u4e2a\u5176\u4ed6\u77e2\u91cf\u7684\u7ebf\u6027\u7ec4\u5408\u6240\u8868\u793a\uff0c\u5219\u79f0\u4e3a\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u6216\u7ebf\u6027\u72ec\u7acb\uff0c\u53cd\u4e4b\u79f0\u4e3a\u7ebf\u6027\u76f8\u5173\u3002
\u7ebf\u6027\u662f\u4ece\u76f8\u4e92\u5173\u8054\u7684\u4e24\u4e2a\u89d2\u5ea6\u6765\u754c\u5b9a\u7684\uff1a
\uff081\uff09\u53e0\u52a0\u539f\u7406\u6210\u7acb\uff1b
\uff082\uff09\u7269\u7406\u53d8\u91cf\u95f4\u7684\u51fd\u6570\u5173\u7cfb\u662f\u76f4\u7ebf\uff0c\u53d8\u91cf\u95f4\u7684\u53d8\u5316\u7387\u662f\u6052\u91cf\u3002\u5728\u660e\u786e\u4e86\u7ebf\u6027\u7684\u542b\u4e49\u540e\uff0c\u76f8\u5e94\u5730\u975e\u7ebf\u6027\u6982\u5ff5\u5c31\u6613\u4e8e\u754c\u5b9a\uff1a
1\u3001\u201c\u5b9a\u4e49\u975e\u7ebf\u6027\u7b97\u7b26N(\u03c6)\u4e3a\u5bf9\u4e00\u4e9ba\u3001b\u6216\u03c6\u3001\u03c8\u4e0d\u6ee1\u8db3\u3002
2\u3001\u5bf9\uff08a\u03c6 \uff0cb\u03c8\uff09\u7684*\u505a\uff0c\u7b49\u4e8e\u5206\u522b\u5bf9\u03c6*\u548c\u03c8*\u505a\u5916\uff0c\u518d\u52a0\u4e0a\u5bf9\u03c6\u4e0e\u03c8\u7684\u4ea4\u53c9\u9879\uff08\u8026\u5408\u9879\uff09\u7684*\u505a\uff0c\u6216\u8005\u03c6\u3001\u03c8\u662f\u4e0d\u8fde\u7eed\uff08\u6709\u7a81\u53d8\u6216\u65ad\u88c2\uff09\u3001\u4e0d\u53ef\u5fae\uff08\u6709\u6298\u70b9\uff09\u7684\u3002
\u5c06\u5411\u91cf\u6309\u5217\u5411\u91cf\u6784\u9020\u77e9\u9635A\u3002\u5bf9A\u5b9e\u65bd\u521d\u7b49\u884c\u53d8\u6362, \u5c06A\u5316\u6210\u68af\u77e9\u9635\u3002\u68af\u77e9\u9635\u7684\u975e\u96f6\u884c\u6570\u5373\u5411\u91cf\u7ec4\u7684\u79e9\u3002\u5411\u91cf\u7ec4\u7ebf\u6027\u76f8\u5173 \u5411\u91cf\u7ec4\u7684\u79e9 < \u5411\u91cf\u7ec4\u6240\u542b\u5411\u91cf\u7684\u4e2a\u6570\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u51fd\u6570\u7ebf\u6027\u76f8\u5173\u7684\u5b9a\u7406\uff1a
1\u3001\u5411\u91cfa1,a2, \u00b7\u00b7\u00b7,an(n\u22672)\u7ebf\u6027\u76f8\u5173\u7684\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u662f\u8fd9n\u4e2a\u5411\u91cf\u4e2d\u7684\u4e00\u4e2a\u4e3a\u5176\u4f59(n-1)\u4e2a\u5411\u91cf\u7684\u7ebf\u6027\u7ec4\u5408\u3002
2\u3001\u4e00\u4e2a\u5411\u91cf\u7ebf\u6027\u76f8\u5173\u7684\u5145\u5206\u6761\u4ef6\u662f\u5b83\u662f\u4e00\u4e2a\u96f6\u5411\u91cf\u3002
3\u3001\u4e24\u4e2a\u5411\u91cfa\u3001b\u5171\u7ebf\u7684\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u662fa\u3001b\u7ebf\u6027\u76f8\u5173\u3002
4\u3001\u4e09\u4e2a\u5411\u91cfa\u3001b\u3001c\u5171\u9762\u7684\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u662fa\u3001b\u3001c\u7ebf\u6027\u76f8\u5173\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u5730\u6696\u975e\u7ebf\u6027\u76f8\u5173
当m≤n时。对n行m列矩阵（α1,α2,……，αm），进行行初等变换。目标是有r
列。其前r行构成的子式变成r阶单位矩阵。并且整个矩阵，自r+1行之后全部为
零。
如果r＝n.则.｛α1,α2,……，αm｝线性无关。
如果r＜n..｛α1,α2,……，αm｝线性相关。
并且：还同时解决了两个其他的重要问题。①找出了最大无关组。
②找出了“其他”向量关于这个最大无关组的表示式。
例如（α1,α2,α3,α4,α5）→行初等变换→
2, 1, 3, 0, 0
-1, 0, 2, 1, 0
12, 0.-2, 0, 1
0, 0, 0, 0, 0.（标准形），则有：
①。｛α1,α2,α3,α4,α5｝线性相关。（∵3＝r＜4＝n）
②。最大无关组为｛α2，α4，α5｝（当然不唯一。）
③。α1=2α2-α4+12α5. α3=3α2+2α4-2α5.
（这些结果的道理，只一个，就是：行初等变换保持列之间的线性关系。）
利用变换把向量组成的矩阵变成初等矩阵 然后判断此阵的秩如果小于向量的个数则此向量组必然线性相关.反之如果等于则一定线形无关.
绛旓細3.鐢涓涓暟涔樹竴琛屽姞銆傚埌鍙︿竴琛岀敤涓涓暟涔樹竴琛屽姞鍒板彟涓琛..鍒濈瓑琛屽彉鎹瑙勫垯锛氬鐭╅樀浣滃涓嬪彉鎹細1銆佷綅缃彉鎹細鎶婄煩闃电i琛屼笌绗琷琛屼氦鎹綅缃紝璁颁綔锛歳(i)\u003c--\u003er(j)锛2銆佸嶆硶鍙樻崲锛氭妸鐭╅樀绗琲琛岀殑鍚勫厓绱犲悓涔樹互涓涓笉绛変簬0鐨勬暟k锛岃浣滐細k*r(i)銆3銆佹秷娉曞彉鎹細鎶婄煩闃电j琛屽悇鍏冪礌...
绛旓細鐢ㄥ垵绛夊彉鎹灏嗙煩闃靛寲鎴愰樁姊瀷鐭╅樀锛岀湅鏈鍚庝竴琛屾槸鍚﹀叏涓0锛屽鏋滄渶鍚庝竴琛屽叏涓0 鍒欏師鐭╅樀涓嶅彲閫嗭紱濡傛灉涓嶅瓨鍦ㄥ叏0琛岋紝鍒欏師鐭╅樀鍙嗐鐢ㄥ垵绛夎鍙樺寲姹鐭╅樀鐨閫嗙煩闃电殑鏃跺欙紝鍗鐢ㄨ鍙樻崲鎶婄煩闃碉紙A锛寊hiE锛夊寲鎴愶紙E锛孊锛夌殑褰ao寮忥紝閭ｄ箞B灏辩瓑浜嶢鐨勯嗗湪杩欓噷 锛圓锛孍锛夛紳 1锛1锛1锛11000 11锛1锛10100 111锛...
绛旓細鍒濈瓑琛屽彉鎹鐨勭敤閫:1.姹鐭╅樀鐨绉,鍖栬闃舵鐭╅樀,闈為浂琛屾暟鍗崇煩闃电殑绉 鍚屾椂鐢鍒楀彉鎹篃娌￠棶棰,浣嗚鍙樻崲灏辫冻澶熺敤浜!2.鍖栦负琛岄樁姊舰 姹傚悜閲忕粍鐨勭З鍜屾瀬澶ф棤鍏崇粍 (A,b)鍖栦负琛岄樁姊舰,鍒ゆ柇鏂圭▼缁勭殑瑙ｇ殑瀛樺湪鎬 3.鍖栬鏈绠褰 鎶婁竴涓悜閲忚〃绀轰负涓涓悜閲忕粍鐨勭嚎鎬х粍鍚 鏂圭▼缁勬湁瑙ｆ椂,姹傚嚭鏂圭▼缁勭殑鍏ㄩ儴瑙...
绛旓細0 1 6 2 0 0 3 1 0 -1 -3 -1 r4+r2 1 0 3 1 0 1 6 2 0 0 3 1 0 0 3 1 r4-r3 1 0 3 1 0 1 6 2 0 0 3 1 0 0 0 0 鎵浠 A 涓嶅彲閫.娉: 鍒ゆ柇鏄惁鍙嗕笉鐢瀵(A,E)鍒濈瓑琛屽彉鎹, 瀵笰鍒濈瓑琛屽彉鎹㈠氨鍙兘浜 A鍙嗙殑鍏呭垎蹇呰鏉′欢鏄鐭╅樀涓笉鍑虹幇0琛 ...
绛旓細鏌愪竴琛岋紙鍒楋級锛屼箻浠ヤ竴涓潪闆跺嶆暟銆傛煇涓琛岋紙鍒楋級锛屼箻浠ヤ竴涓潪闆跺嶆暟锛屽姞鍒板彟涓琛岋紙鍒楋級銆傛煇涓よ锛堝垪锛夛紝浜掓崲銆傚鏄撶湅鍑猴紝杩欎笁绉鍒濈瓑鍙樻崲閮戒笉浼氭敼鍙樹竴涓柟闃礎鐨勮鍒楀紡鐨勯潪闆舵э紝鎵浠ュ鏋滀竴涓鐭╅樀鏄柟闃碉紝鎴戜滑鍙互閫氳繃鐪嬪垵绛夊彉鎹㈠悗鐨勭煩闃垫槸鍚﹀彲閫嗭紝鏉鍒ゆ柇鍘熺煩闃垫槸鍚﹀彲閫嗐
绛旓細璇锋荤粨绾挎т唬鏁颁腑鍒濈瓑琛屽彉鎹鐨勭敤閫 鍒濈瓑琛屽彉鎹㈢殑鐢ㄩ: 1. 姹鐭╅樀鐨绉,鍖栬闃舵鐭╅樀, 闈為浂琛屾暟鍗崇煩闃电殑绉 鍚屾椂鐢鍒楀彉鎹篃娌￠棶棰, 浣嗚鍙樻崲灏辫冻澶熺敤浜! 2. 鍖栦负琛岄樁姊舰 姹傚悜閲忕粍鐨勭З鍜屾瀬澶ф棤鍏崇粍 (A,b)鍖栦负琛岄樁姊舰, 鍒ゆ柇鏂圭▼缁勭殑瑙ｇ殑瀛樺湪鎬 3. 鍖栬鏈绠褰 鎶婁竴涓悜閲忚〃绀...
绛旓細宸﹁竟鍖栦负鍗曚綅鐭╅樀E,鎵浠鍙,涓 A^-1 = 7/6 2/3 -3/2 -1 -1 2 -1/2 0 1/2 浜屻1 0 3 1 0 1 6 2 0 0 3 1 1 -1 0 0 绗簩鍒 + 绗竴鍒 1 1 3 1 0 1 6 2 0 0 3 1 1 0 0 0 绗竴琛 - 绗洓琛 0 1 3 1 0 1 6 2 0 0 3 1 1 0 0 0 绗簩...
绛旓細鑰屼笖鍏堕鐭╅樀涓庡師鐭╅樀鏈夌潃鐩稿悓鐨勭粨鏋勩傝嫢涓涓煩闃靛彲閫嗭紝閭ｄ箞閫氳繃鏍囧噯褰㈢殑璺緞锛屾垜浠彲浠ラ嗗悜杩芥函鍒板崟浣嶉樀锛岃瘉鏄庝簡杩欎釜绛変环杩囩▼鐨勫彲琛屾с傝繘涓姝ユ帹璁猴紝鏂归樀鐨勫彲閫嗘э紝灏卞闆曞鐨勫畬鏁存э紝鍙渶缁忚繃鍒濈瓑琛鎴栧垪鍙樻崲锛屽氨鑳界洿鎺ュ洖褰掑埌鍗曚綅鐭╅樀锛岃繖灏辨剰鍛崇潃琛屾垨鍒楀悜閲忕殑绾挎х嫭绔嬫э紝鏄煩闃靛彲閫嗙殑鐩磋鏍囧織銆
绛旓細娌℃湁鍒╃敤鍒濈瓑琛屽彉鎹㈠垽鏂鐨,鍙湁浠ヤ笅鍥涚:1瀹氫箟璇佹槑2鐭╅樀鐨绉3鍚戦噺缁勭殑绛変环鍏崇郴4鍙嶈瘉娉 1 宸茶禐杩 宸茶俯杩< 浣犲杩欎釜鍥炵瓟鐨勮瘎浠锋槸? 璇勮 鍒嗕韩 鏂版氮寰崥 QQ绌洪棿 涓炬姤 鏀惰捣 鍚哥dt 2019-03-19 路 璐＄尞浜嗚秴杩969涓洖绛 鐭ラ亾绛斾富 鍥炵瓟閲:969 閲囩撼鐜:5% 甯姪鐨勪汉:29.7涓 鎴戜篃鍘荤瓟棰樿闂釜浜洪〉 鍏...
