球体体积计算公式的推导方法 ？？？ 球体积公式怎么推导出来的
\u7403\u4f53\u4f53\u79ef\u8ba1\u7b97\u516c\u5f0f\u7403\u4f53\u7684\u4f53\u79ef\u8ba1\u7b97\u516c\u5f0f\uff1a
V=(4/3)\u03c0r^3
\u89e3\u6790\uff1a\u4e09\u5206\u4e4b\u56db\u4e58\u5706\u5468\u7387\u4e58\u534a\u5f84\u7684\u4e09\u6b21\u65b9 \u3002
\u7403\u4f53\uff1a
\u201c\u5728\u7a7a\u95f4\u5185\u4e00\u4e2d\u540c\u957f\u8c13\u4e4b\u7403\u3002\u201d
\u5b9a\u4e49\uff1a
\uff081\uff09\u5728\u7a7a\u95f4\u4e2d\u5230\u5b9a\u70b9\u7684\u8ddd\u79bb\u7b49\u4e8e\u6216\u5c0f\u4e8e\u5b9a\u957f\u7684\u70b9\u7684\u96c6\u5408\u53eb\u505a\u7403\u4f53\uff0c\u7b80\u79f0\u7403\u3002\uff08\u4ece\u96c6\u5408\u89d2\u5ea6\u4e0b\u7684\u5b9a\u4e49\uff09
\uff082\uff09\u4ee5\u534a\u5706\u7684\u76f4\u5f84\u6240\u5728\u76f4\u7ebf\u4e3a\u65cb\u8f6c\u8f74\uff0c\u534a\u5706\u9762\u65cb\u8f6c\u4e00\u5468\u5f62\u6210\u7684\u65cb\u8f6c\u4f53\u53eb\u505a\u7403\u4f53\uff08solid sphere\uff09\uff0c\u7b80\u79f0\u7403\u3002\uff08\u4ece\u65cb\u8f6c\u7684\u89d2\u5ea6\u4e0b\u7684\u5b9a\u4e49\uff09
\uff083\uff09 \u4ee5\u5706\u7684\u76f4\u5f84\u6240\u5728\u76f4\u7ebf\u4e3a\u65cb\u8f6c\u8f74\uff0c\u5706\u9762\u65cb\u8f6c180\u00b0\u5f62\u6210\u7684\u65cb\u8f6c\u4f53\u53eb\u505a\u7403\u4f53\uff08solid sphere\uff09\uff0c\u7b80\u79f0\u7403\u3002\uff08\u4ece\u65cb\u8f6c\u7684\u89d2\u5ea6\u4e0b\u7684\u5b9a\u4e49\uff09
\uff084\uff09\u5728\u7a7a\u95f4\u4e2d\u5230\u5b9a\u70b9\u7684\u8ddd\u79bb\u7b49\u4e8e\u5b9a\u957f\u7684\u70b9\u7684\u96c6\u5408\u53eb\u505a\u7403\u9762\u5373\u7403\u7684\u8868\u9762\u3002\u8fd9\u4e2a\u5b9a\u70b9\u53eb\u7403\u7684\u7403\u5fc3\uff0c\u5b9a\u957f\u53eb\u7403\u7684\u534a\u5f84\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u4e00\u3001\u6c42\u7403\u4f53\u4f53\u79ef\u57fa\u672c\u601d\u60f3\u65b9\u6cd5\uff1a
\u5148\u7528\u8fc7\u7403\u5fc3 \u7684\u5e73\u9762\u622a\u7403 \uff0c\u7403\u88ab\u622a\u9762\u5206\u6210\u5927\u5c0f\u76f8\u7b49\u7684\u4e24\u4e2a\u534a\u7403\uff0c\u622a\u9762\u2299 \u53eb\u505a\u6240\u5f97\u534a\u7403\u7684\u5e95\u9762\u3002
\uff08l\uff09\u7b2c\u4e00\u6b65\uff1a\u5206\u5272
\u7528\u4e00\u7ec4\u5e73\u884c\u4e8e\u5e95\u9762\u7684\u5e73\u9762\u628a\u534a\u7403\u5207\u5272\u6210 \u5c42
\uff082\uff09\u7b2c\u4e8c\u6b65\uff1a\u6c42\u8fd1\u4f3c\u548c
\u6bcf\u5c42\u90fd\u662f\u8fd1\u4f3c\u4e8e\u5706\u67f1\u5f62\u72b6\u7684\u201c\u5c0f\u5706\u7247\u201d\uff0c\u6211\u4eec\u7528\u5c0f\u5706\u67f1\u5f62\u7684\u4f53\u79ef\u8fd1\u4f3c\u4ee3\u66ff\u201c\u5c0f\u5706\u7247\u201d\u7684\u4f53\u79ef\uff0c\u5b83\u4eec\u7684\u548c\u5c31\u662f\u534a\u7403\u4f53\u79ef\u7684\u8fd1\u4f3c\u503c\u3002
\uff083\uff09\u7b2c\u4e09\u6b65\uff1a\u7531\u8fd1\u4f3c\u548c\u8f6c\u5316\u4e3a\u7cbe\u786e\u548c
\u5f53 \u65e0\u9650\u589e\u5927\u65f6\uff0c\u534a\u7403\u7684\u8fd1\u4f3c\u4f53\u79ef\u5c31\u8d8b\u5411\u4e8e\u7cbe\u786e\u4f53\u79ef\u3002
\u4e8c\u3001\u6570\u5b66\u8bed\u8a00\u8868\u793a\uff1a
\u73b0\u6709\u4e00\u4e2a\u5706x^2+y^2=r^2 \u5728xoy\u5750\u6807\u8f74\u4e2d \u8ba9\u8be5\u5706\u7ed5x\u8f74\u8f6c\u4e00\u5468 \u5c31\u5f97\u5230\u4e86\u4e00\u4e2a\u7403\u4f53
\u7403\u4f53\u4f53\u79ef\u7684\u5fae\u5143\u4e3adV=\u03c0[\u221a(r^2-x^2)]^2dx
\u222bdV=\u222b\u03c0[\u221a(r^2-x^2)]^2dx \u79ef\u5206\u533a\u95f4\u4e3a[-r,r]
\u6c42\u5f97\u7ed3\u679c\u4e3a
4/3\u03c0r^3
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u7403 \uff08\u7acb\u4f53\u56fe\u5f62\uff09
\u8bc1\u660e\uff1a
\u8bc1\uff1av=4/3\u00d7\u03c0r^3
\u6b32\u8bc1v=4/3\u00d7\u03c0r^3\uff0c\u53ef\u8bc11/2v=2/3\u00d7\u03c0r^3
\u505a\u4e00\u4e2a\u534a\u7403h=r, \u505a\u4e00\u4e2a\u5706\u67f1h=r
\u2235V\u67f1-V\u9525
= \u03c0\u00d7r^3- \u03c0\u00d7r^3/3
=2/3\u03c0\u00d7r^3
\u2234\u82e5\u731c\u60f3\u6210\u7acb\uff0c\u5219V\u67f1-V\u9525=V\u534a\u7403
\u6839\u636e\u7956\u6685\u539f\u7406\uff1a\u5939\u5728\u4e24\u4e2a\u5e73\u884c\u5e73\u9762\u4e4b\u95f4\u7684\u4e24\u4e2a\u7acb\u4f53\u56fe\u5f62\uff0c\u88ab\u5e73\u884c\u4e8e\u8fd9\u4e24\u4e2a\u5e73\u9762\u7684\u4efb\u610f\u5e73\u9762\u6240\u622a\uff0c\u5982\u679c\u6240\u5f97\u7684\u4e24\u4e2a\u622a\u9762\u9762\u79ef\u76f8\u7b49\uff0c\u90a3\u4e48\uff0c\u8fd9\u4e24\u4e2a\u7acb\u4f53\u56fe\u5f62\u7684\u4f53\u79ef\u76f8\u7b49\u3002
\u2234\u82e5\u731c\u60f3\u6210\u7acb\uff0c\u4e24\u4e2a\u5e73\u9762\uff1aS1(\u5706)=S2(\u73af)
1.\u4ece\u534a\u7403\u9ad8h\u70b9\u622a\u4e00\u4e2a\u5e73\u9762 \u6839\u636e\u516c\u5f0f\u53ef\u77e5\u6b64\u9762\u79ef\u4e3a\u03c0\u00d7(r^2-h^2)^0.5^2=\u03c0\u00d7(r^2-h^2)
2.\u4ece\u5706\u67f1\u505a\u4e00\u4e2a\u4e0e\u5176\u7b49\u5e95\u7b49\u9ad8\u7684\u5706\u9525\uff1aV\u9525 \u6839\u636e\u516c\u5f0f\u53ef\u77e5\u5176\u53f3\u4fa7\u73af\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u4e3a\u03c0\u00d7r^2-\u03c0\u00d7r\u00d7h/r=\u03c0\u00d7(r^2-h^2)
\u2235\u03c0\u00d7(r^2-h^2)=\u03c0\u00d7(r^2-h^2)
\u2234V\u67f1-V\u9525=V\u534a\u7403
\u2235V\u67f1-V\u9525=\u03c0\u00d7r^3-\u03c0\u00d7r^3/3=2/3\u03c0\u00d7r^3
\u2234V\u534a\u7403=2/3\u03c0\u00d7r^3
\u7531V\u534a\u7403\u53ef\u63a8\u51faV\u7403=2\u00d7V\u534a\u7403=4/3\u00d7\u03c0r^3
\u8bc1\u6bd5\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u7403\u4f53\u6027\u8d28\uff0c\u7528\u4e00\u4e2a\u5e73\u9762\u53bb\u622a\u4e00\u4e2a\u7403\uff0c\u622a\u9762\u662f\u5706\u9762\u3002\u7403\u7684\u622a\u9762\u6709\u4ee5\u4e0b\u6027\u8d28\uff1a
1\u3001\u7403\u5fc3\u548c\u622a\u9762\u5706\u5fc3\u7684\u8fde\u7ebf\u5782\u76f4\u4e8e\u622a\u9762\u3002
2\u3001\u7403\u5fc3\u5230\u622a\u9762\u7684\u8ddd\u79bbd\u4e0e\u7403\u7684\u534a\u5f84R\u53ca\u622a\u9762\u7684\u534a\u5f84r\u6709\u4e0b\u9762\u7684\u5173\u7cfb\uff1ar^2=R^2-d^2
\u7403\u9762\u88ab\u7ecf\u8fc7\u7403\u5fc3\u7684\u5e73\u9762\u622a\u5f97\u7684\u5706\u53eb\u505a\u5927\u5706\uff0c\u88ab\u4e0d\u7ecf\u8fc7\u7403\u5fc3\u7684\u622a\u9762\u622a\u5f97\u7684\u5706\u53eb\u505a\u5c0f\u5706\u3002
\u5728\u7403\u9762\u4e0a\uff0c\u4e24\u70b9\u4e4b\u95f4\u7684\u6700\u77ed\u8fde\u7ebf\u7684\u957f\u5ea6\uff0c\u5c31\u662f\u7ecf\u8fc7\u8fd9\u4e24\u70b9\u7684\u5927\u5706\u5728\u8fd9\u4e24\u70b9\u95f4\u7684\u4e00\u6bb5\u52a3\u5f27\u7684\u957f\u5ea6\uff0c\u6211\u4eec\u628a\u8fd9\u4e2a\u5f27\u957f\u53eb\u505a\u4e24\u70b9\u7684\u7403\u9762\u8ddd\u79bb\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u7403
如果用积分的方法就写出球面的解析式，用旋转体积分公式或者重积分的方法就能算得球体体积。
基本思想方法：
先用过球心 的平面截球 ，球被截面分成大小相等的两个半球，截面⊙ 叫做所得半球的底面．
（l）第一步：分割．
用一组平行于底面的平面把半球切割成 层．
（2）第二步：求近似和．
每层都是近似于圆柱形状的“小圆片”，我们用小圆柱形的体积近似代替“小圆片”的体积，它们的和就是半球体积的近似值．
（3）第三步：由近似和转化为精确和．
当 无限增大时，半球的近似体积就趋向于精确体积．
给你两种初等证明
1
用物理方法证明
可推出椭球的体积公式（球是椭球一种）见http://w54737.s35.ufhost.com/w/j/tq.htm
2
见http://www.cbe21.com/subject/maths/printer.php?article_id=669
注
1“祖恒原理”,“幂势既同则积不容异”,即等高处横
截面积都相等的两个几何体的体积必相等.
2
求得球体积后将球分为无限个三棱锥，所以有
V=S*R/3
可以用体积求得表面积
3三棱锥体积公式
V＝S＊H／34∏R^3)/3
至于如何证明，可以用微积分来证明。但是很早之前，我国著名的数学家祖冲之创造出了“牟合方盖”的球体体积求算思路，但最终未能完成，后由他的儿子祖暅沿着父亲的思路锲而不舍地迈进，终于攻下了这一难度极高的课题，得到了著名的等积原理“缘幂势既同，则积不容异”(两个几何体在任何等高处的截面积都相等，则两个几何体的体积也相等，即胖子理论)，并由此而求得了球体体积公式。具体证明过程清参看下面网址
参考资料：http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_01_4_01/page2.html
你是高中的宝宝还是大学的宝宝？
如果是高中的就别钻牛角尖
如果是大学的，就先去学学 数学分析中的 积分 那几章
具体步骤 刚才那个猛男写的很详细
1.开门见山直接回答知识点
2.对相关知识点进行延伸
3.规范排版，内容充实更容易通过认证哦
4.补充参考资料（没有可以忽略哦~）
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