三角形余弦定理公式及证明
余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。是勾股定理在一般三角形情形下的推广。
什么是三角形余弦定理
三角形余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值。
三角形余弦定理的公式
对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：
a2=b2+c2-bc·cosA
b2=a2+c2-ac·cosB
c2=a2+b2-ab·cosC
也可表示为：
cosC=(a2+b2-c2)/ab
cosB=(a2+c2-b2)/ac
cosA=(c2+b2-a2)/bc
这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。
如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的(边-边-角)。要小心余弦定理的这种歧义情况。
三角形余弦定理的证明
平面向量证法(觉得这个方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本来还是由余弦定理得出来的，怎么又能反过来证明余弦定理)∵如图，有a+b=c(平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小)
∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos(π-θ)
(以上粗体字符表示向量)
又∵Cos(π-θ)=-Cosθ
∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)
再拆开，得c2=a2+b2-2abcosC
即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b
同理可证其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。
平面几何证法
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得：
AC2=AD2+DC2
b2=(sinBc)2+(a-cosBc)2
b2=(sinB*c)2+a2-2accosB+(cosB)2c2
b2=(sinB2+cosB2)c2-2accosB+a2
b2=c2+a2-2accosB
cosB=(c2+a2-b2)/2ac
绛旓細1銆佹浣欏鸡瀹氱悊鍩烘湰鍏紡asinA=bsinB=csinC=2R 鐢ㄩ1宸茬煡涓夎褰㈢殑涓よ涓庝竴杈癸紝瑙ｄ笁瑙掑舰2宸茬煡涓夎褰㈢殑涓よ竟鍜屽叾涓竴杈规墍瀵圭殑瑙掞紝瑙ｄ笁瑙掑舰3杩愮敤abc=sinAsinBsinC瑙ｅ喅瑙掍箣闂寸殑杞崲鍏崇郴鐩磋锛涗綑寮os伪锛滲^2+C^2A^22BC cosb=A^2+C^2B^22AC cosc=A^2+B^2C^22AB 姝ｅ鸡瀹氱悊鏄笁瑙掑涓殑涓涓熀鏈畾...
绛旓細浣欏鸡瀹氱悊锛氫笁瑙掑舰涓换浣曚竴杈圭殑骞虫柟锛岀瓑浜庡叾浠栦袱杈瑰钩鏂圭殑鍜屽噺鍘昏繖涓よ竟涓庡畠浠す瑙掔殑浣欏鸡鐨勭Н鐨勪袱鍊銆備竴銆佷綑寮﹀畾鐞嗗叕寮 锛1锛塧^2=b^2+c^2-2bccosA锛涳紙2锛塨^2=a^2+c^2-2accosB锛涳紙3锛塩^2=a^2+b^2-2abcosC銆傘愭敞銆戜綑寮﹀畾鐞嗗強鍏舵帹璁洪傜敤浜庢墍鏈変笁瑙掑舰銆傚垵涓暟瀛︼紝涓夎褰㈠唴瑙掔殑浣欏鸡鍊肩瓑浜庘滈偦...
绛旓細浣欏鸡瀹氱悊鐨勫叕寮忔槸c²=a²+b²-2ab脳cosC锛屽皢涓婅堪鍧愭爣浠ｅ叆姝ゅ叕寮忥紝鍙互寰楀埌绛夊紡锛歺²+y²=锛坈²+y²锛+锛坸-c锛²+y²-2c锛坸-c锛夈傚寲绠鍚庡緱鍒皒²+y²=c²+x²+y²-2cx+2cy-c²銆傚啀娆″寲绠鍚庡緱鍒癱&#...
绛旓細姝ｅ鸡瀹氱悊鐨勮瘉鏄庯細浣欏鸡瀹氱悊鐨勮瘉鏄锛
绛旓細涔熷彲琛ㄧず涓猴細cosC=(a2+b2-c2)/ab cosB=(a2+c2-b2)/ac cosA=(c2+b2-a2)/bc 杩欎釜瀹氱悊涔熷彲浠ラ氳繃鎶婁笁瑙掑舰鍒嗕负涓や釜鐩磋涓夎褰㈡潵璇佹槑銆傚鏋滆繖涓涓嶆槸涓ゆ潯杈圭殑澶硅锛岄偅涔堜笁瑙掑舰鍙兘涓嶆槸鍞竴鐨(杈-杈-瑙)銆傝灏忓績浣欏鸡瀹氱悊鐨勮繖绉嶆涔夋儏鍐点備笁瑙掑舰浣欏鸡瀹氱悊鐨勮瘉鏄 骞抽潰鍚戦噺璇佹硶(瑙夊緱杩欎釜鏂规硶涓嶆槸...
绛旓細鏁板姝ｅ鸡瀹氱悊鍏紡锛a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R锛涗綑寮﹀畾鐞嗗叕寮忥細cos A=(b²+c²-a²)/2bc銆傛浣欏鸡瀹氱悊鎸囨寮﹀畾鐞嗗拰浣欏鸡瀹氱悊锛屾槸鎻ず涓夎褰㈣竟瑙掑叧绯荤殑閲嶈瀹氱悊锛岀洿鎺ヨ繍鐢ㄥ畠鍙В鍐充笁瑙掑舰鐨勯棶棰橈紝鑻ュ浣欏鸡瀹氱悊鍔犱互鍙樺舰骞堕傚綋绉讳簬鍏跺畠鐭ヨ瘑锛屽垯浣跨敤璧锋潵鏇翠负鏂逛究銆佺伒娲汇備竴銆佹寮﹀畾鐞嗘帹璁...
绛旓細2.涓夎褰㈢殑浣欏鸡瀹氱悊璇佹槑锛氬钩闈㈠嚑浣曡瘉娉曪細鍦ㄤ换鎰忊柍abc涓 鍋歛d鈯c.鈭燾鎵瀵圭殑杈逛负c锛屸垹b鎵瀵圭殑杈逛负b锛屸垹a鎵瀵圭殑杈逛负a 鍒欐湁bd=cosb*c锛宎d=sinb*c锛宒c=bc-bd=a-cosb*c 鏍规嵁鍕捐偂瀹氱悊鍙緱锛歛c^2=ad^2+dc^2 b^2=(sinb*c)^2+(a-cosb*c)^2 b^2=sin^2b*c^2+a^2+cos^2b...
绛旓細姝ｄ綑寮﹀畾鐞嗗熀鏈叕寮忥細a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 鐢ㄩ旓細锛1锛夊凡鐭ヤ笁瑙掑舰鐨勪袱瑙掍笌涓杈癸紝瑙ｄ笁瑙掑舰銆傦紙2锛夊凡鐭ヤ笁瑙掑舰鐨勪袱杈瑰拰鍏朵腑涓杈规墍瀵圭殑瑙掞紝瑙ｄ笁瑙掑舰銆傦紙3锛夎繍鐢╝锛歜锛歝=sinA锛歴inB锛歴inC瑙ｅ喅瑙掍箣闂寸殑杞崲鍏崇郴銆傜洿瑙掍笁瑙掑舰鐨勪竴涓攼瑙掔殑瀵硅竟涓庢枩杈圭殑姣斿彨鍋氳繖涓鐨勬寮︺
绛旓細鐢变綑寮﹀畾鐞嗗叕寮忔帹瀵煎嚭锛歝os A=(b²+c²-a²)/2bc銆備綑寮﹀畾鐞嗭細璁句笁瑙掑舰鐨勪笁杈逛负a b c锛屼粬浠殑瀵硅鍒嗗埆涓篈 B C锛屽垯绉板叧绯诲紡锛a^2=b^2+c^2-2bc*cosA b^2=c^2+a^2-2ac*cosB c^2=a^2+b^2-2ab*cosC 浣欏鸡瀹氱悊鏄弿杩颁笁瑙掑舰涓笁杈归暱搴︿笌涓涓鐨勪綑寮﹀煎叧绯荤殑鏁板...
绛旓細鍖栫畝寰楀埌锛歝^2 = a^2 + b^2 - 2ab(cos(A) - cos(B))銆傝繖灏辨槸涓浣欏鸡瀹氱悊鐨勮瘉鏄銆傛牴鎹瀹氱悊锛屾垜浠彲浠ュ湪宸茬煡涓よ竟闀垮害鍜屽す瑙掔殑鎯呭喌涓嬶紝姹傝В涓夎褰鐨勭涓夋潯杈归暱銆傛垨鑰咃紝鍦ㄥ凡鐭ヤ笁杈归暱搴︾殑鎯呭喌涓嬶紝璁＄畻涓夎褰㈢殑涓涓唴瑙掋傚湪璇佹槑涓変綑寮﹀畾鐞嗘椂鐨勬敞鎰忎簨椤 1銆佷娇鐢ㄤ綑寮﹀畾鐞嗭細涓変綑寮﹀畾鐞嗙殑璇佹槑鏄熀浜...
