等价无穷小的证明？ 等价无穷小的证明
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\u65b9\u6cd5\u4e00\uff1a\u8bbex\u21920\u65f6\uff0csinx\uff0dx\uff5eAx^k\u3002A\uff0ck\u5f85\u5b9a\u3002\u7531\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\uff0c
x\u21920\u65f6\uff0clim\uff08sinx\uff0dx\uff09/Ax^k\uff1dlim\uff08cosx\uff0d1\uff09/Akx^(k\uff0d1)\uff0c\u5206\u5b50\u66ff\u6362\u4e3a\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\uff0d1/2\u00d7x^2\u3002\u5f97
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sinx\u5728x\uff1d0\u5904\u7684Taylor\u516c\u5f0f\u662fsinx\uff1dx\uff0d1/3!\u00d7x^3\uff0b1/5!\u00d7x^5+...\uff0c\u6240\u4ee5sinx\uff0dx\uff1d\uff0d1/6\u00d7x^3\uff0d1/120\u00d7x^5+...\uff1d\uff0d1/6\u00d7x^3(1+1/20\u00d7x^2+...)\u3002
x\u21920\u65f6\uff0c\u62ec\u53f7\u5185\u7684\u51fd\u6570\u8d8b\u5411\u4e8e1\uff0c\u6240\u4ee5
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解：证明：=limx-0arcsinx=arcsin0=0
limx-0x=0
二者都=是无穷小量。
limx-0 arcsinx/x
换元法：令t=arcsinx
sint=sinarcsinx=x
x-0,t-arcsin0=0,t-0
limt-0 t/sint
lmt-0 t=0
limt-0 sint=sin0=0
分子分母都趋向内于0
0/0型
洛必达法则。
1/cost(t-0)=1/cos0=1/1=1
所以limx-0arcsinx/x=1
arcsinx~x
扩展资料：
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法 。众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。
参考资料来源：百度百科——洛必达法则
如图，希望采纳！
等价无穷小的证明见下图：
sinx~x
√(1+x^2)~√(1+x^2+x^4/4)~1+x^2
绛旓細lim(x->0) ( 1- cosx) /(x^2/2)=lim(x->0) 2( 1- cosx) / x^2 (0/0 鍒嗗瓙鍒嗘瘝鍒嗗埆姹傚)=lim(x->0) 2sinx/(2x)=1 1- cosx ~ x^2/2 鏃犵┓灏忕殑鎬ц川锛1銆佹湁闄愪釜鏃犵┓灏忛噺涔鍜屼粛鏄棤绌峰皬閲忋2銆佹湁闄愪釜鏃犵┓灏忛噺涔嬬Н浠嶆槸鏃犵┓灏忛噺銆3銆佹湁鐣屽嚱鏁颁笌鏃犵┓灏忛噺涔嬬Н涓烘棤绌峰皬閲忋...
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