高数中的等价无穷小要怎么证明 高数 等价无穷小求证明过程
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lim(x->0) ( 1- cosx) /(x^2/2)
=lim(x->0) 2( 1- cosx) / x^2 (0/0 \u5206\u5b50\u5206\u6bcd\u5206\u522b\u6c42\u5bfc)
=lim(x->0) 2sinx/(2x)
=1
=>
1- cosx ~ x^2/2
洛必达法则，[ln(1+x)]'=1/(x+1) [e^x-1]'=e^x 分母导数都是1，那不就分别变成了1/(1+x)和e^x当x→0时的极限。
lim(x->0) ( 1- cosx) /(x^2/2)
=lim(x->0) 2( 1- cosx) / x^2 (0/0 分子分母分别求导)
=lim(x->0) 2sinx/(2x)
=1
1- cosx ~ x^2/2
无穷小的性质：
1、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。
2、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。
3、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。
4、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。
5、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。
等价无穷小就是比值的极限趋于1。证明arcsinx / x的极限是1就可以了。用罗比达法则就行。
解：证明：limx-0arcsinx=arcsin0=0
limx-0x=0
二者都是无穷小量。
limx-0 arcsinx/x
换元法：令t=arcsinx
sint=sinarcsinx=x
x-0,t-arcsin0=0,t-0
limt-0 t/sint
lmt-0 t=0
limt-0 sint=sin0=0
分子分母都趋向于0
0/0型
洛必达法则。
1/cost(t-0)=1/cos0=1/1=1
所以limx-0arcsinx/x=1
arcsinx~x
可能过时了
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绛旓細1- cosx ~ x^2/2
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