x-ln(1+x)是否等价于1-cosx？ x-ln(1+x)等价于多少？
x\u8d8b\u4e8e0\u65f6.y=ln\uff081+x\uff09\u4e0ey=1-cosx\u4e3a\u4ec0\u4e48\u4e0d\u662f\u7b49\u4ef7\u76841-cosx=2*sin²(x/2),\u7b49\u4ef7\u4e8ex²/2
ln\uff081+x\uff09\u7b49\u4ef7\u4e8ex,
\u6240\u4ee5,1-cosx\u662fln\uff081+x\uff09\u7684\u9ad8\u9636\u65e0\u7a77\u5c0f
\u6709\u4e2a\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u662fln(1+x)~x\uff0c\u6240\u4ee5ln(1+x^n)~x^n\u3002
ln\u51fd\u6570\u7684\u8fd0\u7b97\u6cd5\u5219\uff1aln(MN)=lnM+lnN\uff0cln(M/N)=lnM-lnN\uff0cln\uff08M^n)=nlnM\uff0cln1=0\uff0clne=1\uff0c\u6ce8\u610f\u62c6\u5f00\u540eM\uff0cN\u9700\u8981\u5927\u4e8e0\u3002\u6ca1\u6709ln(M+N)=lnM+lnN\uff0c\u548cln(M-N)=lnM-lnN\uff0clnx\u662fe^x\u7684\u53cd\u51fd\u6570\u3002
\u5bf9\u6570\u51fd\u6570\u7684\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\u4e3ay=\u33d2(a)x\uff0c\u5b9e\u9645\u4e0a\u5c31\u662f\u6570\u51fd\u6570\u7684\u53cd\u51fd\u6570(\u56fe\u50cf\u5173\u4e8e\u76f4\u7ebfy=x\u5bf9\u79f0\u7684\u4e24\u51fd\u6570\u4e92\u4e3a\u53cd\u51fd\u6570\uff09\uff0c\u53ef\u8868\u793a\u4e3ax=a^y\u3002\u56e0\u6b64\u6307\u6570\u51fd\u6570\u91cc\u5bf9\u4e8ea\u7684\u89c4\u5b9a\uff08a>0\u4e14a\u22601\uff09\u3002
\u6c42\u6781\u9650\u57fa\u672c\u65b9\u6cd5\u6709\uff1a
1\u3001\u5206\u5f0f\u4e2d\uff0c\u5206\u5b50\u5206\u6bcd\u540c\u9664\u4ee5\u6700\u9ad8\u6b21\uff0c\u5316\u65e0\u7a77\u5927\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u8ba1\u7b97\uff0c\u65e0\u7a77\u5c0f\u76f4\u63a5\u4ee50\u4ee3\u5165\u3002
2\u3001\u65e0\u7a77\u5927\u6839\u5f0f\u51cf\u53bb\u65e0\u7a77\u5927\u6839\u5f0f\u65f6\uff0c\u5206\u5b50\u6709\u7406\u5316\u3002
3\u3001\u8fd0\u7528\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\uff0c\u4f46\u662f\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\u7684\u8fd0\u7528\u6761\u4ef6\u662f\u5316\u6210\u65e0\u7a77\u5927\u6bd4\u65e0\u7a77\u5927\uff0c\u6216\u65e0\u7a77\u5c0f\u6bd4\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0c\u5206\u5b50\u5206\u6bcd\u8fd8\u5fc5\u987b\u662f\u8fde\u7eed\u53ef\u5bfc\u51fd\u6570\u3002
是否等价，对它们分别求导就知道了，前者的一阶导数是1-1/(1+x)=x/(1+x)，很明显的，这个结果与x等价. 而1-cosx的导数是sinx，也与x等价，它们的一阶导数都与x等价，可见它们本身也是等价的。
1-cosx = 2(sin(x/2))^2 ~ x^2/2
x-ln(1+x)=x-(x-x^2/2) ~ x^2/2
所以等价
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绛旓細x->1 x-1->0 ln(1+x-1)=ln[1+(x-1)] 绛変环浜(x-1)
绛旓細ln(1+x)绛変环浜巟涓嶈兘鐢ㄧ殑鎯呭喌濡備笅銆傚鏁板嚱鏁lnx鏄互e涓哄簳鏁扮殑鍑芥暟锛屽綋x绛変簬1鏃讹紝瀵规暟鍑芥暟lnx鐨勫肩瓑浜0锛屾墍浠ュ綋lnx绛変簬0鏃讹紝lnx褰搙=1鏃跺畠鐨勫间负0锛屽啀鍔犱笂瀹炴暟x锛屽畠渚濈劧绛変簬杩欎釜瀹炴暟锛屽嵆绛変环銆傜瓑浠锋棤绌峰皬鐨勪娇鐢ㄦ潯浠讹細琚唬鎹㈢殑閲忥紝鍦ㄥ幓鏋侀檺鐨勬椂鍊欐瀬闄愬间负0銆傝浠ｆ崲鐨勯噺锛屼綔涓鸿涔樻垨鑰呰闄ょ殑鍏冪礌...
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