欧拉定理是怎么发现的？ 什么是欧拉定理？
\u6b27\u62c9\u5b9a\u7406\u662f\u54ea\u4e00\u5e74\u88ab\u53d1\u73b0\u7684?\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f
\u7b80\u5355\u591a\u9762\u4f53\u7684\u9876\u70b9\u6570V\u3001\u9762\u6570F\u53ca\u68f1\u6570E\u95f4\u6709\u5173\u7cfb
V+F-E=2
\u8fd9\u4e2a\u516c\u5f0f\u53eb\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\u3002\u516c\u5f0f\u63cf\u8ff0\u4e86\u7b80\u5355\u591a\u9762\u4f53\u9876\u70b9\u6570\u3001\u9762\u6570\u3001\u68f1\u6570\u7279\u6709\u7684\u89c4\u5f8b\u3002
\u8ba4\u8bc6\u6b27\u62c9
\u6b27\u62c9\uff0c\u745e\u58eb\u6570\u5b66\u5bb6\uff0c13\u5c81\u8fdb\u5df4\u585e\u5c14\u5927\u5b66\u8bfb\u4e66\uff0c\u5f97\u5230\u8457\u540d\u6570\u5b66\u5bb6\u8d1d\u52aa\u5229\u7684\u7cbe\u5fc3\u6307\u5bfc\uff0e\u6b27\u62c9\u662f\u79d1\u5b66\u53f2\u4e0a\u6700\u591a\u4ea7\u7684\u4e00\u4f4d\u6770\u51fa\u7684\u6570\u5b66\u5bb6\uff0c\u4ed6\u4ece19\u5c81\u5f00\u59cb\u53d1\u8868\u8bba\u6587\uff0c\u76f4\u523076\u5c81\uff0c\u4ed6\u90a3\u4e0d\u5026\u7684\u4e00\u751f\uff0c\u5171\u5199\u4e0b\u4e86886\u672c\u4e66\u7c4d\u548c\u8bba\u6587\uff0c\u5176\u4e2d\u5728\u4e16\u65f6\u53d1\u8868\u4e86700\u591a\u7bc7\u8bba\u6587\u3002\u5f7c\u5f97\u5821\u79d1\u5b66\u9662\u4e3a\u4e86\u6574\u7406\u4ed6\u7684\u8457\u4f5c\uff0c\u6574\u6574\u7528\u4e8647\u5e74\u3002
\u6b27\u62c9\u8457\u4f5c\u60ca\u4eba\u7684\u9ad8\u4ea7\u5e76\u4e0d\u662f\u5076\u7136\u7684\u3002\u4ed6\u90a3\u987d\u5f3a\u7684\u6bc5\u529b\u548c\u5b5c\u5b5c\u4e0d\u5026\u7684\u6cbb\u5b66\u7cbe\u795e\uff0c\u53ef\u4ee5\u4f7f\u4ed6\u5728\u4efb\u4f55\u4e0d\u826f\u7684\u73af\u5883\u4e2d\u5de5\u4f5c\uff1a\u4ed6\u5e38\u5e38\u62b1\u7740\u5b69\u5b50\u5728\u819d\u76d6\u4e0a\u5b8c\u6210\u8bba\u6587\u3002\u5373\u4f7f\u5728\u4ed6\u53cc\u76ee\u5931\u660e\u540e\u768417\u5e74\u95f4\uff0c\u4e5f\u6ca1\u6709\u505c\u6b62\u5bf9\u6570\u5b66\u7684\u7814\u7a76\uff0c\u53e3\u8ff0\u4e86\u597d\u51e0\u672c\u4e66\u548c400\u4f59\u7bc7\u7684\u8bba\u6587\u3002\u5f53\u4ed6\u5199\u51fa\u4e86\u8ba1\u7b97\u5929\u738b\u661f\u8f68\u9053\u7684\u8ba1\u7b97\u8981\u9886\u540e\u79bb\u5f00\u4e86\u4eba\u4e16\u3002\u6b27\u62c9\u6c38\u8fdc\u662f\u6211\u4eec\u53ef\u656c\u7684\u8001\u5e08\u3002
\u6b27\u62c9\u7814\u7a76\u8bba\u8457\u51e0\u4e4e\u6d89\u53ca\u5230\u6240\u6709\u6570\u5b66\u5206\u652f\uff0c\u5bf9\u7269\u7406\u529b\u5b66\u3001\u5929\u6587\u5b66\u3001\u5f39\u9053\u5b66\u3001\u822a\u6d77\u5b66\u3001\u5efa\u7b51\u5b66\u3001\u97f3\u4e50\u90fd\u6709\u7814\u7a76\uff01\u6709\u8bb8\u591a\u516c\u5f0f\u3001\u5b9a\u7406\u3001\u89e3\u6cd5\u3001\u51fd\u6570\u3001\u65b9\u7a0b\u3001\u5e38\u6570\u7b49\u662f\u4ee5\u6b27\u62c9\u540d\u5b57\u547d\u540d\u7684\u3002\u6b27\u62c9\u5199\u7684\u6570\u5b66\u6559\u6750\u5728\u5f53\u65f6\u4e00\u76f4\u88ab\u5f53\u4f5c\u6807\u51c6\u6559\u7a0b\u300219\u4e16\u7eaa\u4f1f\u5927\u7684\u6570\u5b66\u5bb6\u9ad8\u65af\uff08Gauss\uff0c1777-1855\uff09\u66fe\u8bf4\u8fc7\u201c\u7814\u7a76\u6b27\u62c9\u7684\u8457\u4f5c\u6c38\u8fdc\u662f\u4e86\u89e3\u6570\u5b66\u7684\u6700\u597d\u65b9\u6cd5\u201d\u3002\u6b27\u62c9\u8fd8\u662f\u6570\u5b66\u7b26\u53f7\u53d1\u660e\u8005\uff0c\u4ed6\u521b\u8bbe\u7684\u8bb8\u591a\u6570\u5b66\u7b26\u53f7\uff0c\u4f8b\u5982\u03c0\uff0ci\uff0ce\uff0csin\uff0ccos\uff0ctg\uff0c\u03a3\uff0cf (x)\u7b49\u7b49\uff0c\u81f3\u4eca\u6cbf\u7528\u3002
\u6b27\u62c9\u4e0d\u4ec5\u89e3\u51b3\u4e86\u5f57\u661f\u8f68\u8ff9\u7684\u8ba1\u7b97\u95ee\u9898\uff0c\u8fd8\u89e3\u51b3\u4e86\u4f7f\u725b\u987f\u5934\u75db\u7684\u6708\u79bb\u95ee\u9898\u3002\u5bf9\u8457\u540d\u7684\u201c\u54e5\u5c3c\u65af\u5821\u4e03\u6865\u95ee\u9898\u201d\u7684\u5b8c\u7f8e\u89e3\u7b54\u5f00\u521b\u4e86\u201c\u56fe\u8bba\u201d\u7684\u7814\u7a76\u3002\u6b27\u62c9\u53d1\u73b0\uff0c\u4e0d\u8bba\u4ec0\u4e48\u5f62\u72b6\u7684\u51f8\u591a\u9762\u4f53\uff0c\u5176\u9876\u70b9\u6570V\u3001\u68f1\u6570E\u3001\u9762\u6570F\u4e4b\u95f4\u603b\u6709\u5173\u7cfbV+F-E=2\uff0c\u6b64\u5f0f\u79f0\u4e3a\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\u3002V+F-E\u5373\u6b27\u62c9\u793a\u6027\u6570\uff0c\u5df2\u6210\u4e3a\u201c\u62d3\u6251\u5b66\u201d\u7684\u57fa\u7840\u6982\u5ff5\u3002\u90a3\u4e48\u4ec0\u4e48\u662f\u201c\u62d3\u6251\u5b66\u201d\uff1f \u6b27\u62c9\u662f\u5982\u4f55\u53d1\u73b0\u8fd9\u4e2a\u5173\u7cfb\u7684\uff1f\u4ed6\u662f\u7528\u4ec0\u4e48\u65b9\u6cd5\u7814\u7a76\u7684\uff1f\u4eca\u5929\u8ba9\u6211\u4eec\u6cbf\u7740\u6b27\u62c9\u7684\u8db3\u8ff9\uff0c\u6000\u7740\u5d07\u656c\u7684\u5fc3\u60c5\u548c\u6b23\u8d4f\u7684\u6001\u5ea6\u63a2\u7d22\u8fd9\u4e2a\u516c\u5f0f.
\u6b27\u62c9\u5b9a\u7406\u7684\u610f\u4e49
\uff081\uff09\u6570\u5b66\u89c4\u5f8b\uff1a\u516c\u5f0f\u63cf\u8ff0\u4e86\u7b80\u5355\u591a\u9762\u4f53\u4e2d\u9876\u70b9\u6570\u3001\u9762\u6570\u3001\u68f1\u6570\u4e4b\u95f4\u7279\u6709\u7684\u89c4\u5f8b
\uff082\uff09\u601d\u60f3\u65b9\u6cd5\u521b\u65b0\uff1a\u5b9a\u7406\u53d1\u73b0\u8bc1\u660e\u8fc7\u7a0b\u4e2d\uff0c\u89c2\u5ff5\u4e0a\uff0c\u5047\u8bbe\u5b83\u7684\u8868\u9762\u662f\u6a61\u76ae\u8584\u819c\u5236\u6210\u7684\uff0c\u53ef\u968f\u610f\u62c9\u4f38\uff1b\u65b9\u6cd5\u4e0a\u5c06\u5e95\u9762\u526a\u6389\uff0c\u5316\u4e3a\u5e73\u9762\u56fe\u5f62\uff08\u7acb\u4f53\u56fe\u2192\u5e73\u9762\u62c9\u5f00\u56fe\uff09\u3002
\uff083\uff09\u5f15\u5165\u62d3\u6251\u5b66\uff1a\u4ece\u7acb\u4f53\u56fe\u5230\u62c9\u5f00\u56fe\uff0c\u5404\u9762\u7684\u5f62\u72b6\u3001\u957f\u5ea6\u3001\u8ddd\u79bb\u3001\u9762\u79ef\u7b49\u4e0e\u5ea6\u91cf\u6709\u5173\u7684\u91cf\u53d1\u751f\u4e86\u53d8\u5316\uff0c\u800c\u9876\u70b9\u6570\uff0c\u9762\u6570\uff0c\u68f1\u6570\u7b49\u4e0d\u53d8\u3002
\u5b9a\u7406\u5f15\u5bfc\u6211\u4eec\u8fdb\u5165\u4e00\u4e2a\u65b0\u51e0\u4f55\u5b66\u9886\u57df\uff1a\u62d3\u6251\u5b66\u3002\u6211\u4eec\u7528\u4e00\u79cd\u53ef\u968f\u610f\u53d8\u5f62\u4f46\u4e0d\u5f97\u6495\u7834\u6216\u7c98\u8fde\u7684\u6750\u6599\uff08\u5982\u6a61\u76ae\u6ce2\uff09\u505a\u6210\u7684\u56fe\u5f62\uff0c\u62d3\u6251\u5b66\u5c31\u662f\u7814\u7a76\u56fe\u5f62\u5728\u8fd9\u79cd\u53d8\u5f62\u8fc7\u7a0b\u4e2d\u7684\u4e0d\u53d8\u7684\u6027\u8d28\u3002
\uff084\uff09\u63d0\u51fa\u591a\u9762\u4f53\u5206\u7c7b\u65b9\u6cd5\uff1a
\u5728\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\u4e2d\uff0c f (p)=V+F-E \u53eb\u505a\u6b27\u62c9\u793a\u6027\u6570\u3002\u6b27\u62c9\u5b9a\u7406\u544a\u8bc9\u6211\u4eec\uff0c\u7b80\u5355\u591a\u9762\u4f53f (p)=2\u3002
\u9664\u7b80\u5355\u591a\u9762\u4f53\u5916\uff0c\u8fd8\u6709\u975e\u7b80\u5355\u591a\u9762\u4f53\u3002\u4f8b\u5982\uff0c\u5c06\u957f\u65b9\u4f53\u6316\u53bb\u4e00\u4e2a\u6d1e\uff0c\u8fde\u7ed3\u5e95\u9762\u76f8\u5e94\u9876\u70b9\u5f97\u5230\u7684\u591a\u9762\u4f53\u3002\u5b83\u7684\u8868\u9762\u4e0d\u80fd\u7ecf\u8fc7\u8fde\u7eed\u53d8\u5f62\u53d8\u4e3a\u4e00\u4e2a\u7403\u9762\uff0c\u800c\u80fd\u53d8\u4e3a\u4e00\u4e2a\u73af\u9762\u3002\u5176\u6b27\u62c9\u793a\u6027\u6570f (p)=16+16-32=0\uff0c\u5373\u5e26\u4e00\u4e2a\u6d1e\u7684\u591a\u9762\u4f53\u7684\u6b27\u62c9\u793a\u6027\u6570\u4e3a0\u3002
\uff085\uff09\u5229\u7528\u6b27\u62c9\u5b9a\u7406\u53ef\u89e3\u51b3\u4e00\u4e9b\u5b9e\u9645\u95ee\u9898
\u5982\uff1a\u4e3a\u4ec0\u4e48\u6b63\u591a\u9762\u4f53\u53ea\u67095\u79cd\uff1f \u8db3\u7403\u4e0eC60\u7684\u5173\u7cfb\uff1f\u5426\u6709\u68f1\u6570\u4e3a7\u7684\u6b63\u591a\u9762\u4f53\uff1f\u7b49
\u6b27\u62c9\u5b9a\u7406\u7684\u8bc1\u660e
\u65b9\u6cd51\uff1a\uff08\u5229\u7528\u51e0\u4f55\u753b\u677f\uff09
\u9010\u6b65\u51cf\u5c11\u591a\u9762\u4f53\u7684\u68f1\u6570\uff0c\u5206\u6790V+F-E
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\uff081\uff09\u53bb\u6389\u4e00\u6761\u68f1\uff0c\u5c31\u51cf\u5c11\u4e00\u4e2a\u9762\uff0cV+F1-E\u4e0d\u53d8\u3002\u4f9d\u6b21\u53bb\u6389\u6240\u6709\u7684\u9762\uff0c\u53d8\u4e3a\u201c\u6811\u679d\u5f62\u201d\u3002
\uff082\uff09\u4ece\u5269\u4e0b\u7684\u6811\u679d\u5f62\u4e2d\uff0c\u6bcf\u53bb\u6389\u4e00\u6761\u68f1\uff0c\u5c31\u51cf\u5c11\u4e00\u4e2a\u9876\u70b9\uff0cV+F1-E\u4e0d\u53d8\uff0c\u76f4\u81f3\u53ea\u5269\u4e0b\u4e00\u6761\u68f1\u3002
\u4ee5\u4e0a\u8fc7\u7a0bV+F1-E\u4e0d\u53d8\uff0cV+F1-E=1\uff0c\u6240\u4ee5\u52a0\u4e0a\u53bb\u6389\u7684\u4e00\u4e2a\u9762\uff0cV+F-E =2\u3002
\u5bf9\u4efb\u610f\u7684\u7b80\u5355\u591a\u9762\u4f53\uff0c\u8fd0\u7528\u8fd9\u6837\u7684\u65b9\u6cd5\uff0c\u90fd\u662f\u53ea\u5269\u4e0b\u4e00\u6761\u7ebf\u6bb5\u3002\u56e0\u6b64\u516c\u5f0f\u5bf9\u4efb\u610f\u7b80\u5355\u591a\u9762\u4f53\u90fd\u662f\u6b63\u786e\u7684\u3002
\u3000
\u65b9\u6cd52\uff1a\u8ba1\u7b97\u591a\u9762\u4f53\u5404\u9762\u5185\u89d2\u548c
\u8bbe\u591a\u9762\u4f53\u9876\u70b9\u6570V\uff0c\u9762\u6570F\uff0c\u68f1\u6570E\u3002\u526a\u6389\u4e00\u4e2a\u9762\uff0c\u4f7f\u5b83\u53d8\u4e3a\u5e73\u9762\u56fe\u5f62\uff08\u62c9\u5f00\u56fe\uff09,\u6c42\u6240\u6709\u9762\u5185\u89d2\u603b\u548c\u03a3\u03b1
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\u8bbe\u6709F\u4e2a\u9762\uff0c\u5404\u9762\u7684\u8fb9\u6570\u4e3an1,n2\uff0c\u2026\uff0cnF\uff0c\u5404\u9762\u5185\u89d2\u603b\u548c\u4e3a\uff1a
\u03a3\u03b1 = [(n1-2)\u00b71800+(n2-2)\u00b71800 +\u2026+(nF-2) \u00b71800]
= (n1+n2+\u2026+nF -2F) \u00b71800
=(2E-2F) \u00b71800 = (E-F) \u00b73600 \uff081\uff09
\u53e6\u4e00\u65b9\u9762\uff0c\u5728\u62c9\u5f00\u56fe\u4e2d\u5229\u7528\u9876\u70b9\u6c42\u5185\u89d2\u603b\u548c\u3002
\u8bbe\u526a\u53bb\u7684\u4e00\u4e2a\u9762\u4e3an\u8fb9\u5f62\uff0c\u5176\u5185\u89d2\u548c\u4e3a(n-2)\u00b71800\uff0c\u5219\u6240\u6709V\u4e2a\u9876\u70b9\u4e2d\uff0c\u6709n\u4e2a\u9876\u70b9\u5728\u8fb9\u4e0a\uff0cV-n\u4e2a\u9876\u70b9\u5728\u4e2d\u95f4\u3002\u4e2d\u95f4V-n\u4e2a\u9876\u70b9\u5904\u7684\u5185\u89d2\u548c\u4e3a(V-n)\u00b73600\uff0c\u8fb9\u4e0a\u7684n\u4e2a\u9876\u70b9\u5904\u7684\u5185\u89d2\u548c(n-2)\u00b71800\u3002
\u6240\u4ee5\uff0c\u591a\u9762\u4f53\u5404\u9762\u7684\u5185\u89d2\u603b\u548c\uff1a
\u03a3\u03b1 = (V-n)\u00b73600+(n-2)\u00b71800+(n-2)\u00b71800
=\uff08V-2\uff09\u00b73600. \uff082\uff09
\u7531(1)(2)\u5f97\uff1a (E-F) \u00b73600 =\uff08V-2\uff09\u00b73600
\u6240\u4ee5 V+F-E=2.
\u6b27\u62c9\u5b9a\u7406\u7684\u8fd0\u7528\u65b9\u6cd5
\uff081\uff09\u5206\u5f0f\uff1a
a\uff3er/(a-b)(a-c)+b\uff3er/(b-c)(b-a)+c\uff3er/(c-a)(c-b)
\u5f53r=0,1\u65f6\u5f0f\u5b50\u7684\u503c\u4e3a0
\u5f53r=2\u65f6\u503c\u4e3a1
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\uff082\uff09\u590d\u6570
\u7531e\uff3ei\u03b8=cos\u03b8+isin\u03b8,\u5f97\u5230\uff1a
sin\u03b8=\uff08e\uff3ei\u03b8-e\uff3e-i\u03b8\uff09/2i
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\uff083\uff09\u4e09\u89d2\u5f62
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d\uff3e2=R\uff3e2-2Rr
\uff084\uff09\u591a\u9762\u4f53
\u8bbev\u4e3a\u9876\u70b9\u6570\uff0ce\u4e3a\u68f1\u6570\uff0cf\u662f\u9762\u6570\uff0c\u5219
v-e+f=2-2p
p\u4e3a\u6b27\u62c9\u793a\u6027\u6570\uff0c\u4f8b\u5982
p=0 \u7684\u591a\u9762\u4f53\u53eb\u7b2c\u96f6\u7c7b\u591a\u9762\u4f53
p=1 \u7684\u591a\u9762\u4f53\u53eb\u7b2c\u4e00\u7c7b\u591a\u9762\u4f53
(5) \u591a\u8fb9\u5f62
\u8bbe\u4e00\u4e2a\u4e8c\u7ef4\u51e0\u4f55\u56fe\u5f62\u7684\u9876\u70b9\u6570\u4e3aV\uff0c\u5212\u5206\u533a\u57df\u6570\u4e3aAr\uff0c\u4e00\u7b14\u753b\u7b14\u6570\u4e3aB,\u5219\u6709\uff1a
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(6). \u6b27\u62c9\u5b9a\u7406
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（1）背景：欧拉公式的背后是一门新的几何学，这种新的几何学只研究图形各部分位置的相对次序，而不考虑图形尺寸大小，这就是由莱布尼兹和欧拉共同奠基的“橡皮膜上的几何学”（位置几何学），如今这门学科已经发展成数学的一个重要的分支——拓扑学。
（2）历史：有关凸多面体最有趣的定理之一是欧拉公式“V-E F=2”，其实大约在1635年笛卡尔就早已发现了它。欧拉在1750年独立地发现了这个公式，并于1752年发表了它。由于笛卡尔的研究到1860年才被人们发现，所以这个定理就称为欧拉公式而不是笛卡尔公式。
欧拉,出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指导．
欧拉在数学上的建树很多，对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究。欧拉还发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有V-E F=2这个关系。V-E F 被称为欧拉示性数，成为拓扑学的基础概念。以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见, 与此同时，他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就。欧拉还创设了许多数学符号，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），∑（1755年），f(x)（1734年)等。
1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授．1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算彗星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了．然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁．
欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的．
欧拉，瑞士数学家及自然科学家 在1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国的彼得堡去逝 欧拉出生于牧师家庭，自幼已受到父亲的教育 13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位
欧拉的父亲希望他学习神学，但他最感兴趣的是数学 在上大学时，他已受到约翰第一．伯努利的特别指导，专心 研究数学，直至18岁，他彻底的放弃当牧师的想法而专攻数学，于19岁时（1726年）开始创作文章，并获得巴黎科学院奖金
1727年，在丹尼尔．伯努利的推荐下，到俄国的彼得堡科学院从事研究工作 并在1731年接替丹尼尔第一．伯努利 ，成为物理学教授
在俄国的14年中，他努力不懈地投入研究，在分析学、数论及力学方面均有出色的表现 此外，欧拉还应俄国政府 的要求，解决了不少如地图学、造船业等的实际问题 1735 年，他因工作过度以致右眼失明 在1741年，他受到普鲁士 腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理数学所所长一职 他在柏林期间，大大的扩展了研究的内容，如行星运动、刚 体运动、热力学、弹道学、人口学等，这些工作与他的数学研究互相推动着 与此同时，他在微分方程、曲面微分几何 及其它数学领域均有开创性的发现
1766年，他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡 在 1771年，一场重病使他的左眼亦完全失明 但他以其惊人的 记忆力和心算技巧继续从事科学创作 他通过与助手们的讨论以及直接口授等方式完成了大量的科学著作，直至生命的 最后一刻
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域 此外，他 是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》（1748），《微分学原理》（1755），以及《积分学原理》（1768-1770） 都成为数学中的经典著作
欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析学的一些重要分支（如无穷级数、微分方程等）的产生 与发展奠定了基础
欧拉把无穷级数由一般的运算工具转变为一个重要的研究科目 他计算出ξ函数在偶数点的值 他证明了a2k是有理数，而且可以伯努利数来表示
此外，他对调和级数亦有所研究，并相当精确的计算出欧拉常数γ的值,其值近似为0.57721566490153286060651209...
在18世纪中叶，欧拉和其它数学家在解决物理方面的问过程中，创立了微分方程学 当中，在常微分方程方面，他 完整地解决了n阶常系数线性齐次方程的问题，对于非齐次方程，他提出了一种降低方程阶的解法；而在偏微分方程 方面，欧拉将二维物体振动的问题，归结出了一、二、三维波动方程的解法 欧拉所写的《方程的积分法研究》更是 偏微分方程在纯数学研究中的第一篇论文
在微分几何方面（微分几何是研究曲线、曲面逐点变化性质的数学分支），欧拉引入了空间曲线的参数方程，给 出了空间曲线曲率半径的解析表达方式 在1766年，他出版了《关于曲面上曲线的研究》，这是欧拉对微分几何最重要 的贡献，更是微分几何发展史上一个里程碑 他将曲面表为 z=f(x,y)，并引入一系列标准符号以表示z对x，y的偏导数 ，这些符号至今仍通用 此外，在该著作中，他亦得到了曲面在任意截面上截线的曲率公式
欧拉在分析学上的贡献不胜枚举，如他引入了G函数和B 函数，这证明了椭圆积分的加法定理，以及最早引入二重积 分等等 在代数学方面，他发现了每个实系数多项式必分解为一次或二次因子之积，即a+bi的形式 欧拉还给出了费马小定 理的三个证明，并引入了数论中重要的欧拉函数φ(n)，他研究数论的一系列成果奠定了数论成为数学中的一个独立分 支 欧拉又用解析方法讨论数论问题，发现了ξ函数所满足的函数方程，并引入欧拉乘积 而且还解决了著名的柯尼斯堡七桥问题
欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家 从19岁起和欧拉通信、讨论等周问题的一般解法，从而引起了变分法的诞生 等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得了欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛赞拉格朗日的成就，并谦恭地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年轻的拉格朗日的著作得以发表和流传，赢得巨大声誉
1783年9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭 那时天王星刚发现不久，欧拉写出计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下……欧拉就这样“停止了生命和计算”
历史学家把欧拉和阿基米德、牛顿、高斯并列为有史以来贡献最大的四位数学家．他们有一个值得注意的共同点，就是在创建纯粹理论的同时，还应用这些数学工具去解决大量天文、物理、力学等方面的实际问题 他们的工作常常是跨学科的，他们不断地从实践中吸取丰富的营养，但又不满足于具体问题的解决，而力图探究宇宙的奥秘，揭示其内在的规律
欧拉留给后人丰富的科学遗产中，分析、代数、数论占4o％，几何占18％，物理和力学占28％，天文占11％，弹道学、航海科学、建筑等其他问题占3％ 1748年在瑞士洛桑出版的他的《无穷小分析引论》，是划时代的代表作，也是世界上第一本完整的有系统的分析学
欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理
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