基本不等式的两个重要结论
基本不等式的两个重要的结论是等号成立条件和推广形式。
1、基本不等式的一个重要结论是它的等号成立条件。对于两个正数a和b，基本不等式可以表示为：a+ b≥2√（ab）。当且仅当a=b时，等号成立。这个结论表明，对于两个正数，它们的平均数一定不小于它们的几何平均数。
2、基本不等式的另一个重要结论是它的推广形式。将基本不等式的两边同时除以一个正数c，得到：（ca）+（cb）≥2√（cab）。当且仅当a=b时，等号成立。这个结论表明，对于任意三个正数a、b和c，它们的乘积的平均数也一定不小于它们的乘积的几何平均数。
基本不等式的这两个重要结论是数学中常用的工具，它们可以帮助我们证明一些不等式和求一些函数的最值。例如，利用基本不等式可以证明一些不等式成立，也可以用来求一些函数的最小值和最大值等。
基本不等式的背景：
1、代数学中的基本不等式。在古希腊数学中，毕达哥拉斯学派在研究二次无理数时，发现了两个无理数的关系。这是最早的关于不等式的基本形式的记载。
2、文艺复兴时期的基本不等式。基本不等式的现代形式最初出现在法国数学家布列塔尼的著作中，他在1772年首次使用了符号来表示两个数的算术平均数和几何平均数之间的关系。
布列塔尼给出了一个定理：如果a和b是两个正数，那么不超过a和b的算术平均数与几何平均数的和。这个定理就是现在所说的基本不等式。
3、基本不等式的证明和发展。基本不等式的证明方法有很多种，其中最常用的方法是利用琴生不等式。
琴生不等式是由丹麦数学家琴生在1905年首次证明的，它表明：如果一个函数在某个区间上是凸函数，那么它的任意两个独立变量的平均值在该区间上取值时，函数的值不会小于这两个变量的函数值的平均值。
绛旓細鍩烘湰涓嶇瓑寮忕殑涓や釜閲嶈鐨勭粨璁烘槸绛夊彿鎴愮珛鏉′欢鍜屾帹骞垮舰寮銆1銆佸熀鏈笉绛夊紡鐨勪竴涓噸瑕佺粨璁烘槸瀹冪殑绛夊彿鎴愮珛鏉′欢銆傚浜庝袱涓鏁癮鍜宐锛屽熀鏈笉绛夊紡鍙互琛ㄧず涓猴細a+ b鈮2鈭氾紙ab锛夈傚綋涓斾粎褰揳=b鏃讹紝绛夊彿鎴愮珛銆傝繖涓粨璁鸿〃鏄庯紝瀵逛簬涓や釜姝ｆ暟锛屽畠浠殑骞冲潎鏁颁竴瀹氫笉灏忎簬瀹冧滑鐨勫嚑浣曞钩鍧囨暟銆2銆佸熀鏈笉绛夊紡鐨勫彟涓涓噸瑕佺粨...
绛旓細鍩烘湰涓嶇瓑寮忓畠鎻忚堪浜嗕袱涓鏁扮殑骞冲潎鏁颁笌瀹冧滑鐨勫嚑浣曞钩鍧囨暟涔嬮棿鐨勫叧绯銆傚叿浣撳舰寮忎负锛氬浜庝袱涓鏁癮鍜宐锛屾湁锛坅+b锛/2>=sqrt锛坅b锛夛紙褰撲笖浠呭綋a=b鏃剁瓑鍙锋垚绔嬶級銆傜浉鍏崇煡璇嗗涓嬶細1銆佽繖涓笉绛夊紡鍏锋湁骞挎硾鐨勫簲鐢ㄤ环鍊硷紝鍙互鐢ㄤ簬瑙ｅ喅涓浜涘疄闄呴棶棰樺拰鏁板闂銆備緥濡傦紝鍦ㄦ渶澶у埄娑︺佹渶灏忔垚鏈佹渶鐭矾寰勭瓑闂涓紝鍙...
绛旓細鍩烘湰涓嶇瓑寮忔湁锛1銆佷笁瑙掍笉绛夊紡 涓夎涓嶇瓑寮忓嵆鍦ㄤ笁瑙掑舰涓袱杈逛箣鍜屽ぇ浜庣涓夎竟锛屾槸骞抽潰鍑犱綍涓嶇瓑寮忛噷鏈涓哄熀纭鐨勭粨璁銆傚箍涔夋墭鍕掑瘑瀹氱悊銆佹鎷夊畾鐞嗗強娆ф媺涓嶇瓑寮忔渶鍚庨兘浼氱敤杩欎竴涓嶇瓑寮忓鍑轰笉绛夊叧绯汇2銆佸钩鍧囧间笉绛夊紡 Hn鈮n鈮n鈮n琚О涓哄钩鍧囧间笉绛夊紡锛屽嵆璋冨拰骞冲潎鏁颁笉瓒呰繃鍑犱綍骞冲潎鏁帮紝鍑犱綍骞冲潎鏁颁笉瓒呰繃绠楁湳骞冲潎鏁...
绛旓細璇存槑锛氾紙1锛変笉绛夊紡涓ょ涔樹互鍚屼竴涓鏁帮紝涓嶇瓑鍙锋柟鍚戜笉鍙橈紱涔樹互鍚屼竴涓礋鏁帮紝涓嶇瓑鍙锋柟鍚戞敼鍙锛涳紙2锛変袱杈归兘鏄鏁扮殑鍚屽悜涓嶇瓑寮忕殑涓よ竟鍒嗗埆鐩镐箻锛屾墍寰椾笉绛夊紡涓庡師涓嶇瓑寮忓悓鍚戯紱锛3锛夋帹璁 鍙互鎺ㄥ箍鍒颁换鎰忔湁闄愪釜涓よ竟閮芥槸姝ｆ暟鐨勫悓鍚戜笉绛夊紡涓よ竟鍒嗗埆鐩镐箻銆傝繖灏辨槸璇达紝涓や釜鎴栬呮洿澶氫釜涓よ竟閮芥槸姝ｆ暟鐨勫悓鍚戜笉绛夊紡涓よ竟...
绛旓細1銆佷袱涓瀹炴暟鐨勭畻鏁板钩鍧囨暟澶т簬鎴栫瓑浜庡嚑浣曞钩鍧囨暟锛屽畠鐨勮瘉鏄庡緢绠鍗曪紝鍒╃敤瀹屽叏骞虫柟灞曞紑寮忓嵆鍙锛涢櫎姝や箣澶栵紝鍒╃敤瀹屽叏骞虫柟鐨勪笉绛夊紡杩樺彲浠ュ緱鍒板叾浠栫粨璁猴紝涓よ竟鍚屾椂鍔犱笂x鍜寉鐨勫钩鏂瑰拰锛屼袱杈瑰悓鏃跺紑鏍瑰彿锛屽熀鏈笉绛夊紡涓瓁銆亂鍧囦负姝ｆ暟锛1/x銆1/y涔熶负姝ｆ暟銆2銆佸皢1/x銆1/y浠ｅ叆鍩烘湰涓嶇瓑寮忥紝灏嗕笉绛夊紡鍚堝湪涓璧凤紝褰...
绛旓細杩欎釜涓嶇瓑寮忔槸鍩烘湰涓嶇瓑寮忕殑涓绉嶏紝骞挎硾搴旂敤浜庡悇绉嶆暟瀛﹂棶棰樺拰瀹為檯搴旂敤涓備緥濡傛眰瑙ｆ渶鍊奸棶棰樸佽瘉鏄庝笉绛夊紡绛夈傚畠鎻愪緵浜嗕竴绉嶅揩閫熶及绠涓や釜姝ｆ暟涔樼Н骞虫柟鏍圭殑鏂规硶銆傚湪瀹為檯搴旂敤涓紝閫氳繃灏嗘暟鍊艰繘琛屽钩鏂硅繍绠楃畝鍖栬绠楄繃绋嬶紝骞朵笖甯稿父缁撳悎鍏朵粬鏁板鐭ヨ瘑濡備簩娆″嚱鏁扮瓑杩涜缁煎悎搴旂敤銆傚悓鏃跺畠涔熸槸瀵瑰疄鏁拌繘琛屾ц川鐮旂┒鐨勪竴涓噸瑕宸ュ叿...
绛旓細濡傛灉涓哄疄鏁帮紝鍒閲嶈缁撹銆(1锛夊鏋滅Нxy鏄畾鍊糚锛岄偅涔堝綋x锛漼鏃讹紝鍜寈锛媦鏈夋渶灏忓2銆傦紙2锛夊鏋滃拰x锛媦鏄畾鍊糞锛岄偅涔堝綋x锛漼鏃讹紝鍜寈y鏈夋渶澶у糞2/4銆傛暟瀛︾煡璇嗙偣3锛庤瘉鏄涓嶇瓑寮忕殑甯哥敤鏂规硶锛氭瘮杈冩硶锛氭瘮杈冩硶鏄渶鍩烘湰銆佹渶閲嶈鐨勬柟娉曘傚綋涓嶇瓑寮忕殑涓よ竟鐨勫樊鑳藉垎瑙ｅ洜寮忔垨鑳介厤鎴愬钩鏂瑰拰鐨勫舰寮忥紝鍒欓夋嫨浣滃樊...
绛旓細璁╂垜浠繁鍏ユ帰璁涓嶇瓑寮忕殑榄呭姏锛岄鍏堜粠鍩虹鐨勪笉绛夊紡璇磋捣銆傚疄鏁颁笘鐣屼腑鐨勪竴涓噸瑕瀹氱悊锛屽氨鏄憲鍚嶇殑鍩烘湰涓嶇瓑寮锛屽畠鎻ず浜嗙畻鏈钩鍧囦笌鍑犱綍骞冲潎涔嬮棿鐨勬繁鍒昏仈绯汇傚綋鎴戜滑鐢ㄥ叕寮 (x + y)^2 鈮 4xy鏉ヨ〃杩帮紝瀹冭鏄庝换浣涓や釜闈炶礋鏁扮殑绠楁湳骞冲潎鎬绘槸涓嶅皬浜庡畠浠殑鍑犱綍骞冲潎銆傝繖涓瓑寮忔垚绔嬬殑鍏呭垎蹇呰鏉′欢鏄紝褰撲笖浠呭綋 x ...
绛旓細1.姣旇緝娉曟瘮杈冩硶鏄瘉鏄庝笉绛夊紡鐨勬渶鍩烘湰銆佹渶閲嶈鐨勬柟娉曚箣涓,瀹冩槸涓や釜瀹炴暟澶у皬椤哄簭鍜岃繍绠楁ц川鐨勭洿鎺ュ簲鐢,姣旇緝娉曞彲鍒嗕负宸兼瘮杈冩硶(绠绉颁负姹傚樊娉)鍜屽晢鍊兼瘮杈冩硶(绠绉颁负姹傚晢娉)銆 (1)宸兼瘮杈冩硶鐨勭悊璁轰緷鎹槸涓嶇瓑寮忕殑鍩烘湰鎬ц川:鈥渁-b鈮0a鈮;a-b鈮0a鈮鈥濄傚叾涓鑸楠や负:鈶犱綔宸:鑰冨療涓嶇瓑寮忓乏鍙充袱杈规瀯鎴愮殑宸紡,灏...
绛旓細1.姣旇緝娉曟瘮杈冩硶鏄瘉鏄庝笉绛夊紡鐨勬渶鍩烘湰銆佹渶閲嶈鐨勬柟娉曚箣涓锛屽畠鏄涓や釜瀹炴暟澶у皬椤哄簭鍜岃繍绠楁ц川鐨勭洿鎺ュ簲鐢紝姣旇緝娉曞彲鍒嗕负宸兼瘮杈冩硶(绠绉颁负姹傚樊娉)鍜屽晢鍊兼瘮杈冩硶(绠绉颁负姹傚晢娉)銆(1)宸兼瘮杈冩硶鐨勭悊璁轰緷鎹槸涓嶇瓑寮忕殑鍩烘湰鎬ц川锛“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”銆傚叾涓鑸楠や负锛氣憼浣...
