三阶对称矩阵，已知三个特征值（c1=-1,c2=c3=1）和一个特征向量(0,1,1)，要求原矩阵 设三阶实对称矩阵A的特征值为-1,1,1.与特征值-1对应的...
\u8bbe\u4e09\u9636\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635A\u7684\u4e09\u4e2a\u7279\u5f81\u503c\u662f-1,1,1\uff0c\u7279\u5f81\u503c-1\u5bf9\u5e94\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u662f\uff080\uff0c1,1\uff09\u6c42\u7279\u5f81\u503c1\u5bf9\u5e94\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u7531\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u7684\u5c5e\u4e8e\u4e0d\u540c\u7279\u5f81\u503c\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u6b63\u4ea4
\u6240\u4ee5\u82e5\u8bbex=(x1,x2,x3)^T \u662fA\u7684\u5c5e\u4e8e\u7279\u5f81\u503c1\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf, \u5219\u6709
x2+x3=0
\u5f97\u57fa\u7840\u89e3\u7cfb a2=(1,0,0)^T, a3=(0,1,-1)^T.
\u8bb0a1=(0,1,1)^T
\u4ee4P=(a1,a2,a3), \u5219P\u53ef\u9006, \u4e14 P^-1AP = diag(-1,1,1)
\u6240\u4ee5 A = Pdiag(-1,1,1)P^-1 =
1 0 0
0 0 -1
0 -1 0
\u7531\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u7684\u5c5e\u4e8e\u4e0d\u540c\u7279\u5f81\u503c\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u6b63\u4ea4\u77e5
\u7279\u5f81\u503c-1\u5bf9\u5e94\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cfa1=(-1,1,1)'\u4e0e\u5c5e\u4e8e\u7279\u5f81\u503c\u4e3a1\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u4e0eX=(x1,x2,x3)'\u6b63\u4ea4
\u5373\u6709 -x1+x2+x3 = 0.
\u89e3\u5f97\u4e00\u4e2a\u57fa\u7840\u89e3\u7cfb a2=(1,0,1)',a3=(1,1,0)'.
\u5c06a2,a3\u6b63\u4ea4\u5316\u5f97 b1=(1,0,1)',b2=(1/2,1,-1/2)'=(1/2)(1,2,-1)'.
\u5c06a1,b2,b3\u5355\u4f4d\u5316\u5f97
c1=(-1/\u221a3,1/\u221a3,1/\u221a3)',c2=(1/\u221a2,0,1/\u221a2)',c3=(1/\u221a6,2/\u221a6,-1/\u221a6)'.
\u4ee4P=(c1,c2,c3) =
-1/\u221a3 1/\u221a2 1/\u221a6
1/\u221a3 0 2/\u221a6
1/\u221a3 1/\u221a2 -1/\u221a6
\u5219P\u4e3a\u6b63\u4ea4\u77e9\u9635,\u6ee1\u8db3 P^-1AP=diag(-1,1,1)
\u6240\u4ee5\u6709 A = Pdiag(-1,1,1)P^-1 =
1/3 2/3 2/3
2/3 1/3 -2/3
2/3 -2/3 1/3
= (1/3)* [\u63d0\u51fa1/3,\u597d\u770b\u4e9b]
1 2 2
2 1 -2
2 -2 1
\u5e0c\u671b\u5bf9\u4f60\u6709\u5e2e\u52a9\uff0c\u671b\u91c7\u7eb3\u54c8
再说这道题。
这是个镜像变换，也叫Householder变换。
特征值1所对应的特征向量，就是那个镜像平面上的向量，也就是当作镜子的平面上的向量。很容易想象，它们变换后不变，也就是特征值为1。
特征值-1所对应的特征向量，是与那个镜像平面垂直的向量。也很容易想象，它们变换后变成相反的向量，也就是特征值-1。
镜像变换矩阵本身就是实对阵的，所以你不用再管实对称这个条件。
你可以用镜像变换的标准求法：
特征值为-1所对应的特征向量：x1=[0,1,1]^T，有了这个就足够了。
先把x1单位化：v=x1/|x1|，其中|x1|是x1的模（长度）。
对任意向量x，A把x镜像，镜像平面是与v垂直的平面，所以：Ax=x-2(v,x)v，其中(v,x)代表内积。
所以：Ax=x-2v(v^T x)=x-2(v v^T)x=(I-2v v^T)x，其中I是3阶单位阵。
所以：A=I-2v v^T
算出来A就是那个答案。
方法2，你也可以用提示中的方法，也就是求特征值1所对应的特征向量。
已知x1是与镜像平面垂直的方向，现在要找镜像平面上的2个线性无关的向量，那么只要与x1垂直，且线性无关就行了。
比如：你可以写特征值1对应的2个向量是：x2=[1,0,0]^T，x3=[0,1,-1]^T
最后再通过A=PDP'，就能求得A，其中D是特征值组成的对角阵，P是特征向量摆成的那个矩阵，P'是它的逆矩阵。
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