一道高数数列极限题 一道高数数列极限证明题
\u4e00\u9053\u9ad8\u6570\u7684\u6570\u5217\u6781\u9650\u9898\u76ee\uff0c\u6c42\u89e3\uff0c\u9700\u8981\u5148\u8bc1\u660e\u5b58\u5728\u6781\u9650\uff0c\u518d\u6c42\u6781\u9650\uff0c\u6781\u9650\u6bd4\u8f83\u597d\u6c42\uff0c\u4f46\u662f\u4e0d\u77e5\u9053\u600e\u4e48\u8bc1\u660e\u3002\u6781\u9650\u5b58\u5728\u7684\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u662f\uff0c\u8be5\u6570\u5217\u5355\u8c03\u6709\u754c\u3002
1\uff09\u5148\u8bc1\u6709\u754c\u3002
2\uff09\u518d\u8bc1\u5355\u8c03\u6027
3\uff09\u6700\u540e\u6c42\u6781\u9650
\u6839\u636e\u5355\u8c03\u6709\u754c\u5fc5\u6536\u655b\u51c6\u5219\uff0c\u8be5\u6781\u9650\u5b58\u5728\u3002
\u5199\u5f97\u591f\u8be6\u7ec6\u5427\u3002\u5728\u8bc1\u660e\u6709\u754c\u6027\u7684\u65f6\u5019\u5b9e\u9645\u4e0a\u8981\u7528\u5230 x_1\uff0c\u6211\u76f4\u63a5\u8df3\u8fc7\u4e86\uff0c\u4f60\u53ef\u4ee5\u52a0\u4e0a\u3002
lim(n\u2192\u221e)x(n) = a
\u5bf9\u4efb\u4e00 \u03b5>0\uff0c\u5b58\u5728 N\u2208Z+\uff0c\u5f53n>N\u65f6\uff0c\u6709 |x(n)-a| <\u03b5
\u5bf9\u4efb\u4e00 \u03b5>0\uff0c\u5b58\u5728 N\u2208Z+\uff0c\u5f53n>N\u65f6\uff0c\u6709 x(n) \u2208 (a-\u03b5, a+\u03b5)
\u5bf9\u4efb\u4e00 \u03b5>0\uff0c\u5b58\u5728 N\u2208Z+\uff0c\u81f3\u591a\u53ea\u6709 n = 1, 2, \u2026, N \u4e0d\u6ee1\u8db3 x(n) \u2208 (a-\u03b5, a+\u03b5)
\u5bf9\u4efb\u4e00 \u03b5>0\uff0c\u533a\u95f4 (a-\u03b5, a+\u03b5) \u5916\u6700\u591a\u53ea\u6709\u6709\u9650\u591a\u9879 x(n)\u3002
证明:存在极限
首先,能寻找一个xi,使得xi大于1,否则数列小于1
又显然xi大于a,(否则数列递减,存在极限)
于是xi+a小于2xi
所以x(i+1)小于根号下2xi,即2^(1/2)乘以xi^(1/2)
所以x(i+2)小于根号下2x(i+1),即2^(1/2+1/4)乘以xi^(1/4)
……
所以x(i+n)小于根号下2^(1/2+1/4+1/8+……1/2^n)乘以xi^(1/2^n),取极限,小于2乘以xi
所以有界,又x2显然大于x1
数学归纳法:设x(i+1)〉xi,所以a+x(i+1)大于a+xi,所以,根号下a+x(i+1)大于根号下a+xi,即x(i+2)〉x(i+1)
综上,单调有界
利用n趋近无穷大时 x(n)=x(n+1)
解得极限为[1+根号下(1+4a)]/2
解毕
利用n趋近无穷大时 x(n)=x(n+1)
然后解方程
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绛旓細= (1/2) * [ 1 + a/(Xn ) ^2 ] 鈮 [ a/(Xn ) ^2 ]^(1/2) = a^(1/2) / Xn 鈮 1 鏁 { Xn} 鍗曡皟澧炲ぇ涓旀湁涓婄晫銆 鏁呭叾鏋侀檺瀛樺湪锛屽苟璁 lim { Xn } = c 寮忓瓙 Xn+1 = (1/2) * [ 1 + a/(Xn ) ^2 ] 鐨勪袱杈规眰鏋侀檺锛屾湁 c = (1/2)...
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