一道高数数列极限题 一道高数数列极限证明题

\u4e00\u9053\u9ad8\u6570\u7684\u6570\u5217\u6781\u9650\u9898\u76ee\uff0c\u6c42\u89e3\uff0c\u9700\u8981\u5148\u8bc1\u660e\u5b58\u5728\u6781\u9650\uff0c\u518d\u6c42\u6781\u9650\uff0c\u6781\u9650\u6bd4\u8f83\u597d\u6c42\uff0c\u4f46\u662f\u4e0d\u77e5\u9053\u600e\u4e48\u8bc1\u660e\u3002

\u6781\u9650\u5b58\u5728\u7684\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u662f\uff0c\u8be5\u6570\u5217\u5355\u8c03\u6709\u754c\u3002
1\uff09\u5148\u8bc1\u6709\u754c\u3002

2\uff09\u518d\u8bc1\u5355\u8c03\u6027

3\uff09\u6700\u540e\u6c42\u6781\u9650
\u6839\u636e\u5355\u8c03\u6709\u754c\u5fc5\u6536\u655b\u51c6\u5219\uff0c\u8be5\u6781\u9650\u5b58\u5728\u3002

\u5199\u5f97\u591f\u8be6\u7ec6\u5427\u3002\u5728\u8bc1\u660e\u6709\u754c\u6027\u7684\u65f6\u5019\u5b9e\u9645\u4e0a\u8981\u7528\u5230 x_1\uff0c\u6211\u76f4\u63a5\u8df3\u8fc7\u4e86\uff0c\u4f60\u53ef\u4ee5\u52a0\u4e0a\u3002

lim(n\u2192\u221e)x(n) = a
\u5bf9\u4efb\u4e00 \u03b5>0\uff0c\u5b58\u5728 N\u2208Z+\uff0c\u5f53n>N\u65f6\uff0c\u6709 |x(n)-a| <\u03b5
\u5bf9\u4efb\u4e00 \u03b5>0\uff0c\u5b58\u5728 N\u2208Z+\uff0c\u5f53n>N\u65f6\uff0c\u6709 x(n) \u2208 (a-\u03b5, a+\u03b5)
\u5bf9\u4efb\u4e00 \u03b5>0\uff0c\u5b58\u5728 N\u2208Z+\uff0c\u81f3\u591a\u53ea\u6709 n = 1, 2, \u2026, N \u4e0d\u6ee1\u8db3 x(n) \u2208 (a-\u03b5, a+\u03b5)
\u5bf9\u4efb\u4e00 \u03b5>0\uff0c\u533a\u95f4 (a-\u03b5, a+\u03b5) \u5916\u6700\u591a\u53ea\u6709\u6709\u9650\u591a\u9879 x(n)\u3002

【注：设a＞0,则3a+1-√(1+4a)=[(3a+1)-√(4a+1)][(3a+1)+√(4a+1)]/[(3a+1)+√(4a+1)]=(9a²+2a)/[(3a+1)+√(4a+1)]＞0.∴3a+1＞√(4a+1).===>4a+1＞a+√(4a+1).===>√(4a+1)＞√[a+√(4a+1)].】证明：(一）∵a＞0,∴x1=√a＞0.===>a+x1＞a.===>√(a+x1)＞√a.即0＜x1＜x2.===>0＜a＜a+x1＜a+x2.===>0＜√a＜√(a+x1)＜√(a+x2).即0＜x1＜x2＜x3.假设0＜x(n-1)＜xn.===>a＜a+x(n-1)＜a+xn.===>√[a+x(n-1)]＜√(a+xn).即xn＜x(n+1).∴数列{xn}是正项递增数列。（二）∵a＞0.∴0＜a＜1+4a.∴√a＜√(1+4a).即x1=√a＜√(1+4a).又3a-(√a)+1=3[(√a)-(1/6)]²+(11/12)＞0.∴3a+1＞√a.===>a+√a＜1+4a.===>√(a+√a)＜√(1+4a).即x2＜√(1+4a).假设xn＜√(1+4a).===>a+xn＜a+√(1+4a).===>√(a+xn)＜√[a+√(1+4a)].===>x(n+1)＜√[a+√(1+4a)]＜√（4a+1).∴x(n+1)＜√(4a+1).即√(4a+1)是数列{xn}的一个上界，综上可知，数列{xn}是一个单调递增且有上界的数列。∴lim(xn)(n-->∞)存在,设极限为y,对递推式两边取极限得y²=a+y.解得y=[1+√(1+4a)]/2.【∵{xn}是正项递增数列，故其极限为正，另一根舍去。】

证明：存在极限
首先，能寻找一个xi，使得xi大于1，否则数列小于1
又显然xi大于a，（否则数列递减，存在极限）
于是xi+a小于2xi
所以x（i+1)小于根号下2xi，即2^(1/2)乘以xi^(1/2)
所以x（i+2）小于根号下2x（i+1），即2^（1/2+1/4）乘以xi^(1/4)
……
所以x（i+n）小于根号下2^（1/2+1/4+1/8+……1/2^n）乘以xi^(1/2^n),取极限，小于2乘以xi
所以有界，又x2显然大于x1
数学归纳法：设x（i+1）〉xi，所以a+x（i+1）大于a+xi，所以，根号下a+x（i+1）大于根号下a+xi，即x（i+2）〉x（i+1)
综上，单调有界
利用n趋近无穷大时 x(n)=x(n+1)
解得极限为[1+根号下（1+4a）]/2
解毕

利用n趋近无穷大时 x(n)=x(n+1)
然后解方程

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