实反对称矩阵的特征值是什么，怎么证明？
证明：设A为实反对称矩阵，λ是它的任意一个特征根，而
是属于特征根λ的一个特征向量，即
一方面，有
另方面，又有
故
但是
故
即λ为零或纯虚数。
扩展资料：
实反对称矩阵有如下性质：
性质1：奇数阶反对称矩阵的行列式值为0。
性质2：当A为n阶实反对称矩阵时，XTAX =0。
性质3：实反对称矩阵的特征值是零或纯虚数。
性质4：若A为实反对称矩阵，A的特征值λ= bi(b≠0)所对应特征向量α+βi中实部与虚部对应的向量α、β相互正交
参考资料来源：百度百科——实反对称矩阵
绛旓細璇佹硶涓锛鍙嶅绉扮煩闃A,婊¤冻A'=-A,璁綼涓篈鐨勭壒寰佸,x涓哄搴旂壒寰佸悜閲.鍒欐槸Ax=ax.瀵逛换涓鍚戦噺閮芥湁x'Ax=0(鍥犱负x'Ax鏄竴涓暟,鏁扮殑杞疆鏄畠鏈韩,灏辨湁x'Ax=(x'Ax)'=x'A'x=-x'Ax,鐪嬬瓑寮忎袱杈),灏ゅ叾x涓虹壒寰佸悜閲忔椂涔熸垚绔,鍒檃x'x=x'Ax=0.鍏朵腑x涓洪潪闆跺悜閲.鍚岀悊A鐨勫叡杞篃鏄弽瀵圭О闃,涓...
绛旓細璁続鍙嶇О锛屼笖AX=位X,(X!=0)鍒欙紙X鐨勫叡杞浆缃)AX=位锛圶鐨勫叡杞浆缃)X=位|X|^2 涓よ竟鍙栬浆缃紝骞舵敞鎰忓埌A瀹炲弽绉帮紝鍒欐湁 -锛圶鐨勫叡杞浆缃)AX=位锛圶鐨勫叡杞浆缃)X=锛埼荤殑鍏辫江锛墊X|^2 涓ゅ紡鐩稿姞寰楋細銆愇+锛埼荤殑鍏辫江锛夈*|X|^2=0 鍥犱负X鏄鐗瑰緛鍚戦噺锛岋紒=0锛屾墍浠ワ細銆愇+锛埼荤殑鍏辫江锛夈=0 ...
绛旓細瀹炲弽绉鐭╅樀鐨璇濓紝鐗瑰緛鍊鍙兘涓0鎴栬呯函铏氭暟锛岃瘉鏄庢柟娉曟槸鍏辫江瀵圭О娉曪紙璇佹槑涓璦涓鎾囪〃绀篴鐨勮浆缃級銆傚鏁板煙涓婄殑璇濆凡缁忎笉鍙鍙嶅绉扮煩闃浜嗗惂锛屽叿浣撲粈涔堟儏鍐垫垜涓嶇煡閬撲簡銆
绛旓細鈶鍙嶅绉扮煩闃电殑瀹炵壒寰佸兼槸闆讹紝铏氱壒寰佸兼槸绾櫄鏁般傗懁鍙嶅绉扮煩闃电殑绉╀负1銆傚弽瀵圭О鐭╅樀鐨勪綔鐢細1銆佷紭鍖栭棶棰橈細鍦ㄤ紭鍖栭棶棰樹腑锛屽弽瀵圭О鐭╅樀閫氬父鐢ㄤ簬琛ㄧず浜屾鍨嬫垨Hessian鐭╅樀锛屽畠浠湪浜屾浼樺寲銆侀潪绾挎ф渶浼樺寲绛夐棶棰樹腑璧峰埌鍏抽敭浣滅敤銆傚弽瀵圭О鐭╅樀鍙互鐢ㄦ潵鍒ゆ柇涓涓嚱鏁版槸鍚︿负鍑稿嚱鏁帮紝浠庤屽府鍔╃‘瀹氫紭鍖栭棶棰樼殑鎬ц川銆2銆...
绛旓細瀵圭О鐭╅樀锛氫竴涓鐭╅樀鏄绉扮殑锛杞疆绛変簬鏈韩锛屽弽瀵圭О鐭╅樀锛氫竴涓煩闃垫槸鍙嶅绉扮殑锛岃浆缃瓑浜庤礋鐭╅樀銆1銆佸绉扮煩闃垫槸鎸囨弧瓒冲叧绯诲紡A绛変簬A鐨勭煩闃碉紝鍏朵腑A琛ㄧず鐭╅樀A鐨勮浆缃紝涓涓煩闃垫槸瀵圭О鐨勶紝杞疆绛変簬鏈韩锛屽绉扮煩闃电殑鍏冪礌鍦ㄤ富瀵硅绾夸笂鐨勫悇涓厓绱犻兘鏄浂锛岃屼富瀵硅绾夸袱渚х殑鍏冪礌浜掍负瀵圭О锛岃繖绉鐭╅樀鐨勭壒寰佸奸兘鏄瀹炴暟...
绛旓細1銆佸疄瀵圭О鐭╅樀A鐨勪笉鍚岀壒寰佸煎搴旂殑鐗瑰緛鍚戦噺鏄浜ょ殑銆2銆瀹炲绉扮煩闃A鐨勭壒寰佸奸兘鏄瀹炴暟锛岀壒寰佸悜閲忛兘鏄疄鍚戦噺銆3銆乶闃跺疄瀵圭О鐭╅樀A蹇呭彲鐩镐技瀵硅鍖栵紝涓旂浉浼煎瑙掗樀涓婄殑鍏冪礌鍗充负鐭╅樀鏈韩鐗瑰緛鍊笺4銆佽嫢位0鍏锋湁k閲嶇壒寰佸笺蹇呮湁k涓嚎鎬ф棤鍏崇殑鐗瑰緛鍚戦噺锛屾垨鑰呰蹇呮湁绉﹔(位0E-A)=n-k锛屽叾涓璄涓哄崟浣嶇煩闃...
绛旓細璁続鍙嶇О锛屼笖AX=位X,(X!=0)鍒欙紙X鐨勫叡杞浆缃)AX=位锛圶鐨勫叡杞浆缃)X=位|X|^2 涓よ竟鍙栬浆缃紝骞舵敞鎰忓埌A瀹炲弽绉帮紝鍒欐湁 -锛圶鐨勫叡杞浆缃)AX=位锛圶鐨勫叡杞浆缃)X=锛埼荤殑鍏辫江锛墊X|^2 涓ゅ紡鐩稿姞寰楋細銆愇+锛埼荤殑鍏辫江锛夈*|X|^2=0 鍥犱负X鏄鐗瑰緛鍚戦噺锛岋紒=0锛屾墍浠ワ細銆愇+锛埼荤殑鍏辫江锛夈=0 ...
绛旓細鍥犳涓涓疄鏁版枩瀵圭О鐭╅樀鐨勯潪闆剁壒寰佹牴涓虹函铏氭暟灏嗕細濡備笅锛歩位1,?i位1,i位2,?i位2,鈥︼紝鍏朵腑位k鏄疄鏁般傚疄鏂滃绉扮煩闃垫槸姝ｈ鐭╅樀锛堝畠浠笌浼撮殢鐭╅樀鍙氦鎹級锛屽洜姝ゆ弧瓒宠氨瀹氱悊鐨勬潯浠讹紝瀹冭鏄庝换浣曞疄鏂滃绉扮煩闃甸兘鍙互鐢ㄤ竴涓厜鐭╅樀瀵硅鍖栥傜敱浜瀹炴枩瀵圭О鐭╅樀鐨勭壒寰佸兼槸澶嶆暟锛屽洜姝ゆ棤娉 鐢瀹炵煩闃鏉ュ瑙掑寲銆
绛旓細I+A鍙嗗嵆璇乨et(I+A)涓嶇瓑浜庨浂銆傚嵆绾挎ф柟绋嬬粍(I+A)x = 0娌￠潪闆惰В 璁緓鏄柟绋嬬殑瑙ｃ傚垯Ax = -x 涓よ竟宸︿箻x鐨勮浆缃紝寰 (xT)A(x) = (xT)(x)鐢盇鍙嶅绉鐭(xT)A(x) = 0;鏁(xT)(x) = 0, x = 0;浠庤(I+A)x = 0娌℃湁闈為浂瑙 鏁匢+A鍙 鍜宭s鍋氭硶宸笉澶氾紝浣嗘垜鎰熻鑷繁鍐欏緱...
绛旓細瀵圭О鐭╅樀鐨勭壒寰佸奸兘鏄瀹炴暟銆備换浣曟柟褰㈢煩闃礨锛屽鏋滃畠鐨勫厓绱犲睘浜庝竴涓壒寰佸间笉涓2鐨勫煙锛堜緥濡傚疄鏁帮級锛屽彲浠ョ敤鍒氬ソ涓绉嶆柟娉曞啓鎴愪竴涓绉扮煩闃靛拰涓涓鏂滃绉扮煩闃涔嬪拰銆傚绉扮煩闃垫槸鎸囦互涓诲瑙掔嚎涓哄绉拌酱锛屽悇鍏冪礌瀵瑰簲鐩哥瓑鐨勭煩闃点傚湪绾挎т唬鏁颁腑锛屽绉扮煩闃垫槸涓涓柟褰㈢煩闃碉紝鍏惰浆缃煩闃靛拰鑷韩鐩哥瓑銆傝A鏄痭闃舵柟闃碉紝濡傛灉...
