A为实反对称矩阵,证明I+A可逆 设A是反Hermite矩阵,证明I-A,I+A都是可逆矩阵
A\u662fn\u9636\u5b9e\u53cd\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635,\u8bc1\u660eA+E\u662f\u53ef\u9006\u77e9\u9635\u5982\u4e0b\uff1a
\u53ef\u9006\u77e9\u9635\u7684\u6027\u8d28\uff1a
1\u3001\u53ef\u9006\u77e9\u9635\u4e00\u5b9a\u662f\u65b9\u9635\u3002
2\u3001\u5982\u679c\u77e9\u9635A\u662f\u53ef\u9006\u7684\uff0c\u5176\u9006\u77e9\u9635\u662f\u552f\u4e00\u7684\u3002
3\u3001A\u7684\u9006\u77e9\u9635\u7684\u9006\u77e9\u9635\u8fd8\u662fA\u3002\u8bb0\u4f5c\uff08A-1\uff09-1=A\u3002
4\u3001\u53ef\u9006\u77e9\u9635A\u7684\u8f6c\u7f6e\u77e9\u9635AT\u4e5f\u53ef\u9006\uff0c\u5e76\u4e14\uff08AT\uff09-1=\uff08A-1\uff09T (\u8f6c\u7f6e\u7684\u9006\u7b49\u4e8e\u9006\u7684\u8f6c\u7f6e\uff09\u3002
5\u3001\u82e5\u77e9\u9635A\u53ef\u9006\uff0c\u5219\u77e9\u9635A\u6ee1\u8db3\u6d88\u53bb\u5f8b\u3002\u5373AB=O\uff08\u6216BA=O\uff09\uff0c\u5219B=O\uff0cAB=AC\uff08\u6216BA=CA\uff09\uff0c\u5219B=C\u3002
6\u3001\u4e24\u4e2a\u53ef\u9006\u77e9\u9635\u7684\u4e58\u79ef\u4f9d\u7136\u53ef\u9006\u3002
7\u3001\u77e9\u9635\u53ef\u9006\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53\u5b83\u662f\u6ee1\u79e9\u77e9\u9635\u3002
\u4f60\u597d\uff01\u6839\u636e\u53cdHermite\u77e9\u9635\u7684\u6027\u8d28\uff0cA\u7684\u7279\u5f81\u503c\u03bb\u90fd\u662f\u7eaf\u865a\u6570\uff0c\u4ece\u800cI-A\u7684\u7279\u5f81\u503c1-\u03bb\u90fd\u975e\u96f6\uff0cI+A\u7684\u7279\u5f81\u503c1+\u03bb\u4e5f\u90fd\u975e\u96f6\uff0c\u6240\u4ee5I-A\u4e0eI+A\u90fd\u662f\u53ef\u9006\u77e9\u9635\u3002\u7ecf\u6d4e\u6570\u5b66\u56e2\u961f\u5e2e\u4f60\u89e3\u7b54\uff0c\u8bf7\u53ca\u65f6\u91c7\u7eb3\u3002\u8c22\u8c22\uff01
I+A可逆即证det(I+A)不等于零。即线性方程组(I+A)x = 0没非零解设x是方程的解。
则Ax = -x
两边左乘x的转置，得
(xT)A(x) = (xT)(x)
由A反对称知(xT)A(x) = 0;
故(xT)(x) = 0, x = 0;
从而(I+A)x = 0没有非零解
故I+A可逆
和ls做法差不多，但我感觉自己写得比较清楚
A实反对称矩阵,设入为A特征值,AX=入X,入((X共轭)对称)X=...=-入共轭((X共轭)对称)X
X不为0,入=-(入共轭),入为纯虚数或0
|I+A|=-fA(-1)不为0,可逆
这用到一个结论:
实反对称矩阵的特征值是零或纯虚数
所以
i-a^2
的特征值为
1
或
1-(ki)^2
=
1+k^2
>0
所以
i-a^2
是正定矩阵
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