四大基本不等式如何证明？ 基本不等式是怎么证明的？
\u56db\u5927\u57fa\u672c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u5982\u4f55\u8bc1\u660e\uff1f\u5982\u679ca\u3001b\u90fd\u4e3a\u5b9e\u6570\uff0c\u90a3\u4e48a^2+b^2\u22652ab\uff0c\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53a=b\u65f6\u7b49\u53f7\u6210\u7acb
\u3000\u3000
\u8bc1\u660e\u5982\u4e0b\uff1a
\u3000\u3000
\u57fa\u672c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u56fe\u518c
\u2235\uff08a-b)^2\u22650
\u3000\u3000\u2234a^2+b^2-2ab\u22650
\u3000\u3000\u2234a^2+b^2\u22652ab
\u3000\u3000\u5982\u679ca\u3001b\u3001c\u90fd\u662f\u6b63\u6570\uff0c\u90a3\u4e48a+b+c\u22653*3\u221aabc,\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53a=b=c\u65f6\u7b49\u53f7\u6210\u7acb
\u3002\u3000\u3000
\u5982\u679ca\u3001b\u90fd\u662f\u6b63\u6570\uff0c\u90a3\u4e48\uff08a+b\uff09/2
\u2265\u221aab
\uff0c\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53a=b\u65f6\u7b49\u53f7\u6210\u7acb\u3002\uff08\u8fd9\u4e2a\u4e0d\u7b49\u5f0f\u4e5f\u53ef\u7406\u89e3\u4e3a\u4e24\u4e2a\u6b63\u6570\u7684\u7b97\u6570\u5e73\u5747\u6570\u5927\u4e8e\u6216\u7b49\u4e8e\u5b83\u4eec\u7684\u51e0\u4f55\u5e73\u5747\u6570\uff0c\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53a=b\u65f6\u7b49\u53f7\u6210\u7acb\u3002\uff09
\u548c\u5b9a\u79ef\u6700\u5927\uff1a\u5f53a+b=S\u65f6\uff0cab\u2264S^2/4\uff08a=b\u53d6\u7b49\uff09
\u3000\u3000
\u79ef\u5b9a\u548c\u6700\u5c0f\uff1a\u5f53ab=P\u65f6\uff0ca+b\u22652\u221aP\uff08a=b\u53d6\u7b49\uff09
\u3000\u3000
\u5747\u503c\u4e0d\u7b49\u5f0f\uff1a\u5982\u679ca,b
\u90fd\u4e3a\u6b63\u6570\uff0c\u90a3\u4e48\u221a((
a^2+b^2)/2)\u2265\uff08a+b\uff09/2
\u2265\u221aab\u22652/\uff081/a+1/b
\uff08\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53a=b\u65f6\u7b49\u53f7\u6210\u7acb\u3002\uff09(
\u5176\u4e2d\u221a((
a^2+b^2)/2)\u53eb\u6b63\u6570a,b\u7684\u5e73\u65b9\u5e73\u5747\u6570\u4e5f\u53eb\u6b63\u6570a,b\u7684
\u52a0\u6743\u5e73\u5747\u6570\uff1b\uff08a+b\uff09/2\u53eb\u6b63\u6570a,b\u7684\u7b97\u6570\u5e73\u5747\u6570\uff1b\u221aab\u6b63\u6570a,b\u7684\u51e0\u4f55\u5e73\u5747\u6570\uff1b2/\uff081/a+1/b)\u53eb\u6b63\u6570a,b\u7684\u8c03\u548c\u5e73\u5747\u6570\uff09\u3002\u540c\u5411\u4e0d\u7b49\u5f0f\uff1a\u4e0d\u7b49\u53f7\u76f8\u540c\u7684\u4e24\u4e2a\u6216\u51e0\u4e2a\u4e0d\u7b49\u5f0f\u53eb\u540c\u5411\u4e0d\u7b49\u5f0f\uff0c\u4f8b\uff1a2x+5>3\u4e0e3x-2>5\u662f\u540c\u5411\u4e0d\u7b49\u5f0f
\uff0c\u5f02\u5411\u4e0d\u7b49\u5f0f\uff1a\u4e0d\u7b49\u53f7\u76f8\u53cd\u7684\u4e24\u4e2a\u4e0d\u7b49\u5f0f\u53eb\u5f02\u5411\u4e0d\u7b49\u5f0f\u3002
\u57fa\u672c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u56fe\u518c
\u7edd\u5bf9\u4e0d\u7b49\u5f0f\uff1a\u4e0d\u7b49\u5f0f\u4e2d\u5bf9\u4e8e\u5b57\u6bcd\u6240\u80fd\u53d6\u7684\u4e00\u5207\u5141\u8bb8\u503c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u90fd\u6210\u7acb\uff0c\u8fd9\u6837\u7684\u4e0d\u7b49\u5f0f\u53eb\u7edd\u5bf9\u4e0d\u7b49\u5f0f\uff0c\u4f8b\uff1aX^2+3>0\uff0c\u221aX+1>-1\u7b49\u90fd\u662f\u7edd\u5bf9\u4e0d\u7b49\u5f0f\u3002
\u77db\u76fe\u4e0d\u7b49\u5f0f\uff1a\u4e0d\u7b49\u5f0f\u4e2d\uff0c\u5bf9\u4e8e\u5b57\u6bcd\u6240\u80fd\u53d6\u7684\u4e00\u5207\u5141\u8bb8\u503c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u90fd\u4e0d\u6210\u7acb\uff0c\u8fd9\u6837\u7684\u4e0d\u7b49\u5f0f\u53eb\u77db\u76fe\u4e0d\u7b49\u5f0f
\u3002
\u6761\u4ef6\u4e0d\u7b49\u5f0f\uff1a\u4e0d\u7b49\u5f0f\u4e2d\u5bf9\u4e8e\u5b57\u6bcd\u6240\u80fd\u53d6\u7684\u67d0\u4e9b\u5141\u8bb8\u503c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u80fd\u6210\u7acb\u9762\u5bf9\u5b57\u6bcd\u6240\u80fd\u53d6\u7684\u53e6\u5916\u4e00\u4e9b\u5141\u8bb8\u503c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u4e0d\u80fd\u6210\u7acb\uff0c\u8fd9\u6837\u7684\u4e0d\u7b49\u5f0f\u53eb\u6761\u4ef6\u4e0d\u7b49\u5f0f\u3002\u4f8b\uff1a3X+5>0
lg\uff0d<1\u7b49\u90fd\u662f\u6761\u4ef6\u4e0d\u7b49\u5f0f\u3002
\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u8bc1\u660e
1.\u6bd4\u8f83\u6cd5
\u4f5c\u5dee\u4f5c\u5546\u540e\u7684\u5f0f\u5b50\u53d8\u5f62,\u5224\u65ad\u6b63\u8d1f\u6216\u4e0e1\u6bd4\u8f83\u5927\u5c0f
\u4f5c\u5dee\u6bd4\u8f83\u6cd5-----\u8981\u8bc1\u660ea>b,\u53ea\u8981\u8bc1\u660ea-b>0.
\u4f5c\u5546\u6bd4\u8f83\u6cd5---\u5df2\u77e5a,b\u90fd\u662f\u6b63\u6570,\u8981\u8bc1\u660ea>b,\u53ea\u8981\u8bc1\u660ea/b>1
\u4f8b1 \u6c42\u8bc1:x2+3>3x
\u8bc1\u660e:\u2235(x2+3)-3x=x2-3x+()2-()2+3
=+\u2265>0
\u2234 x2+3>3x
\u4f8b2 \u5df2\u77e5a,b R+,\u5e76\u4e14a\u2260b,\u6c42\u8bc1
a5+b5>a3b2+a2b3
\u8bc1\u660e:(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)
=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)
=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)
\u2235 a,b R+
\u2234 a+b>0, a2+ab+b2>0
\u53c8\u56e0\u4e3aa\u2260b,\u6240\u4ee5(a-b)2>0
\u2234 (a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0
\u5373 (a5+b5)-(a3b2+a2b3)>0
\u2234 a5+b5>a3b2+a2b3
\u4f8b3 \u5df2\u77e5a,b R+,\u6c42\u8bc1:aabb\u2265abba
\u8bc1\u660e: =
\u2235a,b R+,\u5f53a>b\u65f6,>1,a-b>0,>1;
\u5f53a\u2264b\u65f6,\u22641,a-b\u22640, \u22651.
\u2234 \u22651, \u5373aabb\u2265abba
\u7efc\u5408\u6cd5
\u4e86\u89e3\u7b97\u672f\u5e73\u5747\u6570\u548c\u51e0\u4f55\u5e73\u5747\u6570\u7684\u6982\u5ff5,\u80fd\u7528\u5e73\u5747\u4e0d\u7b49\u5f0f\u8bc1\u660e\u5176\u5b83\u4e00\u4e9b\u4e0d\u7b49\u5f0f
\u5b9a\u74061 \u5982\u679ca,b R,\u90a3\u4e48a2+b2\u22652ab(\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53a=b\u65f6\u53d6"="\u53f7)
\u8bc1\u660e:a2+b2-2ab=(a-b)2\u22650
\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53a=b\u65f6\u53d6\u7b49\u53f7.\u6240\u4ee5
a2+b2\u22652ab(\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53a=b\u65f6\u53d6\u7b49\u53f7).
\u5b9a\u74062 \u5982\u679ca,b,c R+,\u90a3\u4e48a3+b3+c3\u22653abc(\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53a=b=c\u65f6\u53d6"="\u53f7)
\u8bc1\u660e:\u2235a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)
=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]\u22650
\u2234 a3+b3+c3\u22653abc,
\u5f88\u660e\u663e,\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53a=b=c\u65f6\u53d6\u7b49\u53f7.
\u4f8b1 \u5df2\u77e5a,b,c\u662f\u4e0d\u5168\u7b49\u7684\u6b63\u6570,\u6c42\u8bc1
a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc.
\u653e\u7f29\u6cd5
\u8fd9\u4e5f\u662f\u5206\u6790\u6cd5\u7684\u4e00\u79cd\u7279\u6b8a\u60c5\u51b5,\u5b83\u7684\u6839\u636e\u662f\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u4f20\u9012\u6027\u2014
a\u2264b,b\u2264c,\u5219a\u2264c,\u53ea\u8981\u8bc1\u660e"\u5927\u4e8e\u6216\u7b49\u4e8ea\u7684"b\u2264c\u5c31\u884c\u4e86.
\u4f8b,\u8bc1\u660e\u5f53k\u662f\u5927\u4e8e1\u7684\u6574\u6570\u65f6,,
\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u7528\u653e\u7f29\u6cd5\u7684\u4e00\u652f\u2014\u2014"\u9010\u6b65\u653e\u5927\u6cd5",\u8bc1\u660e\u5982\u4e0b:
\u5206\u6790\u6cd5
\u4ece\u8981\u8bc1\u660e\u7684\u4e0d\u7b49\u5f0f\u51fa\u53d1,\u5bfb\u627e\u4f7f\u8fd9\u4e2a\u4e0d\u7b49\u5f0f\u6210\u7acb\u7684\u67d0\u4e00"\u5145\u5206\u7684"\u6761\u4ef6,\u4e3a\u6b64\u9010\u6b65\u5f80\u524d\u8ffd\u6eaf(\u6267\u679c\u7d22\u56e0),\u4e00\u76f4\u8ffd\u6eaf\u5230\u5df2\u77e5\u6761\u4ef6\u6216\u4e00\u4e9b\u771f\u547d\u9898\u4e3a\u6b62.\u4f8b\u5982\u8981\u8bc1a2+b2\u22652ab\u6211\u4eec\u901a\u8fc7\u5206\u6790\u77e5\u9053,\u4f7fa2+b2\u22652ab\u6210\u7acb\u7684\u67d0\u4e00"\u5145\u5206\u7684"\u6761\u4ef6\u662fa2-2ab+b2\u22650,\u5373(a-b)2\u22650\u5c31\u884c\u4e86.\u7531\u4e8e\u662f\u771f\u547d\u9898,\u6240\u4ee5a2+b2\u22652ab\u6210\u7acb.\u5206\u6790\u6cd5\u7684\u8bc1\u660e\u8fc7\u7a0b\u8868\u73b0\u4e3a\u4e00\u8fde\u4e32\u7684"\u8981\u8bc1\u2026\u2026,\u53ea\u8981\u8bc1\u2026\u2026",\u6700\u540e\u63a8\u81f3\u5df2\u77e5\u6761\u4ef6\u6216\u771f\u547d\u9898
\u4f8b \u6c42\u8bc1:
\u8bc1\u660e:
\u6784\u9020\u56fe\u5f62\u8bc1\u660e\u4e0d\u7b49\u5f0f
\u4f8b:\u5df2\u77e5a,b,c\u90fd\u662f\u6b63\u6570,\u6c42\u8bc1:
+>
\u5206\u6790\u4e0e\u8bc1\u660e:\u89c2\u5bdf\u539f\u4e0d\u7b49\u5f0f\u4e2d\u542b\u6709a2+ab+b2\u5373a2+b2+ab\u7684\u5f62\u5f0f,\u8054\u60f3\u5230\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406:c2=a2+b2-2ab CosC,\u4e3a\u4e86\u5f97\u5230a2+b2+ab\u7684\u5f62\u5f0f,\u53ea\u8981C=120\u00b0,
\u8fd9\u6837:\u53ef\u4ee5\u770b\u6210a,b\u4e3a\u90bb\u8fb9,\u5939\u89d2\u4e3a120\u00b0\u7684\u7684\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u7b2c\u4e09\u8fb9
\u53ef\u4ee5\u770b\u6210b,c\u4e3a\u90bb\u8fb9,\u5939\u89d2\u4e3a120\u00b0\u7684\u7684\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u7b2c\u4e09\u8fb9
\u53ef\u4ee5\u770b\u6210a,c\u4e3a\u90bb\u8fb9,\u5939\u89d2\u4e3a120\u00b0\u7684\u7684\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u7b2c\u4e09\u8fb9
\u6784\u9020\u56fe\u5f62\u5982\u4e0b,
AB=,
BC=,
AC=
\u663e\u7136AB+BC>AC,\u6545\u539f\u4e0d\u7b49\u5f0f\u6210\u7acb.
\u6570\u5f62\u7ed3\u5408\u6cd5
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如果a、b都为实数，那么a^2+b^2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立
证明如下：
基本不等式图册
∵（a-b)^2≥0 ∴a^2+b^2-2ab≥0 ∴a^2+b^2≥2ab 如果a、b、c都是正数，那么a+b+c≥3*3√abc,当且仅当a=b=c时等号成立 。
如果a、b都是正数，那么（a+b）/2 ≥√ab ，当且仅当a=b时等号成立。（这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当a=b时等号成立。）
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