对称行列式的求法 计算对称的行列式
\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u884c\u5217\u5f0f\u7684\u503c\u600e\u4e48\u6c42\uff0c\u6c42\u65b9\u6cd5\uff01\uff01\uff01\uff01\uff01\uff01\u89e3: |A-\u03bbE|=
|2-\u03bb 2 -2|
|2 5-\u03bb -4|
|-2 -4 5-\u03bb|
r3+r2 (\u6d880\u7684\u540c\u65f6, \u8fd8\u80fd\u63d0\u51fa\u516c\u56e0\u5b50, \u8fd9\u662f\u6700\u597d\u7684\u7ed3\u679c)
|2-\u03bb 2 -2|
|2 5-\u03bb -4|
|0 1-\u03bb 1-\u03bb|
c2-c3
|2-\u03bb 4 -2|
|2 9-\u03bb -4|
|0 0 1-\u03bb|
= (1-\u03bb)[(2-\u03bb)(9-\u03bb)-8] (\u6309\u7b2c3\u884c\u5c55\u5f00, \u518d\u7528\u5341\u5b57\u76f8\u4e58\u6cd5)
= (1-\u03bb)(\u03bb^2-11\u03bb+10)
= (10-\u03bb)(1-\u03bb)^2.
\u5982\u679c\u6709n\u9636\u77e9\u9635A\uff0c\u5176\u77e9\u9635\u7684\u5143\u7d20\u90fd\u4e3a\u5b9e\u6570\uff0c\u4e14\u77e9\u9635A\u7684\u8f6c\u7f6e\u7b49\u4e8e\u5176\u672c\u8eab\uff08aij=aji\uff09(i,j\u4e3a\u5143\u7d20\u7684\u811a\u6807)\uff0c\u800c\u4e14\u8be5\u77e9\u9635\u5bf9\u5e94\u7684\u7279\u5f81\u503c\u5168\u90e8\u4e3a\u5b9e\u6570\uff0c\u5219\u79f0A\u4e3a\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u3002
\u4e3b\u8981\u6027\u8d28\uff1a
1.\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635A\u7684\u4e0d\u540c\u7279\u5f81\u503c\u5bf9\u5e94\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u662f\u6b63\u4ea4\u7684\u3002
2.\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635A\u7684\u7279\u5f81\u503c\u90fd\u662f\u5b9e\u6570\uff0c\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u90fd\u662f\u5b9e\u5411\u91cf\u3002
3.n\u9636\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635A\u5fc5\u53ef\u5bf9\u89d2\u5316\uff0c\u4e14\u76f8\u4f3c\u5bf9\u89d2\u9635\u4e0a\u7684\u5143\u7d20\u5373\u4e3a\u77e9\u9635\u672c\u8eab\u7279\u5f81\u503c\u3002
4.\u82e5\u03bb0\u5177\u6709k\u91cd\u7279\u5f81\u503c\u3000\u5fc5\u6709k\u4e2a\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\uff0c\u6216\u8005\u8bf4\u5fc5\u6709\u79e9r(\u03bb0E-A)=n-k\uff0c\u5176\u4e2dE\u4e3a\u5355\u4f4d\u77e9\u9635\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u628a\u4e00\u4e2am\u00d7n\u77e9\u9635\u7684\u884c\uff0c\u5217\u4e92\u6362\u5f97\u5230\u7684n\u00d7m\u77e9\u9635,\u79f0\u4e3aA\u7684\u8f6c\u7f6e\u77e9\u9635,\u8bb0\u4e3aA'\u6216AT\u3002
\u77e9\u9635\u8f6c\u7f6e\u7684\u8fd0\u7b97\u5f8b(\u5373\u6027\u8d28)\uff1a
1.(A')'=A
2.(A+B)'=A'+B'
3.(kA)'=kA'(k\u4e3a\u5b9e\u6570)
4.(AB)'=B'A'
\u82e5\u77e9\u9635A\u6ee1\u8db3\u6761\u4ef6A=A'\uff0c\u5219\u79f0A\u4e3a\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u3002\u7531\u5b9a\u4e49\u77e5\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u4e00\u5b9a\u662f\u65b9\u9635\uff0c\u800c\u4e14\u4f4d\u4e8e\u4e3b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u5bf9\u79f0\u4f4d\u7f6e\u4e0a\u7684\u5143\u7d20\u5fc5\u5bf9\u5e94\u76f8\u7b49\uff0c\u5373aij=aji\u5bf9\u4efb\u610fi,j\u90fd\u6210\u7acb\u3002
\uff081\uff09\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635
\u5728\u4e00\u4e2an\u9636\u65b9\u9635A\u4e2d\uff0c\u82e5\u5143\u7d20\u6ee1\u8db3\u4e0b\u8ff0\u6027\u8d28\uff1a
\u5219\u79f0A\u4e3a\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u3002
\uff082\uff09\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u7684\u538b\u7f29\u5b58\u50a8
\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u4e2d\u7684\u5143\u7d20\u5173\u4e8e\u4e3b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u5bf9\u79f0\uff0c\u6545\u53ea\u8981\u5b58\u50a8\u77e9\u9635\u4e2d\u4e0a\u4e09\u89d2\u6216\u4e0b\u4e09\u89d2\u4e2d\u7684\u5143\u7d20\uff0c\u8ba9\u6bcf\u4e24\u4e2a\u5bf9\u79f0\u7684\u5143\u7d20\u5171\u4eab\u4e00\u4e2a\u5b58\u50a8\u7a7a\u95f4\u3002\u8fd9\u6837\uff0c\u80fd\u8282\u7ea6\u8fd1\u4e00\u534a\u7684\u5b58\u50a8\u7a7a\u95f4\u3002
\u2460\u6309\u884c\u4f18\u5148\u987a\u5e8f\u5b58\u50a8\u4e3b\u5bf9\u89d2\u7ebf\uff08\u5305\u62ec\u5bf9\u89d2\u7ebf\uff09\u4ee5\u4e0b\u7684\u5143\u7d20
\u5373\u6309
\u6b21\u5e8f\u5b58\u653e\u5728\u4e00\u4e2a\u5411\u91cfsa[0...n(n+1)/2-1]\u4e2d\uff08\u4e0b\u4e09\u89d2\u77e9\u9635\u4e2d\uff0c\u5143\u7d20\u603b\u6570\u4e3an(n+1)/2\uff09\u3002
\u5176\u4e2d\uff1a
sa[0]=a0,0
sa[1]=a1,0
\u2026\u2026
sa[n(n+1)/2-1]=an-1,n-1
\u2461\u5143\u7d20aij\u7684\u5b58\u653e\u4f4d\u7f6e
aij\u5143\u7d20\u524d\u6709i\u884c\uff08\u4ece\u7b2c0\u884c\u5230\u7b2ci-1\u884c\uff09\uff0c\u4e00\u5171\u6709\uff1a
1+2+\u2026+i=i\u00d7(i+1)/2\u4e2a\u5143\u7d20\u3002
\u5728\u7b2ci\u884c\u4e0a\uff0c
\u4e4b\u524d\u6070\u6709j\u4e2a\u5143\u7d20\uff0c\u5373ai0,ai1,\u2026,ai,j-1 \uff0c\u56e0\u6b64\u6709\uff1a
sa[i\u00d7(i+1)/2+j]=aij
\u2462aij\u548csa[k]\u4e4b\u95f4\u7684\u5bf9\u5e94\u5173\u7cfb\uff1a
\u82e5i\u2265j\uff0ck=i\u00d7(i+1)/2+j0\u2264k<n(n+1)/2
\u82e5i<j\uff0ck=j\u00d7(j+1)/2+i0\u2264k<n(n+1)/2
\u4ee4I=max(i\uff0cj)\uff0cJ=min(i\uff0cj)\uff0c\u5219k\u548ci\uff0cj\u7684\u5bf9\u5e94\u5173\u7cfb\u53ef\u7edf\u4e00\u4e3a\uff1a
k=i\u00d7(i+1)/2+j0\u2264k<n(n+1)/2
\uff083\uff09\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u7684\u5730\u5740\u8ba1\u7b97\u516c\u5f0f
LOC(aij)=LOC(sa[k])
=LOC(sa[0])+k\u00d7d=LOC(sa[0])+[I\u00d7(I+1)/2+J]\u00d7d
\u901a\u8fc7\u4e0b\u6807\u53d8\u6362\u516c\u5f0f\uff0c\u80fd\u7acb\u5373\u627e\u5230\u77e9\u9635\u5143\u7d20aij\u5728\u5176\u538b\u7f29\u5b58\u50a8\u8868\u793asa\u4e2d\u7684\u5bf9\u5e94\u4f4d\u7f6ek\u3002\u56e0\u6b64\u662f\u968f\u673a\u5b58\u53d6\u7ed3\u6784\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1---\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635
2 1 1 1 1
1 3 1 1 1
1 1 4 1 1
1 1 1 5 1
1 1 1 1 6
\u7b2c1\u884c\u4ea4\u6362\u7b2c2\u884c-
1 3 1 1 1
2 1 1 1 1
1 1 4 1 1
1 1 1 5 1
1 1 1 1 6
\u7b2c5\u884c, \u51cf\u53bb\u7b2c1\u884c\u00d71-
1 3 1 1 1
2 1 1 1 1
1 1 4 1 1
1 1 1 5 1
0 -2 0 0 5
\u7b2c4\u884c, \u51cf\u53bb\u7b2c1\u884c\u00d71-
1 3 1 1 1
2 1 1 1 1
1 1 4 1 1
0 -2 0 4 0
0 -2 0 0 5
\u7b2c3\u884c, \u51cf\u53bb\u7b2c1\u884c\u00d71-
1 3 1 1 1
2 1 1 1 1
0 -2 3 0 0
0 -2 0 4 0
0 -2 0 0 5
\u7b2c2\u884c, \u51cf\u53bb\u7b2c1\u884c\u00d72-
1 3 1 1 1
0 -5 -1 -1 -1
0 -2 3 0 0
0 -2 0 4 0
0 -2 0 0 5
\u7b2c5\u884c, \u51cf\u53bb\u7b2c2\u884c\u00d725-
1 3 1 1 1
0 -5 -1 -1 -1
0 -2 3 0 0
0 -2 0 4 0
0 0 25 25 275
\u7b2c4\u884c, \u51cf\u53bb\u7b2c2\u884c\u00d725-
1 3 1 1 1
0 -5 -1 -1 -1
0 -2 3 0 0
0 0 25 225 25
0 0 25 25 275
\u7b2c3\u884c, \u51cf\u53bb\u7b2c2\u884c\u00d725-
1 3 1 1 1
0 -5 -1 -1 -1
0 0 175 25 25
0 0 25 225 25
0 0 25 25 275
\u7b2c5\u884c, \u51cf\u53bb\u7b2c3\u884c\u00d7217-
1 3 1 1 1
0 -5 -1 -1 -1
0 0 175 25 25
0 0 25 225 25
0 0 0 617 9117
\u7b2c4\u884c, \u51cf\u53bb\u7b2c3\u884c\u00d7217-
1 3 1 1 1
0 -5 -1 -1 -1
0 0 175 25 25
0 0 0 7417 617
0 0 0 617 9117
\u7b2c5\u884c, \u51cf\u53bb\u7b2c4\u884c\u00d7337-
1 3 1 1 1
0 -5 -1 -1 -1
0 0 175 25 25
0 0 0 7417 617
0 0 0 0 19737
\u4e3b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u76f8\u4e58394
r为行,c为列,一般求法还是基于普通行列式的思想,通过不同行列的加减得到尽可能多的零元素,从而可以利用行列式的按行（列）展开定理.
以下题为例,二三行相加后得到一零元素,且后两个元素相等,此时后两列相减又可以得到一零元素,然后就可以利用行列式的按行（列）展开定理了,一般的对称行列式都可以这样解.
其实这样结构特殊的行列式是特定的方法可解的，不用编程序。
思路就是逐行（或列）处理成一个上三角行列式，最后就用对角线上的的结果之积表示出来就行了。
1.特征值法：对称矩阵的特征值都是实数。首先计算矩阵的特征值，然后将特征值相乘即可得到行列式的值。假设矩阵为 A，特征值为 λ₁, λ₂, ..., λₙ，则行列式的值为 det(A) = λ₁ * λ₂ * ... * λₙ。
2.对角线法：对称矩阵的行列式等于其对角线上元素的乘积减去非对角线上元素的乘积。假设矩阵为 A，对角线上的元素为 a₁₁, a₂₂, ..., aₙₙ，非对角线上的元素为 aᵢⱼ（i ≠ j），则行列式的值为 det(A) = a₁₁ * a₂₂ * ... * aₙₙ - a₁₂ * a₂₁ - a₁₃ * a₃₁ - ... - aₙ₋₁ * aₙ₁。
这两种方法都可以用于求解对称矩阵的行列式。选择适合的方法取决于具体的矩阵和计算需求。
告诉你个好东西.名字叫matlab.
我现在就后悔.如果我大一的时候就会那个软件,我的线性代数绝对会学的非常NB....
你是要求这个行列式的值还是特征方程之类的计算?说清楚点.
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