高数，双纽线面积，我没看懂，用极坐标怎么求？想看详细的积分公式。 积分求双纽线面积问题（急 谢谢了！）
\u5f04\u4e0d\u660e\u767d \u6781\u5750\u6807\u6c42\u9762\u79ef\u7684\u516c\u5f0f\uff0cd\u03b8\u662f\u4ec0\u4e48\uff1fd\u03b8\u662f\u6781\u5750\u6807\u7684\u6781\u89d2\u03b8\u7684\u589e\u91cf.
\u9762\u79efs\u8fd1\u4f3c\u7b49\u4e8e\u6247\u5f62\u7684\u9762\u79ef=1/2*r^2d\u03b8 (\u8fd9\u91cc\uff1ar\u662f\u6781\u7ecf,d\u03b8\u662f\u5706\u5fc3\u89d2\uff09\u3002
\u6781\u89d2\u7684\u53d6\u503c\u8303\u56f4\u662f[0,360]\u3002
\u5728\u5e73\u9762\u5185\u53d6\u4e00\u4e2a\u5b9a\u70b9O\uff0c\u53eb\u6781\u70b9\uff0c\u5f15\u4e00\u6761\u5c04\u7ebfOx\uff0c\u53eb\u505a\u6781\u8f74\uff0c\u518d\u9009\u5b9a\u4e00\u4e2a\u957f\u5ea6\u5355\u4f4d\u548c\u89d2\u5ea6\u7684\u6b63\u65b9\u5411\uff08\u901a\u5e38\u53d6\u9006\u65f6\u9488\u65b9\u5411\uff09\u3002
\u5bf9\u4e8e\u5e73\u9762\u5185\u4efb\u4f55\u4e00\u70b9M\uff0c\u7528\u03c1\u8868\u793a\u7ebf\u6bb5OM\u7684\u957f\u5ea6\uff0c\u03b8\u8868\u793a\u4eceOx\u5230OM\u7684\u89d2\u5ea6\uff0c\u03c1\u53eb\u505a\u70b9M\u7684\u6781\u5f84\uff0c\u03b8\u53eb\u505a\u70b9M\u7684\u6781\u89d2\uff0c\u6709\u5e8f\u6570\u5bf9 (\u03c1,\u03b8)\u5c31\u53eb\u70b9M\u7684\u6781\u5750\u6807\uff0c\u8fd9\u6837\u5efa\u7acb\u7684\u5750\u6807\u7cfb\u53eb\u505a\u6781\u5750\u6807\u7cfb\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u6781\u5750\u6807\u7cfb
\u5728\u6781\u5750\u6807\u4e2d\uff0cx\u88ab\u03c1cos\u03b8\u4ee3\u66ff\uff0cy\u88ab\u03c1sin\u03b8\u4ee3\u66ff\u3002\u03c1=(x2+y2)0.5\u3002\u6781\u5750\u6807\u7cfb\u662f\u4e00\u4e2a\u4e8c\u7ef4\u5750\u6807\u7cfb\u7edf\u3002\u8be5\u5750\u6807\u7cfb\u7edf\u4e2d\u7684\u70b9\u7531\u4e00\u4e2a\u5939\u89d2\u548c\u4e00\u6bb5\u76f8\u5bf9\u4e2d\u5fc3\u70b9\u2014\u6781\u70b9\uff08\u76f8\u5f53\u4e8e\u6211\u4eec\u8f83\u4e3a\u719f\u77e5\u7684\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\u4e2d\u7684\u539f\u70b9\uff09\u7684\u8ddd\u79bb\u6765\u8868\u793a\u3002
\u6781\u5750\u6807\u7cfb\u7684\u5e94\u7528\u9886\u57df\u5341\u5206\u5e7f\u6cdb\uff0c\u5305\u62ec\u6570\u5b66\u3001\u7269\u7406\u3001\u5de5\u7a0b\u3001\u822a\u6d77\u4ee5\u53ca\u673a\u5668\u4eba\u9886\u57df\u3002\u5728\u4e24\u70b9\u95f4\u7684\u5173\u7cfb\u7528\u5939\u89d2\u548c\u8ddd\u79bb\u5f88\u5bb9\u6613\u8868\u793a\u65f6\uff0c\u6781\u5750\u6807\u7cfb\u4fbf\u663e\u5f97\u5c24\u4e3a\u6709\u7528\uff1b\u800c\u5728\u5e73\u9762\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\u4e2d\uff0c\u8fd9\u6837\u7684\u5173\u7cfb\u5c31\u53ea\u80fd\u4f7f\u7528\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u6765\u8868\u793a\u3002
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\u5728\u6781\u5750\u6807\u7cfb\u4e0e\u5e73\u9762\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\u95f4\u8f6c\u6362
\u6781\u5750\u6807\u7cfb\u4e2d\u7684\u4e24\u4e2a\u5750\u6807r\u548c\u03b8\u53ef\u4ee5\u7531\u4e0b\u9762\u7684\u516c\u5f0f\u8f6c\u6362\u4e3a\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\u4e0b\u7684\u5750\u6807\u503c\uff1ax=r*cos(\u03b8)\uff0cy=r*sin(\u03b8)\u3002
\u7531\u4e0a\u8ff0\u4e8c\u516c\u5f0f\uff0c\u53ef\u5f97\u5230\u4ece\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\u4e2dx\u548cy\u4e24\u5750\u6807\u5982\u4f55\u8ba1\u7b97\u51fa\u6781\u5750\u6807\u4e0b\u7684\u5750\u6807\uff1ar=sqrt(x2+y2)\uff0c\u03b8=arctany/x\u3002\u5728x=0\u7684\u60c5\u51b5\u4e0b\uff1a\u82e5y\u4e3a\u6b63\u6570\u03b8=90\u00b0(\u03c0/2 radians)\uff1b\u82e5y\u4e3a\u8d1f\uff0c\u5219\u03b8=270\u00b0(3\u03c0/2 radians)\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1a
\u5e73\u9762\u6781\u5750\u6807_\u767e\u5ea6\u767e\u79d1
\u4f60\u7684\u7ed3\u8bba\u662f\u6b63\u786e\u7684
\u6781\u5750\u6807\u7cfb\u4e2d\uff0c\u70b9P\u5bf9\u5e94\u7684\u6781\u89d2\u6709\u4e8c\u79cd\u53d6\u6cd5\uff1a\u4e00\u662f\u5c04\u7ebfOP\u548cx\u8f74\u6b63\u5411\u7684\u5939\u89d2\uff0c\u8fd9\u6837\u03b8\u7684\u8303\u56f4\u662f\uff0d\u03c0\u2264\u03b8\u2264\u03c0\uff0cx\u8f74\u4e0a\u9762\u975e\u8d1f\uff0c\u4e0b\u9762\u975e\u6b63\uff1b\u4e8c\u662fx\u8f74\u6b63\u5411\u9006\u65f6\u9488\u8f6c\u5411\u5c04\u7ebfOP\u7684\u89d2\u5ea6\uff0c\u8fd9\u6837\u03b8\u7684\u8303\u56f4\u662f0\u2264\u03b8\u22642\u03c0
\u7b2c\u4e00\u8c61\u9650\u5185\u53ea\u67090\u2264\u03b8\u2264\u03c0/4\u90e8\u5206
\u53cc\u7ebd\u7ebf\u03c1^2\uff1da^2cos2\u03b8\u7684\u6781\u89d2\u7684\u8303\u56f4\u662f\uff0d\u03c0/4\u2264\u03b8\u2264\u03c0/4\u548c3\u03c0/4\u2264\u03b8\u22645\u03c0/4
注意极坐标面积微元：1/2r^2dheta，具体过程如下图：
在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度（有时也用r表示），θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。通常情况下，M的极径坐标单位为1（长度单位），极角坐标单位为rad（或°）。
扩展资料：
曲面面积(area of a surface)是指曲面表面的面积。把光滑曲面S分成没有公共内点的n块S1,... , Sn，且每一块仍是光滑曲面，在每个S上取一点P，过P作S的切平面T，将s投影到T上，所有这些投影的面积之和的极限。
当所有S的直径趋于零时，如果存在，就是曲面S的面积，对有界简单光滑曲面而言，这样的极限总是存在的，而且与曲面的光滑等价的参数表示的选择无关。
参考资料：百度百科——曲面面积
注意极坐标面积微元：1/2r^2dheta，参考下图：
简单分析一下即可，详情如图所示
见同济版第七版279页
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