1/sinx的不定积分如何求？ 求1/sinx的不定积分
1/(1-sinX)\u7684\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u600e\u4e48\u6c42\uff0c\u5177\u4f53\u8fc7\u7a0b\u8bbet=tanx/2,\u5219sinx=2t/(1+t^2),dx=2dt/(1+t^2) \u6240\u4ee5\u222b1/(1-sinx)dx=\u222b2/(1-t)^2dt=-2/(t-1)+C=-2/(tanx/2-1)+C \u4e0d\u61c2\u518d\u95ee~~
\u89e3\u6790\u5982\u4e0b\uff1a
\u222b 1/sinx dx
= \u222b cscx dx
= \u222b cscx * (cscx - cotx)/(cscx - cotx) dx
= \u222b (- cscxcotx + csc²x)/(cscx - cotx) dx
= \u222b d(cscx - cotx)/(cscx - cotx)
= ln|cscx - cotx| + C
\u8bbeF(x)\u662f\u51fd\u6570f(x)\u7684\u4e00\u4e2a\u539f\u51fd\u6570\uff0c\u51fd\u6570f(x)\u7684\u6240\u6709\u539f\u51fd\u6570F(x)+ C(\u5176\u4e2d\uff0cC\u4e3a\u4efb\u610f\u5e38\u6570\uff09\u53eb\u505a\u51fd\u6570f(x)\u7684\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\uff0c\u53c8\u53eb\u505a\u51fd\u6570f(x)\u7684\u53cd\u5bfc\u6570\uff0c\u8bb0\u4f5c\u222bf(x)dx\u6216\u8005\u222bf\uff08\u9ad8\u7b49\u5fae\u79ef\u5206\u4e2d\u5e38\u7701\u53bbdx\uff09\uff0c\u5373\u222bf(x)dx=F(x)+C\u3002
\u222b\u53eb\u505a\u79ef\u5206\u53f7\uff0cf(x)\u53eb\u505a\u88ab\u79ef\u51fd\u6570\uff0cx\u53eb\u505a\u79ef\u5206\u53d8\u91cf\uff0cf(x)dx\u53eb\u505a\u88ab\u79ef\u5f0f\uff0cC\u53eb\u505a\u79ef\u5206\u5e38\u6570\u6216\u79ef\u5206\u5e38\u91cf\uff0c\u6c42\u5df2\u77e5\u51fd\u6570\u7684\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u7684\u8fc7\u7a0b\u53eb\u505a\u5bf9\u8fd9\u4e2a\u51fd\u6570\u8fdb\u884c\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u3002
∫1/sinxdx=∫cscxdx
=∫cscx*(cscx-cotx)/(cscx-cotx)dx
=∫(-cscxcotx+csc²x)/(cscx-cotx)dx
=∫d(cscx-cotx)/(cscx-cotx)
=ln|cscx-cotx|+C
不定积分的公式：
1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + C
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + C
6、∫ cosx dx = sinx + C
7、∫ sinx dx = - cosx + C
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
∫ 1/sinx dx = ∫ cscx dx
= ∫ cscx * (cscx - cotx)/(cscx - cotx) dx
= ∫ (- cscxcotx + csc²x)/(cscx - cotx) dx
= ∫ d(cscx - cotx)/(cscx - cotx)
= ln|cscx - cotx| + C
∫ 1/sinx dx
= ∫ 1/[2sin(x/2)cos(x/2)] dx
= ∫ 1/[cos²(x/2)tan(x/2)] d(x/2)
= ∫ 1/[tan(x/2)] d[tan(x/2)]
= ln|tan(x/2)| + C
∫ 1/sinx dx = ∫ sinx/sin²x dx
= ∫ 1/(cos²x - 1) d(cosx)
= (1/2)∫ [(cosx + 1) - (cosx - 1)]/[(cosx + 1)(cosx - 1)] d(cosx)
= (1/2)∫ [1/(cosx - 1) - 1/(cosx + 1)] d(cosx)
= (1/2)ln|(cosx - 1)/(cosx + 1)| + C
= (1/2)ln|[2sin²(x/2)]/[2cos²(x/2)]| + C
= (1/2) * 2ln|tan(x/2)| + C
= ln|tan(x/2)| + C
万能代换：令y = tan(x/2)、dx = 2dy/(1 + y²)、sinx = 2y/(1 + y²)
∫ 1/sinx dx = ∫ 1/[2y/(1 + y²)] * 2dy/(1 + y²)
= ∫ (1 + y²)/(2y) * 2dy/(1 + y²)
= ∫ 1/y dy
= ln|y| + C
= ln|tan(x/2)| + C
这几个答案都可以互相转换的。
其中ln|tan(x/2)| = ln|sin(x/2)/cos(x/2)| = ln|[2sin(x/2)cos(x/2)]/[2cos²(x/2)]|
= ln|sinx/(1 + cosx)| = ln|[sinx(1 - cosx)]/[(1 + cosx)(1 - cosx)]|
= ln|(sinx - sinxcosx)/sin²x| = ln|1/sinx - cosx/sinx| = ln|cscx - cotx|
∫1/sinxdx=ln|tanx/2|+C=ln|cscx-cotx|+C
∫1/sinxdx=ln|tanx/2|+C=ln|cscx-cotx|+C
∫1/sinxdx=∫sinxdx/sin²x=ʃdcosx/(cos²x-1)=ʃdt/(t²-1)=1/2ln|(t-1)/(t+1)|+C=1/2 ln|(cosx-1)/cosx+1)|+C
=ln|(sinx/2)/(cosx/2)|+C=ln|tanx/2|+C
解：∫1/sinxdx
=∫1/(2sin(x/2)*cos(x/2))dx
=1/2∫(sin²(x/2)+cos²(x/2))/(sin(x/2)*cos(x/2))dx
=1/2∫sin²(x/2)/(sin(x/2)*cos(x/2))dx+1/2∫cos²(x/2)/(sin(x/2)*cos(x/2))dx
=1/2∫sin(x/2)/cos(x/2)dx+1/2∫cos(x/2)/sin(x/2)dx
=-1/2∫1/cos(x/2)dcos(x/2)+1/2∫1/sin(x/2)dsin(x/2)
=-1/2ln|cos(x/2)|+1/2ln|sin(x/2)|+C
=1/2|tan(x/2)|+C
扩展资料：
1、三角函数基本公式
（1）二倍角公式
sin2x=2sinxcosx、cos2x=2cos²x-1=1-2sin²x、tan2x=2tanx/(1-tan²x)
（2）两角和差公式
sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB、cos(A+B）=cosAcosB-sinAsinB、cos(A-B）=cosAcosB+sinAsinB
2、不定积分的求解方法
（1）换元积分法
例：∫sinxcosxdx=∫sinxdsinx=1/2sin²x+C
（2）积分公式法
例：∫e^xdx=e^x、∫1/xdx=ln|x|+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C
参考资料来源：百度百科-三角函数
参考资料来源：百度百科-不定积分
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