设f(X)是在(负无穷，正无穷)内有定义，且在X=0处连续，又对任意x，X2，有(X+Y)=f(X)+f(Y)，证明：f(x) 高等数学：设函数f(x)和g(x)在(-无穷，+无穷)内有定...
\u8bbef(x)\u662f\u5728(\u8d1f\u65e0\u7a77,\u6b63\u65e0\u7a77)\u5185\u5bf9\u4efb\u610f\u7684\u5b9e\u6570x,y,\u6ee1\u8db3f(x+y)=f(x)+f(y)\u7531f(x+y)=f(x)+f(y)\uff0c\u4ee4x=y=0\u5f97\uff1af(0)=0\u3002
\u56e0\u4e3af\uff08x\uff09\u5728x=0\u5904\u8fde\u7eed\uff0c\u5bf9\u03b5>0.\u5b58\u5728\u03b4>0,\u5f53|x|<\u03b4\u65f6\uff0c\u6709\uff1a|f(x)-f(0)|=|f(x)|<\u03b5
\u4efb\u53d6\u5b9e\u6570x0, \u5f53|x-x0|<\u03b4\u65f6\uff0c\u7531\u4e0a\u5f0f\uff1a|f(x-x0)|<\u03b5
\u6545\uff1a|f(x)-f(x0)|=|f(x-x0+x0)-f(x0)|=|f(x-x0)+f(x0)-f(x0|=|f(x-x0)|<\u03b5
\u5373\uff1af\uff08x\uff09\u5728x0\u5904\u8fde\u7eed
\u7b80\u5355\u8ba1\u7b97\u4e00\u4e0b\u5373\u53ef\uff0c\u7b54\u6848\u5982\u56fe\u6240\u793a
所以对任意x∈(-∞,+∞),f(x)=f(x0)+f(x-x0),
当x—>x0时，即x-x0—>0时，由f(x)在x=0处连续得
f(x-x0)—>f(0),x-x0—>0,即f(x-x0)—>0,x—>x0,
所以f(x)—>f(x0),x—>x0.(不能用极限，表述稍显麻烦了)
这说明f(x)在(-∞,+∞)上连续。
其实还可以进一步证明，f(x)=f(1)x,x∈(-∞,+∞),
绛旓細鐢眆(x+y)=f(x)+f(y)锛屼护x=y=0寰楋細f(0)=0銆傚洜涓f锛坸锛夊湪x=0澶勮繛缁紝瀵刮>0.瀛樺湪未>0,褰搢x|<未鏃讹紝鏈夛細|f(x)-f(0)|=|f(x)|<蔚 浠诲彇瀹炴暟x0, 褰搢x-x0|<未鏃讹紝鐢变笂寮忥細|f(x-x0)|<蔚 鏁咃細|f(x)-f(x0)|=|f(x-x0+x0)-f(x0)|=|f(x-x0)+f(x0...
绛旓細鎵浠ュ浠绘剰x鈭(-鈭,+鈭),f(x)=f(x0)+f(x-x0),褰搙鈥>x0鏃讹紝鍗硏-x0鈥>0鏃讹紝鐢眆(x)鍦▁=0澶勮繛缁緱 f(x-x0)鈥>f(0),x-x0鈥>0,鍗砯(x-x0)鈥>0,x鈥>x0,鎵浠(x)鈥>f(x0),x鈥>x0.(涓嶈兘鐢ㄦ瀬闄愶紝琛ㄨ堪绋嶆樉楹荤儲浜)杩欒鏄f(x)鍦(-鈭,+鈭)涓婅繛缁傚叾瀹炶繕鍙互杩...
绛旓細鎰忔濇槸锛f(x)鍦鏁翠釜瀹炴暟闆嗗唴閮芥槸杩炵画鐨勶紝鎰忓懗鐫浠庡嚑浣曚笂鐪嬶紝y=f(x)鐨勫浘鍍忓湪鏁翠釜瀹炴暟闆嗗唴閮芥槸杩炵坏涓嶆柇鐨勩傝嫢f(-x)=f(x)銆傚垯 F锛-x锛=鈭紙0鍒-x锛夛紙-x-2t锛塮锛坱)dt=鈭紙0鍒皒锛夛紙-x+2t锛塮锛-t)d(-t) 锛堣-t=t)銆=鈭紙0鍒皒锛-锛-x+2t锛塮锛坱)dt锛=鈭紙0鍒皒锛夛紙x...
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