变限积分求导问题 为啥上下限要互换？？ 高等数学，变上限积分，换元法，为何改变了积分上下限位置？
\u53d8\u9650\u79ef\u5206\u6c42\u5bfc\u95ee\u9898 \u4e3a\u5565\u4e0a\u4e0b\u9650\u8981\u4e92\u6362\uff1f\uff1f\u5b9a\u79ef\u5206\u662f\u4e0a\u4e0b\u9650\uff0c\u662f\u88ab\u79ef\u51fd\u6570\u81ea\u53d8\u91cf\u7684\u8303\u56f4\u3002
\u4ee5\u5206\u5b50\u4e3a\u4f8b\uff0c\u539f\u672c\u7684\u5b9a\u79ef\u5206\u88ab\u79ef\u51fd\u6570\u81ea\u53d8\u91cf\u662ft\uff0c\u4e0b\u9650\u662f0\uff0c\u4e0a\u9650\u662fx
\u4ee4u=x-t\uff0c\u90a3\u4e48\u5f53t=0\u7684\u65f6\u5019\uff0cu=x\uff1b\u5f53t=x\u7684\u65f6\u5019\uff0cu=0
\u6240\u4ee5\u5f53\u539f\u672c\u4e0b\u9650\u662ft=0\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u5728\u65b0\u7684\u5b9a\u79ef\u5206\u4e2d\uff0c\u5c31\u662f\u5bf9\u5e94u=x
\u5728\u539f\u672c\u4e0a\u9650\u662ft=x\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u5728\u65b0\u7684\u5b9a\u79ef\u5206\u4e2d\uff0c\u5c31\u662f\u5bf9\u5e94u=0
\u6240\u4ee5\u8fd9\u5e76\u4e0d\u662f\u4ec0\u4e48\u4e0a\u4e0b\u9650\u5bf9\u8c03\uff0c\u800c\u662f\u6839\u636eu=x-t\u8fd9\u4e2a\u5173\u7cfb\u5f0f\uff0c\u8ba1\u7b97\u51fa\u5f53t=0\u548ct=x\u7684\u65f6\u5019\uff0cu\u5bf9\u5e94\u7684\u503c\u4f5c\u4e3a\u65b0\u7684\u4e0a\u4e0b\u9650\u3002\u800c\u8fd9\u4e2a\u201c\u5bf9\u8c03\u201d\uff0c\u53ea\u662f\u56e0\u4e3au=x-t\u8fd9\u4e2a\u5173\u7cfb\u7684\u7279\u6b8a\u6027\u800c\u5df2\u3002
u=x-t\uff0c\u4e0a\u9650t=x\u5bfc\u51fau=x-t=0\uff0c\u4e0b\u9650t=0\u5bfc\u51fau=x-0=x\u3002
\u6307\u76f8\u5bf9\u4e8e\u521d\u7b49\u6570\u5b66\u800c\u8a00\uff0c\u6570\u5b66\u7684\u5bf9\u8c61\u53ca\u65b9\u6cd5\u8f83\u4e3a\u7e41\u6742\u7684\u4e00\u90e8\u5206\u3002
\u5e7f\u4e49\u5730\u8bf4\uff0c\u521d\u7b49\u6570\u5b66\u4e4b\u5916\u7684\u6570\u5b66\u90fd\u662f\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\uff0c\u4e5f\u6709\u5c06\u4e2d\u5b66\u8f83\u6df1\u5165\u7684\u4ee3\u6570\u3001\u51e0\u4f55\u4ee5\u53ca\u7b80\u5355\u7684\u96c6\u5408\u8bba\u521d\u6b65\u3001\u903b\u8f91\u521d\u6b65\u79f0\u4e3a\u4e2d\u7b49\u6570\u5b66\u7684\uff0c\u5c06\u5176\u4f5c\u4e3a\u4e2d\u5c0f\u5b66\u9636\u6bb5\u7684\u521d\u7b49\u6570\u5b66\u4e0e\u5927\u5b66\u9636\u6bb5\u7684\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u7684\u8fc7\u6e21\u3002\u901a\u5e38\u8ba4\u4e3a\uff0c\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u662f\u7531\u5fae\u79ef\u5206\u5b66\uff0c\u8f83\u6df1\u5165\u7684\u4ee3\u6570\u5b66\u3001\u51e0\u4f55\u5b66\u4ee5\u53ca\u5b83\u4eec\u4e4b\u95f4\u7684\u4ea4\u53c9\u5185\u5bb9\u6240\u5f62\u6210\u7684\u4e00\u95e8\u57fa\u7840\u5b66\u79d1\u3002
\u4e3b\u8981\u5185\u5bb9\u5305\u62ec\uff1a\u6570\u5217\u3001\u6781\u9650\u3001\u5fae\u79ef\u5206\u3001\u7a7a\u95f4\u89e3\u6790\u51e0\u4f55\u4e0e\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\u3001\u7ea7\u6570\u3001\u5e38\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u3002\u5de5\u79d1\u3001\u7406\u79d1\u3001\u8d22\u7ecf\u7c7b\u7814\u7a76\u751f\u8003\u8bd5\u7684\u57fa\u7840\u79d1\u76ee\u3002
\u5728\u4e2d\u56fd\u7406\u5de5\u79d1\u5404\u7c7b\u4e13\u4e1a\u7684\u5b66\u751f\uff08\u6570\u5b66\u4e13\u4e1a\u9664\u5916\uff0c\u6570\u5b66\u4e13\u4e1a\u5b66\u6570\u5b66\u5206\u6790\uff09\uff0c\u5b66\u7684\u6570\u5b66\u8f83\u96be\uff0c\u8bfe\u672c\u5e38\u79f0\u201c\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u201d\uff1b\u6587\u53f2\u79d1\u5404\u7c7b\u4e13\u4e1a\u7684\u5b66\u751f\uff0c\u5b66\u7684\u6570\u5b66\u7a0d\u5fae\u6d45\u4e00\u4e9b\uff0c\u8bfe\u672c\u5e38\u79f0\u201c\u5fae\u79ef\u5206\u201d\u3002\u7406\u5de5\u79d1\u7684\u4e0d\u540c\u4e13\u4e1a\uff0c\u6587\u53f2\u79d1\u7684\u4e0d\u540c\u4e13\u4e1a\uff0c\u6df1\u6d45\u7a0b\u5ea6\u53c8\u5404\u4e0d\u76f8\u540c\u3002\u7814\u7a76\u53d8\u91cf\u7684\u662f\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\uff0c\u53ef\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u5e76\u4e0d\u53ea\u7814\u7a76\u53d8\u91cf\u3002\u81f3\u4e8e\u4e0e\u201c\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u201d\u76f8\u4f34\u7684\u8bfe\u7a0b\u901a\u5e38\u6709\uff1a\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\uff08\u6570\u5b66\u4e13\u4e1a\u5b66\u9ad8\u7b49\u4ee3\u6570\uff09\uff0c\u6982\u7387\u8bba\u4e0e\u6570\u7406\u7edf\u8ba1\uff08\u6709\u4e9b\u6570\u5b66\u4e13\u4e1a\u5206\u5f00\u5b66\uff09\u3002
\u521d\u7b49\u6570\u5b66\u7814\u7a76\u7684\u662f\u5e38\u91cf\u4e0e\u5300\u53d8\u91cf\uff0c\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u7814\u7a76\u7684\u662f\u975e\u5300\u53d8\u91cf\u3002\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\uff08\u5b83\u662f\u51e0\u95e8\u8bfe\u7a0b\u7684\u603b\u79f0\uff09\u662f\u7406\u3001\u5de5\u79d1\u9662\u6821\u4e00\u95e8\u91cd\u8981\u7684\u57fa\u7840\u5b66\u79d1\uff0c\u4e5f\u662f\u975e\u6570\u5b66\u4e13\u4e1a\u7406\u5de5\u79d1\u4e13\u4e1a\u5b66\u751f\u7684\u5fc5\u4fee\u6570\u5b66\u8bfe,\u4e5f\u662f\u5176\u5b83\u67d0\u4e9b\u4e13\u4e1a\u7684\u5fc5\u4fee\u8bfe\u3002
\u4f5c\u4e3a\u4e00\u95e8\u57fa\u7840\u79d1\u5b66\uff0c\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u6709\u5176\u56fa\u6709\u7684\u7279\u70b9\uff0c\u8fd9\u5c31\u662f\u9ad8\u5ea6\u7684\u62bd\u8c61\u6027\u3001\u4e25\u5bc6\u7684\u903b\u8f91\u6027\u548c\u5e7f\u6cdb\u7684\u5e94\u7528\u6027\u3002\u62bd\u8c61\u6027\u548c\u8ba1\u7b97\u6027\u662f\u6570\u5b66\u6700\u57fa\u672c\u3001\u6700\u663e\u8457\u7684\u7279\u70b9\uff0c\u6709\u4e86\u9ad8\u5ea6\u62bd\u8c61\u548c\u7edf\u4e00\uff0c\u6211\u4eec\u624d\u80fd\u6df1\u5165\u5730\u63ed\u793a\u5176\u672c\u8d28\u89c4\u5f8b\uff0c\u624d\u80fd\u4f7f\u4e4b\u5f97\u5230\u66f4\u5e7f\u6cdb\u7684\u5e94\u7528\u3002\u4e25\u5bc6\u7684\u903b\u8f91\u6027\u662f\u6307\u5728\u6570\u5b66\u7406\u8bba\u7684\u5f52\u7eb3\u548c\u6574\u7406\u4e2d\uff0c\u65e0\u8bba\u662f\u6982\u5ff5\u548c\u8868\u8ff0\uff0c\u8fd8\u662f\u5224\u65ad\u548c\u63a8\u7406\uff0c\u90fd\u8981\u8fd0\u7528\u903b\u8f91\u7684\u89c4\u5219\uff0c\u9075\u5faa\u601d\u7ef4\u7684\u89c4\u5f8b\u3002\u6240\u4ee5\u8bf4\uff0c\u6570\u5b66\u4e5f\u662f\u4e00\u79cd\u601d\u60f3\u65b9\u6cd5\uff0c\u5b66\u4e60\u6570\u5b66\u7684\u8fc7\u7a0b\u5c31\u662f\u601d\u7ef4\u8bad\u7ec3\u7684\u8fc7\u7a0b\u3002
\u4eba\u7c7b\u793e\u4f1a\u7684\u8fdb\u6b65\uff0c\u4e0e\u6570\u5b66\u8fd9\u95e8\u79d1\u5b66\u7684\u5e7f\u6cdb\u5e94\u7528\u662f\u5206\u4e0d\u5f00\u7684\u3002\u5c24\u5176\u662f\u5230\u4e86\u73b0\u4ee3\uff0c\u7535\u5b50\u8ba1\u7b97\u673a\u7684\u51fa\u73b0\u548c\u666e\u53ca\u4f7f\u5f97\u6570\u5b66\u7684\u5e94\u7528\u9886\u57df\u66f4\u52a0\u62d3\u5bbd\uff0c\u73b0\u4ee3\u6570\u5b66\u6b63\u6210\u4e3a\u79d1\u6280\u53d1\u5c55\u7684\u5f3a\u5927\u52a8\u529b\uff0c\u540c\u65f6\u4e5f\u5e7f\u6cdb\u548c\u6df1\u5165\u5730\u6e17\u900f\u5230\u4e86\u793e\u4f1a\u79d1\u5b66\u9886\u57df\u3002
以分子为例，原本的定积分被积函数自变量是t，下限是0，上限是x
令u=x-t，那么当t=0的时候，u=x；当t=x的时候，u=0
所以当原本下限是t=0的时候，在新的定积分中，就是对应u=x
在原本上限是t=x的时候，在新的定积分中，就是对应u=0
所以这并不是什么上下限对调，而是根据u=x-t这个关系式，计算出当t=0和t=x的时候，u对应的值作为新的上下限。而这个“对调”，只是因为u=x-t这个关系的特殊性而已。
变量换了 原来的t的定义域是(0 x) 即0<t<x
现在变量是u t=x-u 然后带入到定义域中得：x-0<u<x-x 所以u的定义域为 (x,0)
那不是交换积分上下限
x-t=u
t的积分区间t∈[0,x]
u的积分区间u∈[x,0]
扩展阅读：含变限积分求极限 ... 变上限积分求导规则 ... ∫xdx定积分上b下a求导 ... 积分求导规则上下限 ... 变上限积分求极限 ... 变上限积分连续吗 ... 积分上下限交换法则 ... 变限积分换元上下限 ... 变上限积分可以算出来吗 ...
