当x趋于0时， sin(x)^2与x的比值是多少?

要计算 sin(x) 的平方的等价无穷小，我们首先计算 sin(x)^2 的泰勒级数展开。我们知道，sin(x) 的泰勒级数展开为：

sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ... + (-1)^n * x^(2n+1)/(2n+1)! + ...

现在，我们计算 sin(x)^2 的泰勒级数展开：

sin(x)^2 = (x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ... + (-1)^n * x^(2n+1)/(2n+1)! + ...) ^ 2

展开各项并只保留重要的（与 x 成正比的）项，我们得到：

sin(x)^2 ≈ x^2 - x^4/3! + x^6/5! - x^8/7! + ...

现在，我们可以看出 sin(x)^2 的等价无穷小为 x^2。所以，当 x 趋近于 0 时，sin(x)^2 与 x^2 的比值趋近于 1。

😳 :  lim(x->0) sin(x^2)/x

👉 极限

• “极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。
  

👉极限的例子

1. 『例子一』 lim(x->0) x =0
   

2. 『例子二』 lim(x->0) x/sinx =1
   

3. 『例子三』 lim(x->1) x =1
   

👉回答

• 利用泰勒公式
  

x->0

sin(x^2) = x^2+o(x^2)

• 代入上面等价
  

lim(x->0) sin(x^2)/x

=lim(x->0) x^2/x

=lim(x->0) x

=0

• 得出结果
  

lim(x->0) sin(x^2)/x=0

😄: lim(x->0) sin(x^2)/x=0

sinx²是x的高阶无穷小（x趋向于零）

供参考，请笑纳。

lim<x→0>sin(x^2)/x = lim<x→0>(x^2)/x = lim<x→0>x = 0

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