Cn1+2Cn2+3Cn3+...+n Cnn =n 2 n-1 （1）求证：Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n?2...
\u6c42\u8bc1:cn1-2cn2+3cn3-\u2026+(\uff0d1)\u7684n-1\u6b21\u65b9*ncnn =0\u4e0d\u77e5\u9053\u4f60\u6709\u6ca1\u6709\u7b2c\u4e00\u5c0f\u95ee
\u8349\u7a3f\u7eb8\u4e0a\u53ef\u4ee5\u8bc1\u660ekCnk=nC(n-1)(k-1)
\u539f\u5f0f\u5c31\u53d8\u6210=n[-C(n-1)1+C(n-1)2-.....+(-1)\u7684n\u6b21\u65b9C(n-1)(k-1)]
\u63a5\u7740\u6c42\u7684\u5c31\u662fn(-1+x)\u7684n-1\u6b21\u65b9\u7684\u7cfb\u6570\u548c
\u5373x=1\u65f6\u6c42\u7cfb\u6570\u548c
\u7b54\u6848=0💕
\u8bc1\u660e\uff1a\uff081\uff09\u8bb0S=Cn1+2Cn2+3Cn3+\u2026+nCnn\uff0c\u5012\u5e8f\u5219S=nCnn+\uff08n-1\uff09Cnn-1+\u2026+Cn1 \uff082\u5206\uff09\u22342S=ncn0+nCn1+\u2026+nCnn=n?2n\u2234S=n?2n-1 \u2026\uff082\u5206\uff09\u89e3\uff1a\uff082\uff09Cn0+2Cn1+3Cn2+\u2026+\uff08n+1\uff09Cnn=\uff08Cn0+Cn1+\u2026Cnn\uff09+\uff08Cn1+2Cn2+3Cn3+\u2026+nCnn\uff09 \uff081\u5206\uff09=2n+n?2n-1\uff1c1000\u7531\u4e8e7?26+27=576\uff1c1000\uff1c1280=8?27+28\uff0c\u2234n=7 \u2026\uff082\u5206\uff09977=\uff0899-2\uff097=C70?997-C71?996?2+\u2026+C76?99?26-C77?27\u223497n\u9664\u4ee599\u7684\u4f59\u6570\u5373\u4e3a-C77?27\u9664\u4ee599\u7684\u4f59\u657070 \uff082\u5206\uff09\u8bc1\u660e\uff1a\uff083\uff09\u2235\uff081+1n\uff09n=cn0+Cn1?1n+Cn2?(1n)2+\u2026+Cnn?\uff081n\uff09n\uff1ecn0+Cn1?1n=2 \uff081\u5206\uff09\u2235cn0+Cn1?1n+Cn2?(1n)2+\u2026+Cnn?\uff081n\uff09n=2+n(n?1)2!?1n2+\u2026+n(n?1)(n?1)\u20262\u00d71n!?1nn\uff1c2+12!+\u2026+1n!\uff082\u5206\uff09\uff1c2+11\u00d72+\u2026+1(n?1)n=2+\uff081-12\uff09+\u2026+\uff081n?1-1n\uff09=3-1n\uff1c3 \uff082\u5206\uff09
二项式Cn0+Cn1+Cn2+...+Cnn=2^n这个知道吧所以就要构造上面那个式子
倒序相加法
设S=0*Cn0+1*Cn1+2*Cn2+..+(n-1)*Cn n-1+n*Cnn
s=n*Cnn+..+(n-1)*Cn n-1+..+2*Cn2+1*Cn1+0*Cn0
两式相加 (利用Cnk=Cn (n-k))
2s=n*(Cn0+Cn1+Cn2+...+Cnn)
=n*2^n
s=n*2^(n-1)
绛旓細濡傚浘锛岃寮忓彲浠ヨ瘉鏄
绛旓細璁 S=Cn1-2Cn2+3Cn3+鈥︹+(n-1)Cn(n-1)+(-1)nCnn鑰 -0Cn0=0鍒 S= -0Cn0+Cn1-2Cn2+3Cn3+鈥︹+(n-1)Cn(n-1)+(-1)nCnn S= -nCnn+(n-1)Cn(n-1)-(n-2)Cn(n-2)+鈥︹+Cn1-0Cn0涓ゅ紡鐩稿姞寰楋細2S= -nCn0+nCn1-nCn2+nCn3+鈥︹+(n...
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绛旓細鏋勯犳亽绛夊紡Cn0+Cn1x+Cn2x2+鈥+Cnnxn=锛1+x锛塶锛屼袱杈瑰x姹傚锛屽緱Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+鈥+nCnnxn-1=n锛1+x锛塶-1锛屽湪涓婂紡涓护x=1锛屽緱Cn1+2Cn2+3Cn3+鈥+nCnn=n•2n-1
绛旓細鐢遍鎰忎护t=Cn1+2Cn2+3Cn3+鈥+nCnn锛屽垯鏈塼=Cnn-1+2Cnn-2+3Cnn-3+鈥+锛坣-1锛塁n1+nCnn锛屼笂杩颁袱绛夊紡鐩稿姞寰2t=n脳2n锛屾晠n脳2n-1锛400楠岃瘉鐭ワ紝鏈澶х殑n鏄6鏁呯瓟妗堜负锛6锛
绛旓細鈭祂Cnk=nCn-1k-1锛屸埓鍘熷紡=nCn-10+nCn-11+nCn-12+nCn-13+鈥+nCn-1n-1=n锛圕n-10+Cn-11+Cn-12+Cn-13++Cn-1n-1锛=n?2n-1锛庢晠绛旀涓猴細n?2n-1
绛旓細鍐嶆涓よ竟姹傚n(1+x)^(n-1)+n(n-1)x(1+x)^(n-2)=cn1+cn2(2^2x)+cn3(3^2x^2)鈥︹+cnn(n^2*x^(n-1))浠ｅ叆x=1,宸﹁竟=n*2^(n-1)+n(n-1)2^(n-2)=n(n+1)2^(n-2)鍙宠竟=cn1+2^2cn2+3^2cn3鈥︹+n^2cnn 鎵浠ユ湁缁撴灉cn1+2^2cn2+3^2cn3鈥︹+n^2cnn=n(n+1)...
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