斯坦纳·雷米欧司定理的证明
证明一：设三角形ABC，角B、角C的平分线是BE、CD
作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC
∵BE=DC
∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF
设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β
∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);
∴∠FBC=∠CEF
∵2α+2β<180°,∴α+β<90°
∴∠FBC=∠CEF>90°
∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上.
设垂足分别为G、H;
∠HEF=∠CBG;
∵BC=EF,
∴Rt△CGB≌Rt△FHE
∴CG=FH,BG=HE
连接CF
∵CF=FC,FH=CG
∴Rt△CGF≌△FHC
∴FG=CH,∴BF=CE,∴CE=BD
∵BD=CE,BC=CB,∴△BDC≌△CEB
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
证明二：
设二角的一半分别为α、β
sin(2α+β)/
sin2α=
BC/CE
=
BC/BD
=
sin(α+2β)/
sin2β,
∴2sinαcosαsin(α+2β)
-
2sinβcosβsin(2α+β)
=0
→sinα[sin2(α+β)+sin
2β]-
sinβ[sin2（α+β）+
sin2α]=0
→sin2(α+β)[sinα-sinβ]+2
sinαsinβ[cosβ-
cosα]=0
→sin
[(α-β)/2][sin2(α+β)
cos[(α+β)/2]
+
2
sinαsinβsin
[(α+β)/2]=0
，∴sin[(α-β)/2]＝0
∴α＝β,∴AB=AC.
证明三：
用张角定理：
2cosα/BE=1/BC+1/AB
2cosβ/CD=1/BC+1/AC
若α>β
可推出AB>AC矛盾！
若α<β
可推出AB<AC矛盾！
所以AB=AC
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