求几何最大最小值口诀
求几何最大最小值口诀在几何中,求某个量的最大值或最小值是一个常见的问题。这里提供一个简单易记的口诀:四分两平一分三,顺着看来逆着推。
四分
四分指的是将一个图形分成四个相等的部分。在几何中,有许多题目可以使用四分求解最大最小值。以下是一个例子:
已知一个底边为1的等腰三角形和一条与底边平行的直线,将这个三角形沿此直线割成两个部分。这条直线的最短距离是多少?
解:首先,我们将这个三角形四等分。如图所示:
可以看到,通过四等分,我们得到了4个相等的小三角形。这时,我们将两个小三角形旋转45度,得到一个正方形。如图所示:
那么,这个正方形的边长就是等腰三角形的高。我们可以通过勾股定理求出这个高:
$\sqrt{(\frac{1}{2})^2+1^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$
因此,这条直线的最短距离就是等腰三角形底边中点到直线的距离,即$\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}$。
两平
两平指的是将一个图形分成两个相等的部分。在几何中,有许多题目可以使用两平求解最大最小值。以下是一个例子:
已知一个边长为1的正方形外接于一个半径为1的圆上,这个正方形的对角线AC与圆心O相交于点D,求线段BD的长度。
解:如图所示,由于正方形对角线上的点D处于圆的直径上,因此BD就是圆周上的线段。我们需要求出BD的长度。
由于正方形对角线上的点D处于圆的直径上,因此$\angle OBD=\angle OCD=45\degree$。
又因为OC是圆的半径,所以$OC=1$,$OD=OC+CD=1+\frac{1}{\sqrt{2}}$。
由于BD是等腰直角三角形的斜边,所以$BD=\sqrt{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2+(\frac{1}{\sqrt{2}})^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
一分三
一分三指的是将一个图形分成三个相等的部分。在几何中,有许多题目可以使用一分三求解最大最小值。以下是一个例子:
如图,点A、B、C在圆内,且$\angle BOC=60\degree$,$\angle AOB=108\degree$,求$\angle ABC$的最大值和最小值。
解:首先,我们将圆一分为三,得到一个等边三角形。如图所示:
显然,$\angle BOA=120\degree$,$\angle BOC=60\degree$,所以$\angle AOC=180\degree-120\degree-60\degree=0$。
因此,可以得到$\angle ABC=\angle ABO+\angle OBC=\angle ABO+\angle OAC$。
由于$\triangle ABO$是等边三角形,$\angle ABO=60\degree$。又因为$\angle OAC=0$,所以$\angle ABC$的最小值为60度。
接下来,我们来求$\angle ABC$的最大值。如图所示,我们将$\triangle ABO$逐渐缩小,直到三个点都在圆上。
从图中可以看出,当$\triangle ABO$缩小到一定程度时,点C会与A、B重合。此时,$\angle ABC$的最大值等于直角$\angle BOC$,即120度。
顺着看来逆着推
顺着看来逆着推是指在解决最大最小值问题时,要根据题目的具体要求,选择合适的方法求解。以下是一个例子:
如图,ABCD为矩形,AEFG为四边形,AE=FG=1,BC=2,求四边形的最大面积。
解:我们设四边形的另一条边EF为x,则有CE=2-x。因此,四边形面积为:
S(x)=(1+x)(2-x)=$-x^2+x+2$
对S(x)求导数:S'(x)=-2x+1
令S'(x)=0,解得x=$\frac{1}{2}$,此时S(x)取得最大值,最大面积为$S(\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$。
顺着看来,我们应该选择求函数的导数,通过求导数的零点来求得函数的极值点和最值。
逆着推,我们可以用作图法来验证得到的结果是否正确。如图所示,我们可以将四边形置于积木搭成的三角锥的顶端,以最小的面积稳定在平面上。可以看到,四边形的最大面积确实是$\frac{3}{2}$。
总之,在几何中,求最大最小值是一个常见的问题。掌握一些简单的口诀和方法,可以更轻松、快捷地解决这些问题。
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