幂级数的展开式 常用的全面的幂级数展开公式
\u9ad8\u6570\u7684\u5e42\u7ea7\u6570\u5c55\u5f00\u5f0f\u548c\u9ea6\u514b\u52b3\u6797\u5c55\u5f00\u5f0f\u7684\u533a\u522b\u662f\u4ec0\u4e48\uff1f\u5e42\u7ea7\u6570\u662f\u4e2a\u603b\u79f0\uff0c\u7b49\u4ef7\u6cf0\u52d2\u7ea7\u6570(Taylor Series)\u5373(x-a)^n\u7684\u5f62\u5f0f\uff0c\u662f\u5728x=a\u5904\u5c55\u5f00\uff0c\u6536\u655b\u533a\u95f4\u4e3a|x-a|\u800c\u9ea6\u514b\u52b3\u6797\u7ea7\u6570(Maclaurin Series)\uff0c\u662f\u5728x=0\u5904\u7684\u5c55\u5f00\uff0c\u6bcf\u9879\u90fd\u662fx^n\u7684\u5f62\u5f0f\u51fa\u73b0\u6536\u655b\u533a\u95f4\u4e3a|x|\u3002
\u6cf0\u52d2\u7ea7\u6570\u624d\u662f\u65e0\u7a77\u9879\uff0c\u6cf0\u52d2\u5c55\u5f00\u5f0f\u662f\u6307\u6cf0\u52d2\u4e2d\u503c\u5b9a\u7406\u7684\u5c55\u5f00\u5f0f\uff0c\u662f\u6709\u9650\u9879\uff1b\u76f8\u5e94\u7684\u9a6c\u514b\u52b3\u6797\u516c\u5f0f(\u7ea7\u6570)\u662f\u5728x0=0\u65f6\u7684\u6cf0\u52d2\u516c\u5f0f(\u7ea7\u6570)\u3002
\u5e38\u7528\u7684\u5168\u9762\u7684\u5e42\u7ea7\u6570\u5c55\u5f00\u516c\u5f0f\uff1af(x)=1/(2+x-x\u7684\u5e73\u65b9)
\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3
={1/(x+1)+1/[2(1-x/2)]}/3
\u5c55\u5f00\u6210x\u7684\u5e42\u7ea7\u6570
=(n=0\u5230\u221e)\u2211[(-x)^n+
(x/2)^n/2]
\u6536\u655b\u57df-1<x<1
\u7edd\u5bf9\u6536\u655b\u7ea7\u6570\uff1a
\u4e00\u4e2a\u7edd\u5bf9\u6536\u655b\u7ea7\u6570\u7684\u6b63\u6570\u9879\u4e0e\u8d1f\u6570\u9879\u6240\u7ec4\u6210\u7684\u7ea7\u6570\u90fd\u662f\u6536\u655b\u7684\u3002\u4e00\u4e2a\u6761\u4ef6\u6536\u655b\u7ea7\u6570\u7684\u6b63\u6570\u9879\u4e0e\u8d1f\u6570\u9879\u6240\u7ec4\u6210\u7684\u7ea7\u6570\u90fd\u662f\u53d1\u6563\u7684\u3002
\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u7ed9\u5b9a\u7684\u6b63\u6570tol\uff0c\u53ef\u4ee5\u627e\u5230\u5408\u9002\u7684\u533a\u95f4(\u8b6c\u5982\u5750\u6807\u7edd\u5bf9\u503c\u5145\u5206\u5c0f)\uff0c\u4f7f\u5f97\u8fd9\u4e2a\u533a\u95f4\u5185\u4efb\u610f\u4e09\u4e2a\u70b9\u7ec4\u6210\u7684\u4e09\u89d2\u5f62\u9762\u79ef\u90fd\u5c0f\u4e8etol\u3002
x^4 = [(x-1)+1]^4 = (x-1)^4 + 4(x-1)^3 + 6(x-1)^2 + 4(x-1) + 1 。
绛旓細鍑芥暟f(x)=xe^x=x(1+x+x²/2!+x³/3!+...+x^n/n!+...)=x+x²+x³/2!+.+x^(n+1)/n!+...甯哥敤娉板嫆鍏紡鎶婂嚱鏁癴(x)灞曞紑鎴骞傜骇鏁扮殑褰㈠紡锛岄氬父浼氳鍦▁=x0澶勫睍寮锛岃繖棣栧厛瑕佹弧瓒冲嚱鏁板湪棰嗗煙(x0锛屛达級鏈夊畾涔夛紝鏈夌洿鍒皀闃剁殑瀵兼暟f(x0)锛岃繖鏍峰氨鍙互鍦▁=x...
绛旓細鐩存帴鐢ㄥ叕寮忥細In(1+x)=鈭(-1)^(n-1)*x^n/n濂楀叆鍗冲彲锛屽叿浣撴柟娉曞涓嬶細骞傜骇鏁鏄暟瀛﹀垎鏋愪腑鐨勯噸瑕佹蹇碉紝琚綔涓哄熀纭鍐呭搴旂敤鍒颁簡瀹炲彉鍑芥暟銆佸鍙樺嚱鏁扮瓑浼楀棰嗗煙褰撲腑銆傚父鐢ㄧ殑骞傜骇鏁 e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+鈥︹+x^n/n!+鈥︹1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+鈥︹+x^n+鈥︹1/(1+x)...
绛旓細鍦ㄤ竴瀹氭潯浠朵笅锛骞傜骇鏁扮殑灞曞紑寮鏄敮涓鐨勩傚叿浣撴潵璇达紝濡傛灉涓涓嚱鏁板湪鏌愪釜鍖洪棿鍐呭叿鏈夊箓绾ф暟灞曞紑寮忥紝閭ｄ箞鍦ㄨ鍖洪棿鍐咃紝瀹冪殑骞傜骇鏁板睍寮鏄敮涓鐨勩傝繖涓粨璁哄熀浜庡箓绾ф暟鐨勬敹鏁涙у拰閫愰」姹傚鐨勬ц川銆傚鏋滀竴涓嚱鏁板彲浠ヨ〃绀轰负骞傜骇鏁板睍寮寮忥紝閭ｄ箞瀹冨湪灞曞紑寮忔墍娑电洊鐨勫尯闂村唴搴旇鏄繛缁殑锛屽苟涓斿湪璇ュ尯闂村唴骞傜骇鏁版敹鏁涖傚湪...
绛旓細楂樻暟璇炬湰涓婂鍑芥暟骞傜骇鏁扮殑灞曞紑寮鍞竴鎬х殑浠嬬粛濡備笅鍥炬墍绀猴紝鏁欐潗涓婁篃鏈夎瘉鏄庤繃绋嬶紝璇佹槑鏂规硶鏄亣璁句笉鍞竴锛岀浉鍑忓緱闆跺彲瀵煎嚭鐭涚浘锛屾晠鍞竴銆備緥瀛愭暀鏉愪笂涔熸湁锛岃瘉鏄庤繃绋嬪拰渚嬪瓙澶繃澶嶆潅锛屼笉鑳芥墦鍑烘潵锛屾湁闇瑕佺殑璇疯嚜琛屾煡鐪嬫暀鏉愩
绛旓細arcsinx 灞曞紑鎴恱鐨骞傜骇鏁锛屽厛姹傚鏁扮殑骞傜骇鏁帮紝鍐嶉愰」绉垎锛屽緱鍒癮rcsinx鐨勫箓绾ф暟銆傚鍥炬墍绀猴細骞傜骇鏁帮紝鏄暟瀛﹀垎鏋愬綋涓噸瑕佹蹇典箣涓锛屾槸鎸囧湪绾ф暟鐨姣忎竴椤瑰潎涓轰笌绾ф暟椤瑰簭鍙穘鐩稿搴旂殑浠ュ父鏁板嶇殑锛坸-a锛夌殑n娆℃柟锛坣鏄粠0寮濮嬭鏁扮殑鏁存暟锛宎涓哄父鏁帮級銆傚箓绾ф暟鏄暟瀛﹀垎鏋愪腑鐨勯噸瑕佹蹇碉紝琚綔涓哄熀纭鍐呭搴旂敤鍒颁簡...
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绛旓細娉板嫆灞曞紑寮鍙堝彨骞傜骇鏁灞曞紑娉 f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+鈥︹﹀疄鐢ㄥ箓绾ф暟锛歟^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+鈥︹+x^n/n!+鈥︹=1+1+1/2+1/6+1/24+...+1/n!+鈥︹﹀箓绾ф暟 鏄暟瀛﹀垎鏋愬綋涓噸瑕佹蹇典箣涓锛屾槸鎸囧湪...
绛旓細褰搉=0鏃讹紝鍏紡涓1/2-1/2*1=0 褰搉=1鏃讹紝鍏紡-1/2*鍏紡锛-1 /2杞叆鏋侀檺寮忓瓙锛屽鍏紡鎵瑙侊紝-1鐨刵-1娆℃柟鎴杗+1娆℃柟
