勾股定理 什么是勾股定理？怎么算，请举个例子说明
\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u7684\u5386\u53f2\u8fdc\u5728\u516c\u5143\u524d\u7ea6\u4e09\u5343\u5e74\u7684\u53e4\u5df4\u6bd4\u4f26\u4eba\u5c31\u77e5\u9053\u548c\u5e94\u7528\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\uff0c\u4ed6\u4eec\u8fd8\u77e5\u9053\u8bb8\u591a\u52fe\u80a1\u6570\u7ec4\u3002\u7f8e\u56fd\u54e5\u4f26\u6bd4\u4e9a\u5927\u5b66\u56fe\u4e66\u9986\u5185\u6536\u85cf\u7740\u4e00\u5757\u7f16\u53f7\u4e3a\u201c\u666e\u6797\u987f322\u201d\u7684\u53e4\u5df4\u6bd4\u4f26\u6ce5\u677f\uff0c\u4e0a\u9762\u5c31\u8bb0\u8f7d\u4e86\u5f88\u591a\u52fe\u80a1\u6570\u3002
\u53e4\u57c3\u53ca\u4eba\u5728\u5efa\u7b51\u5b8f\u4f1f\u7684\u91d1\u5b57\u5854\u548c\u6d4b\u91cf\u5c3c\u7f57\u6cb3\u6cdb\u6ee5\u540e\u7684\u571f\u5730\u65f6\uff0c\u4e5f\u5e94\u7528\u8fc7\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u3002
\u516c\u5143\u524d\u516d\u4e16\u7eaa\uff0c\u5e0c\u814a\u6570\u5b66\u5bb6\u6bd5\u8fbe\u54e5\u62c9\u65af\u8bc1\u660e\u4e86\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\uff0c\u56e0\u800c\u897f\u65b9\u4eba\u90fd\u4e60\u60ef\u5730\u79f0\u8fd9\u4e2a\u5b9a\u7406\u4e3a\u6bd5\u8fbe\u54e5\u62c9\u65af\u5b9a\u7406\u3002
\u516c\u5143\u524d4\u4e16\u7eaa\uff0c\u5e0c\u814a\u6570\u5b66\u5bb6\u6b27\u51e0\u91cc\u5f97\u5728\u300a\u51e0\u4f55\u539f\u672c\u300b\uff08\u7b2c\u2160\u5377\uff0c\u547d\u989847\uff09\u4e2d\u7ed9\u51fa\u4e00\u4e2a\u8bc1\u660e\u3002
1876\u5e744\u67081\u65e5\uff0c\u52a0\u83f2\u5c14\u5fb7\u5728\u300a\u65b0\u82f1\u683c\u5170\u6559\u80b2\u65e5\u5fd7\u300b\u4e0a\u53d1\u8868\u4e86\u4ed6\u5bf9\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u7684\u4e00\u4e2a\u8bc1\u6cd5\u3002
1940\u5e74\u300a\u6bd5\u8fbe\u54e5\u62c9\u65af\u547d\u9898\u300b\u51fa\u7248\uff0c\u6536\u96c6\u4e86367\u79cd\u4e0d\u540c\u7684\u8bc1\u6cd5\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u7684\u5386\u53f2\u610f\u4e49
\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u662f\u5386\u53f2\u4e0a\u7b2c\u2014\u4e2a\u7ed9\u51fa\u4e86\u5b8c\u5168\u89e3\u7b54\u7684\u4e0d\u5b9a\u65b9\u7a0b\uff0c\u5b83\u5f15\u51fa\u4e86\u8d39\u9a6c\u5927\u5b9a\u7406\uff1b
\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u662f\u6b27\u6c0f\u51e0\u4f55\u7684\u57fa\u7840\u5b9a\u7406\uff0c\u5e76\u6709\u5de8\u5927\u7684\u5b9e\u7528\u4ef7\u503c\uff0e\u8fd9\u6761\u5b9a\u7406\u4e0d\u4ec5\u5728\u51e0\u4f55\u5b66\u4e2d\u662f\u4e00\u9897\u5149\u5f69\u593a\u76ee\u7684\u660e\u73e0\uff0c\u88ab\u8a89\u4e3a\u201c\u51e0\u4f55\u5b66\u7684\u57fa\u77f3\u201d\uff0c\u800c\u4e14\u5728\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u548c\u5176\u4ed6\u79d1\u5b66\u9886\u57df\u4e5f\u6709\u7740\u5e7f\u6cdb\u7684\u5e94\u7528\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406
\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\uff1a\u5728\u5e73\u9762\u4e0a\u7684\u4e00\u4e2a\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u4e2d\uff0c\u4e24\u4e2a\u76f4\u89d2\u8fb9\u8fb9\u957f\u7684\u5e73\u65b9\u52a0\u8d77\u6765\u7b49\u4e8e\u659c\u8fb9\u957f\u7684\u5e73\u65b9\u3002
\uff08\u5982\u4e0b\u56fe\u6240\u793a\uff0c\u5373a² + b² = c²\uff09
\u4f8b\u5b50\uff1a
\u4ee5\u4e0a\u56fe\u7684\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u4e3a\u4f8b\uff0ca\u7684\u8fb9\u957f\u4e3a3\uff0cb\u7684\u8fb9\u957f\u4e3a4\uff0c\u5219\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u5229\u7528\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u8ba1\u7b97\u51fac\u7684\u8fb9\u957f\u3002
\u7531\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u5f97\uff0ca + b = c \u2192 3 +4 = c
\u5373\uff0c9 + 16 = 25 = c²
c = \u221a25 = 5
\u6240\u4ee5\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u5229\u7528\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u8ba1\u7b97\u51fac\u7684\u8fb9\u957f\u4e3a5\u3002
\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u7684\u9006\u5b9a\u7406\uff1a
\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u7684\u9006\u5b9a\u7406\u662f\u5224\u65ad\u4e09\u89d2\u5f62\u4e3a\u949d\u89d2\u3001\u9510\u89d2\u6216\u76f4\u89d2\u7684\u4e00\u4e2a\u7b80\u5355\u7684\u65b9\u6cd5\uff0c\u5176\u4e2dAB=c\u4e3a\u6700\u957f\u8fb9:
\u5982\u679ca² + b² = c² \uff0c\u5219\u25b3ABC\u662f\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u3002
\u5982\u679ca² + b² > c² \uff0c\u5219\u25b3ABC\u662f\u9510\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\uff08\u82e5\u65e0\u5148\u524d\u6761\u4ef6AB=c\u4e3a\u6700\u957f\u8fb9\uff0c\u5219\u8be5\u5f0f\u7684\u6210\u7acb\u4ec5\u6ee1\u8db3\u2220C\u662f\u9510\u89d2\uff09\u3002
\u5982\u679ca² + b² < c² \uff0c\u5219\u25b3ABC\u662f\u949d\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u3002
勾股定理
最早的勾股定理
《周髀算经》简介
伽菲尔德证明勾股定理的故事
勾股定理部分习题
勾股定理的别名
[编辑本段]勾股定理
勾股定理:
在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。
定理：
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^2+b^2=c^2; 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）
来源：
是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
[编辑本段]最早的勾股定理
从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图
设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米
a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股形。
[编辑本段]《周髀算经》简介
勾股。 《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。 《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。
[编辑本段]伽菲尔德证明勾股定理的故事
1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。
于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
如下:
解：在网格内，以两个直角边为边长的小三角形面积，等于以斜边为边长的的三角形面积。
勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，
a^2;+b^2;=c^2;
说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。
举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c= a+b=9+16=25
则说明斜边为5。
[编辑本段]勾股定理部分习题
第一章 勾股定理一、 勾股定理的内容，勾股定理是怎样得到的，从定理的证明过程中你得到了什么启示？
练习:
1、在△ABC中,∠C =90°. (1) 若a =2,b =3则以c为边的正方形面积是多少? (2) 若a =5,c =13.则b是多少? .(3) 若c =61,b =11.则a是多少? (4) 若a∶c =3∶5且c =20则 b 是多少? (5) 若∠A =60°且AC =7cm则AB = ＿cm，BC = ＿cm.
2、直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于 ＿cm.
3、等腰三角形的周长是20cm,底边上的高是6cm,则底边的长为 ＿cm.
4、△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,则BC边上的高AD = ＿cm.
5、已知：△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC= ,DB=2cm ,则BC＝＿ cm, AB= ＿cm, AC= ＿cm.
6、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为_______。
7、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高________米。
8、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
9、小丰妈妈买了一部29英寸(74cm)电视机,下列对29英寸的说法中正确的是
A. 小丰认为指的是屏幕的长度; B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度;
C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长; D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度
二、 你有几种证明一个三角形是直角三角形的方法？
练习：
（×经典练习×）
据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五，后人概括为“勾三，股四，弦五”。
（1）观察：3、4、5、，5、12、13、，7、24、25，……发现这几组勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9＋1）与0.5（25－1）、0.5（25＋1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7、24、25这一组数的股与弦的算式。
（2）根据（1）的规律，若用n(n为奇数且n≥3)来表示所有这些勾股数的勾，请你直接用含n的代数式来表示它们的股和弦。
答案：
（1） 0.5（9+1）∧2+0.5（25-1）∧2=169=0.5（25+1）∧2 0.5（13+1）∧2+0.5（49-1）∧2=0.5（49+1）∧2
（2） 股：0.5（n^2-1) 弦：0.5（n^2+1）
三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )
A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.
1、在ΔABC中,若AB2 + BC2 = AC2,则∠A + ∠C＝ °。
2、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（ ）
（A） 直角三角形 (B)锐角三角形
(C)钝角三角形 (D)以上答案都不对
已知三角形的三边长分别是2n+1,2n +2n, 2n +2n+1（n为正整数）则最大角等于_________度.
三角形三个内角度数比为1:2:3,它的最大边为M,那么它的最小边是_____.
斜边上的高为M的等腰直角三角形的面积等于_____.
3、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。
美国总统的证明方法图各具特色的证明方法三角学里有一个很重要的定理，我国称它为勾股定理，又叫商高定理。因为《周髀算经》提到，商高说过"勾三股四弦五"的话。下面介绍其中的几种证明。
最初的证明是分割型的。设a、b为直角三角形的直角边，c为斜边。考虑下图两个边长都是a+b的正方形A、B。将A分成六部分，将B分成五部分。由于八个小直角三角形是全等的，故从等量中减去等量，便可推出：斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和。这里B中的四边形是边长为c的正方形是因为，直角三角形三个内角和等于两个直角。如上证明方法称为相减全等证法。B图就是我国《周髀算经》中的“弦图”。
下图是H．珀里加尔（Perigal）在1873年给出的证明，它是一种相加全等证法。其实这种证明是重新发现的，因为这种划分方法，labitibn Qorra（826～901）已经知道。（如：右图）下面的一种证法，是H•E•杜登尼（Dudeney）在1917年给出的。用的也是一种相加全等的证法。
如右图所示，边长为b的正方形的面积加上边长为a的正方形的面积，等于边长为c的正方形面积。
下图的证明方法，据说是L•达•芬奇（da Vinci, 1452～1519）设计的，用的是相减全等的证明法。
欧几里得（Euclid）在他的《原本》第一卷的命题47中，给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明，如次页上图。由于图形很美，有人称其为“修士的头巾”，也有人称其为“新娘的轿椅”，实在是有趣。华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙，和“外星人”去交流。其证明的梗概是：
(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。
同理，(BC)2=KEBL
所以
(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2
印度数学家兼天文学家婆什迦罗（Bhaskara，活跃于1150年前后）对勾股定理给出一种奇妙的证明，也是一种分割型的证明。如下图所示，把斜边上的正方形划分为五部分。其中四部分都是与给定的直角三角形全等的三角形；一部分为两直角边之差为边长的小正方形。很容易把这五部分重新拼凑在一起，得到两个直角边上的正方形之和。事实上，
婆什迦罗还给出了下图的一种证法。画出直角三角形斜边上的高，得两对相似三角形，从而有
c/b=b/m，
c/a=a/n,
cm=b2
cn=a2
两边相加得
a2+b2=c(m+n)=c2
这个证明，在十七世纪又由英国数学家J．沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新发现。
有几位美国总统与数学有着微妙联系。G•华盛顿曾经是一个著名的测量员。T•杰弗逊曾大力促进美国高等数学教育。A．林肯是通过研究欧几里得的《原本》来学习逻辑的。更有创造性的是第十七任总统J．A．加菲尔德（Garfield, 1831～1888），他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能。在1876年，（当时他是众议院议员，五年后当选为美国总统）给出了勾股定理一个漂亮的证明，曾发表于《新英格兰教育杂志》。证明的思路是，利用梯形和直角三角形面积公式。如次页图所示，是由三个直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面积得
即
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
这种证法，在中学生学习几何时往往感兴趣。
关于这个定理，有许多巧妙的证法（据说有近400种），下面向同学们介绍几种，它们都是用拼图的方法来证明的。
证法1 如图26-2，在直角三角形ABC的外侧作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它们的面积分别为c2，b2和a2。我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可。
过C引CM‖BD，交AB于L，连接BC，CE。因为
AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG，
所以 △ACE≌△AGB
SAEML=SACFG (1)
同法可证
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2)得
SABDE=SACFG+SBKHC，
即 c2=a2+b2
证法2 如图26-3（赵君卿图），用八个直角三角形ABC拼成一个大的正方形CFGH，它的边长是a+b，在它的内部有一个内接正方形ABED，它的边长为c，由图可知。
SCFGH=SABED+4×SABC，
所以 a2+b2=c2
证法3 如图26-4（梅文鼎图）。
在直角△ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，在直角边AC上又作正方形ACGF。可以证明（从略），延长GF必过E；延长CG到K，使GK=BC=a，连结KD，作DH⊥CF于H，则DHCK是边长为a的正方形。设
五边形ACKDE的面积=S
一方面，
S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积
=c2+ab (1)
另一方面，
S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积
+2倍△ABC面积
=b2+a2+ab. (2)
由(1)，(2)得
c2=a2+b2
证法4 如图26-5（项名达图），在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE，又以直角三角形ABC的两个直角边CA，CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ（图26-5）。可以证明（从略），GF的延长线必过D。延长AG到K，使GK=a，又作EH⊥GF于H，则EKGH必为边长等于a的正方形。
设五边形EKJBD的面积为S。一方面
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
另一方面，
S=SBEFG+2•S△ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
由(1)，(2)
得出论证
都是用面积来进行验证：一个大的面积等于几个小面积的和。利用同一个面积的不同表示法来得到等式，从而化简得到勾股定理）图见http://ett.edaedu.com/21010000/vcm/0720ggdl.doc
勾股定理是数学上证明方法最多的定理之一——有四百多种证法！但有记载的第一个证明——毕达哥拉斯的证明方法已经失传。目前所能见到的最早的一种证法，属于古希腊数学家欧几里得。他的证法采用演绎推理的形式，记载在数学巨著《几何原本》里。在中国古代的数学家中，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a） 2 。于是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a） 2 =c 2 化简后便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=（a 2 +b 2 ） (1/2) 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 以下网址为赵爽的“勾股圆方图”：http://cimg.163.com/catchpic/0/01/01F9D756BE31CE31F761A75CACC1410C.gif 以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展， 只是具体图形的分合移补略有不同而已。 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。 以下网址为刘徽的“青朱出入图”：http://cimg.163.com/catchpic/A/A7/A7070D771214459D67A75E8675AA4DCB.gif
勾股定理应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载："禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。"这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。
勾股定理在我们生活中有很大范围的运用.
勾股定理的16种验证方法（带图）：http:blog.cersp.com/UploadFiles/2007/11-25/1125862269.doc
练习题：一个等腰三角形,三个内角的比为1:1:10,腰长为10cm,则这个三角形的面积为____
解：由题意得此三角形各角角度为15度 15的150度
设底边上的高为h 底边长为2t
易得sin15=sin60cos45-cos60sin45=h/10
解得h=5(√6-√2)/2
又tan15=(tan60-tan45)/(1-tan60tan45)=5(√6-√2)/2t
解得t=5(√6+√2)
故面积s=th=50</CN> `
[编辑本段]勾股定理的别名
勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称．
我国是发现和研究勾股定理最古老的国家．我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．在公元前1000多年，据记载，商高(约公元前1120年)答周公曰“勾广三，股修四，经隅五”，其意为，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”．因此，勾股定理在我国又称“商高定理”．在公元前7~6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日．
在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”．还有的国家称勾股定理为“平方定理”．
在陈子后一二百年，希腊的著明数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理．为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．
魅力无比的定理证明
——勾股定理的证明
勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。
在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。
首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。
1．中国方法
画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。
左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是
a2+b2=c2。
这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。
2．希腊方法
直接在直角三角形三边上画正方形，如图。
容易看出，
△ABA’ ≌△AA’’ C。
过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。
△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。
于是，
S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC，
即 a2+b2=c2。
至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。
这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。
以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念：
⑴ 全等形的面积相等；
⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。
这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。
我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法：
如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。
赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。
西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。
下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。
如图，
S梯形ABCD= (a+b)2
= (a2+2ab+b2)， ①
又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED
= ab+ ba+ c2
= (2ab+c2)。 ②
比较以上二式，便得
a2+b2=c2。
这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。
在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则
△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。
由△BCD∽△BAC可得BC2=BD • BA， ①
由△CAD∽△BAC可得AC2=AD • AB。 ②
我们发现，把①、②两式相加可得
BC2+AC2=AB（AD+BD），
而AD+BD=AB，
因此有 BC2+AC2=AB2，这就是
a2+b2=c2。
这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。
在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法：
设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理
c2=a2+b2-2abcosC，
因为∠C=90°，所以cosC=0。所以
a2+b2=c2。
这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。
人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。
欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。
从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。
勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。
若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。
如此等等。
【附录】
一、【《周髀算经》简介】
《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。
《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。
二、【伽菲尔德证明勾股定理的故事】
1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。
于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
看看这个！
http://www.edu-sp.com/static/html/20090310/13821.html
什么是勾股定理呢
绛旓細鍥炵瓟锛氥鍕捐偂瀹氱悊: 銆銆鍦ㄦ垜鍥,鎶婄洿瑙掍笁瑙掑舰鐨勪袱鐩磋杈圭殑骞虫柟鍜岀瓑浜庢枩杈圭殑骞虫柟杩欎竴鐗规у彨鍋氬嬀鑲″畾鐞嗘垨鍕捐偂寮﹀畾 鍙ゅ焹鍙婁汉鍒╃敤鎵撶粨浣淩T涓夎褰㈢悊,鍙堢О姣曡揪鍝ユ媺鏂畾鐞嗘垨姣曟皬瀹氱悊(Pythagoras Theorem)銆 銆銆瀹氱悊: 銆銆濡傛灉鐩磋涓夎褰袱鐩磋杈瑰垎鍒负a,b,鏂滆竟涓篶,閭ｄ箞 a^2+b^2=c^2; 鍗崇洿瑙掍笁瑙掑舰涓...
绛旓細鍕捐偂瀹氱悊鍙堝彨鍋氾細鈥滄瘯杈惧摜鎷夋柉瀹氱悊鈥濄佲鐧剧墰瀹氱悊鈥濄佲滃嬀鑲″鸡瀹氱悊鈥濄佲鍟嗛珮瀹氱悊鈥濄佲姣曟皬瀹氱悊鈥濄傚畾鐞嗙殑鐜颁唬褰㈠紡濡備笅锛氬鏋滀竴涓洿瑙掍笁瑙掑舰鐨勪袱鏉＄洿瑙掕竟闀垮垎鍒负a鍜宐锛屾枩杈归暱涓篶锛岄偅涔坅²+b²=c²銆傝繖涓瀹氱悊鐨勮瘉鏄庢柟娉曟湁寰堝绉嶏紝鍏朵腑鏈钁楀悕鐨勬槸娆у嚑閲屽緱鍦ㄥ叾宸ㄨ憲銆婂嚑浣曞師鏈嬩腑缁...
绛旓細鍕捐偂瀹氱悊鐨勬剰鎬濓細涓涓熀鏈殑鍑犱綍瀹氱悊锛屾寚鐩磋涓夎褰㈢殑涓ゆ潯鐩磋杈圭殑骞虫柟鍜岀瓑浜庢枩杈圭殑骞虫柟銆備腑鍥藉彜浠ｇО鐩磋涓夎褰负鍕捐偂褰紝骞朵笖鐩磋杈逛腑杈冨皬鑰呬负鍕撅紝鍙︿竴闀跨洿瑙掕竟涓鸿偂锛屾枩杈逛负寮︼紝鎵浠ョО杩欎釜瀹氱悊涓哄嬀鑲″畾鐞嗐備竴銆佸嬀鑲℃暟锛3锛4锛5銆6锛8锛10銆5锛12锛13銆9锛12锛15銆7锛24锛25銆8锛15锛17銆9...
绛旓細鍕捐偂璁＄畻鍏紡浠嬬粛濡備笅锛鍕捐偂瀹氱悊鐨勫熀鏈绠楀叕寮忔槸a2+b2=c2銆傚嬀鑲″畾鐞嗙殑鍐呭鏄細鍦ㄥ钩闈笂鐨勪竴涓洿瑙掍笁瑙掑舰涓紝涓や釜鐩磋杈硅竟闀跨殑骞虫柟鍔犺捣鏉ョ瓑浜庢枩杈归暱鐨勫钩鏂广傚鏋滆鐩磋涓夎褰BC鐨勪袱鏉＄洿瑙掕竟闀垮害鍒嗗埆鏄痑鍜宐锛屾枩杈归暱搴︽槸c锛岄偅涔堝嬀鑲″畾鐞嗙殑鍩烘湰璁＄畻鍏紡鏄痑2+b2=c2銆傚叕寮忕殑鍙樺舰a2=c2-b2锛宐2=c2-a2銆傚嬀...
绛旓細鍕捐偂瀹氱悊鐨勮В閲奫Pythagorean theorem] 銆婂懆楂绠楃粡銆 璁拌浇 :瑗垮懆鍒濆勾鍟嗛珮鎻愬嚭鐨勫嬀涓夎偂鍥涘鸡浜斻傝繖鏄嬀鑲″畾鐞嗙殑涓涓壒渚嬨傚嬀鑲″畾鐞嗗氨鏄 鐩磋 涓夎褰㈡枩杈逛笂鐨勬鏂瑰舰闈㈢Н,绛変簬涓ょ洿瑙掕竟涓婄殑姝ｆ柟褰㈤潰绉箣鍜屻 涓浗 鍙や唬绉颁袱鐩磋杈逛负鍕惧拰鑲,鏂滆竟涓哄鸡銆傚嬀涓夎偂鍥涘鸡浜斿氨鏄:鍕句笁鐨勫钩鏂逛節,鍔犺偂鍥涚殑骞虫柟鍗佸叚,...
绛旓細鍕捐偂瀹氱悊蹇呰儗鐨勫叕寮忔湁锛歛²+b²=c²銆乤²-b²=c²銆乤²+b²=2ab銆乤²+2ab+b²=锛坅+b锛²銆備竴銆佹渶缁忓吀鐨勫嬀鑲″畾鐞嗭細a²+b²=c²锛岃繖涓叕寮忚〃绀虹殑鏄洿瑙掍笁瑙掑舰鐨勪袱涓洿瑙掕竟鐨勫钩鏂瑰拰绛変簬鏂滆竟鐨勫钩鏂癸紝鍗砤鍜宐...
绛旓細鍕捐偂瀹氱悊锛氬湪浠讳綍涓涓洿瑙掍笁瑙掑舰涓紝涓ゆ潯鐩磋杈圭殑骞虫柟涔嬪拰涓瀹氱瓑浜庢枩杈圭殑骞虫柟銆傝繖涓畾鐞嗗湪涓浗鍙堢О涓衡鍟嗛珮瀹氱悊鈥濓紝鍦ㄥ鍥界О涓衡滄瘯杈惧摜鎷夋柉瀹氱悊鈥濄傚嬀鑲″畾鐞嗭紙鍙堢О鍟嗛珮瀹氱悊锛屾瘯杈惧摜鎷夋柉瀹氱悊锛夋槸涓涓熀鏈殑鍑犱綍瀹氱悊锛屾棭鍦ㄤ腑鍥藉晢浠ｅ氨鐢卞晢楂樺彂鐜般傛嵁璇存瘯杈惧摜鎷夋柉鍙戠幇浜嗚繖涓畾鍚庯紝鍗虫柀浜嗙櫨澶寸墰浣滃簡绁濓紝...
绛旓細鏂滆竟涓哄鸡锛屾墍浠ョО杩欎釜瀹氱悊涓鍕捐偂瀹氱悊锛屼篃鏈変汉绉鍟嗛珮瀹氱悊銆傚叕鍏冨墠鍗佷竴涓栫邯锛屽懆鏈濇暟瀛﹀鍟嗛珮灏辨彁鍑衡滃嬀涓夈佽偂鍥涖佸鸡浜斺濄傚晢楂樿锛氣溾︽晠鎶樼煩锛屽嬀骞夸笁锛岃偂淇洓锛岀粡闅呬簲銆傗濇剰涓猴細褰撶洿瑙掍笁瑙掑舰鐨勪袱鏉＄洿瑙掕竟鍒嗗埆涓3锛堝嬀锛夊拰4锛堣偂锛夋椂锛屽緞闅咃紙寮︼級鍒欎负5銆傛牴鎹鍏告晠绉板嬀鑲″畾鐞嗕负鍟嗛珮瀹氱悊銆
绛旓細鍕捐偂瀹氱悊锛岀洿瑙掍笁瑙掑舰鐨勪袱鏉＄洿瑙掕竟鐨勫钩鏂瑰拰绛変簬鏂滆竟鐨勫钩鏂广侫²+B²=C²C=鈭氾紙A²+B²锛夆垰锛120²+90²锛=鈭22500=鈭150²=150 渚嬪鐩磋涓夎褰 鐨勪笁鏉¤竟鏄3锛堢洿瑙掕竟锛夈4锛堢洿瑙掕竟锛夈5锛堟枩杈癸級3²+4²=5²5=鈭氾紙3²+...
绛旓細鏍规嵁鍕捐偂瀹氱悊 a骞虫柟+b骞虫柟=c骞虫柟a涓巄浠ｈ〃鐩磋涓夎琛岀殑涓ょ洿瑙掕竟 c浠ｈ〃鏂滆竟 搴曡竟=鏂滆竟鐨勫钩鏂瑰噺鍘婚珮鐨勫钩鏂癸紝寰楀埌鐨勬暟寮浜屾鏂广
