二阶齐次微分方程例题
答：较常用的几个：1、Ay''+By'+Cy=e^mx 特解 y=C(x)e^mx 2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx 特解 y=msinx+nsinx 3、Ay''+By'+Cy= mx+n 特解 y=ax 通解 1、两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)2、两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)3、一对共轭复根...
答：二阶微分方程的通解公式：y''+py'+qy=f(x)，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的。若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+p...
答：二阶齐次微分方程的通解是先求齐次解y''+y'-2y=0特征根方程r^2+r-2=0r=2,-1y=Ae^(2x)+Be^(-x)然后找特解待定系数。第一种：由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。第二种：通解是一个解集…...
答：二阶常系数齐次线性微分方程通解如下：常系数线性微分方程：y″′-2y″+y′-2y=0，①，①对应的特征方程为：λ3-2λ2+λ-2=0，②，将②化简得：（λ2+1）（λ-2）=0，求得方程②的特征根分别为：λ1=2，λ2=±i，于是方程①的基本解组为：e2x，cosx，sinx，从而方程①的通解为：y(...
答：定义 如果一个二阶方程中，未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的，就称它为二阶线性微分方程，简单称为二阶线性方程。二阶线性微分方程的求解方式分为两类，一是二阶线性齐次微分方程，二是线性非齐次微分方程。前者主要是采用特征方程求解，后者在对应的齐次方程的通解上加上特解即为非齐次方程的...
答：二阶齐次微分方程的通解是先求齐次解y''+y'-2y=0特征根方程r^2+r-2=0r=2,-1y=Ae^(2x)+Be^(-x)然后找特解待定系数。第一种：由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。第二种：通解是一个解集…...
答：由二阶常数线性齐次微分方程的两个特解：y1=e^{-x}，y2=xe^{-x}，得其通解为：y=(Ax+B)e^{-x}亦即：y*e^{x}=(Ax+B)两边作微商：(y'+y)*e^{x}=A再作微商：(y''+2y'+y)*e^{x}=0因为e^{x}≠0，所以得：y''+2y'+y=0此即为所求微分方程的形式。
答：二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为：\( y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 \)，其中 \( p(x) \) 和 \( q(x) \) 是关于 \( x \) 的函数，它们是常数时，方程成为常系数齐次线性微分方程。其特征方程为 \( r^2 + p(x)r + q(x) = 0 \)。根据判别式 \( \Delta = ...
答：二阶齐次微分方程的通解是先求齐次解y''+y'-2y=0特征根方程r^2+r-2=0r=2,-1y=Ae^(2x)+Be^(-x)然后找特解待定系数。第一种：由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。第二种：通解是一个解集…...
答：你给的例子实际上是一种特殊情形，不具有一般性。对于你给的这个例子，由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x
网友评论：
沙韩19169848739：
二阶线性齐次微分方程的通解:求y'' - y=0的通解 -
61024时进
：[答案] 本题为二阶齐次常微分方程,求出特征根,即可写出通解. 特征方程为: λ² - 1 = 0 解得:λ1=1;λ2=-1 通解为: y = c1* e^(λ1*x) + c2* e^(λ2*x) = c1* e^x + c2/(e^x)
沙韩19169848739：
求一个二阶线性齐次微分方程的解法已知方程y''+p(x)y'+q(x)y=0和该方程一个特解y1,如何得出通解? -
61024时进
：[答案] 用的是变异常数法, 可设通解为y=c(x)*y1 然后带入原方程,求出c(x)
沙韩19169848739：
已知二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解分别为y1=sin2x ,y2=cos2x,求相应的微分方程 -
61024时进
：[答案] y二阶导+4y=0
沙韩19169848739：
二阶常系数线性齐次微分方程y'' - (1/x)y'+(1/x^2)y=0有一个特解y1(x)=x,求另一个与其无关的特解y2(x),并写出通解. -
61024时进
：[答案] 两边乘以x^2得到 x^2y''-xy'+y=0 这是典型的欧拉方程. 设x=e^t, 那么x^2y''=y''(t)-y'(t),xy'=y'(t) 带入原方程后得到y''(t)-2y'(t)+y(t)=0 对应参数方程为r^2-2r+1=0 所以r1,2=1 所以y=(c1+c2t)e^t 把t=lnx带入后得到 y=(c1+c2lnx)x
沙韩19169848739：
二阶齐次线性微分方程问题二阶齐次线性微分方程 y''+P(x)y'+Q(x)y=0 中 y1(x) 和 y2(x) 是它的两个解,则y=C1y1(x)+C2y2(x) 也是它的解?求推导思路! -
61024时进
：[答案] 很简单……[c1y1(x)+c2y2(x)]''+P(x)[c1y1(x)+c2y2(x)]'+Q(x)[c1y1(x)+c2y2(x)]=c1y1(x)''+P(x)c1y1(x)'+Q(x)c1y1(x)+c2y2(x)''+P(x)c2y2(x)'+Q(x)c2y2(x)=c1[y1(x)''+P(x)y1(x)'+Q(x)y1(x)]+c2[y2(x)''+P(x)y2(x)'+...
沙韩19169848739：
已知特解,求微分方程已知二阶线形常系数齐次微分方程的两个特解为Y1=sinx Y2=cosx,求相应的微分方程, -
61024时进
：[答案] 设y＂+py'+qy=0为该二阶线形常系数齐次微分方程 则代入特解得 -sinx+pcosx+qsinx=0 -cosx-psinx+qcosx=0 则p=0,q=1为合题意的系数 所以y＂+y=0
沙韩19169848739：
已知二阶线性齐次微分方程y″+P(x)y′ - ycos2x=0有两个互为倒数的特解.(1)求P(x);(2)求原方程的通解. -
61024时进
：[答案] (1)∵二阶线性齐次微分方程的两个特解互为倒数∴这两个特解不为零且同号而根据齐次方程解的齐次性,可以认为这两个特解都是正的,从而假设这两个解为y1=eα(x),y2=e−α(x)将y1,y2代入y″+P(x)y′-ycos2x=0...
沙韩19169848739：
已知特解y1=e^x,y2=xe^x,求二阶常系数齐次微分方程 -
61024时进
：[答案] 由特解,r=1是二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程的二重根,所以特征方程是r^2-2r+1=0,所以微分方程是y''-2y'+y=0.
沙韩19169848739：
二阶常系数齐次线性微分方程y''+by'+y=0的每一个解y(x)在(0,正无穷)上有界,则实数b的取值范围是?答案是[0,正无穷),真心纳闷, -
61024时进
：[答案] 特征方程的根为(-b)/2+根号下(b^2-4)/2以及(-b)/2-根号下(b^2-4)/2. 如果(b^2-4)>=0,方程的任一解形如e^y,当y=2. 如果(b^2-4)=0时有界.
沙韩19169848739：
二阶线性常系数齐次微分方程的解法.y'' - y' +y= a (a≠0) 的解法如何,和a=0是一样的吗, -
61024时进
：[答案] 当然不是了,首先解齐议程对应的特征方程 r^2-r+1=0 r=(1±√3i)/2 所以齐次通解是y=e^(1/2x)(C1cos√3x+C2sin√3x) 特解可能观察得得y=a 因此非齐次通解为 y=e^(1/2x)(C1cos√3x+C2sin√3x)+a
