a为n阶实对称矩阵+且正定
答：正定的。因为A,B都是正定矩阵，故必存在可逆矩阵P,Q使得A=P‘P,B=Q’Q于是有AB=P‘PQ’Q=P‘PQ’QP‘(E/P’)=(E/P)(PQ'QP')(E/P'),故AB相似于PQ'QP',而矩阵PQ'QP'=(QP')'QP',所以PQ‘QP’是正定实对称矩阵,故其特征值为正,所以AB的特征值也为正,所以AB是正定矩阵。（...
答：若A是正定的，那么存在k1,k2,...,kn>0与正交阵Q，使得A=QT*diag(k1,k2,...,kn)Q。其中QT代表Q的转置。所以只要令C=QTdiag(根号k1,根号k2,...,根号kn)Q,那么就有：C是正交阵并且A=C^2 若存在可逆实对称矩阵C使得A=C^2，则C可以用正交阵对角化，即C=QTdiag(m1,m2,...,mn)Q，...
答：简单计算一下，答案如图所示
答：令A的特征值为x，因为A^3+A^2+A=3E，所以x^3+x^2+x-3=0，解得：x=1 或者 x = -1±2√2i 因为A是实对称矩阵，故x只能等于1，所以A为正定矩阵。
答：设λ是A的特征值则 λ^3-2λ^2+4λ-3 是 A^3-2A^2+4A-3E 的特征值而 A^3-2A^2+4A-3E=0,零矩阵的特征值只能是0所以 λ^3-2λ^2+4λ-3=0.λ^3-2λ^2+4λ-3=(λ-1)(λ^2-λ+3)=0而实对称矩阵的特征值是实数所以A的特征...
答：正定则顺序主子式都大于0 所以 |A|≠0, |B|≠0 所以 |AB|=|A||B|≠0 所以 AB 可逆 所以 (C) 正确.
答：用到Hadamard不等式的某个变形.引理: 半正定矩阵的行列式小于等于其对角线上元素的乘积.证明: 矩阵退化时结论平凡, 故不妨设n阶矩阵A = (a_ij)正定.于是存在可逆实矩阵P, 使A = P'P, 其中P'表示P的转置, 用P_i表示P的第i列.可知A的对角元a_ii = ‖P_i‖² (P的第i列元素的...
答：把A分解成A=CC^T,其中C可逆 那么AB=CC^TB相似于C^TBC,后者的特征值都是实数
答：正定矩阵是指那些对所有实数向量x都有x转置乘以矩阵A再乘以x为正数的实对称矩阵。具体来说，对于n阶实对称矩阵A，如果对所有非零向量x都有x^TAx > 0，则称矩阵A为正定矩阵。正定矩阵具有以下特性：所有特征值都是正数，所有特征向量对应的行列向量都是线性无关的。并且正定矩阵在实对称矩阵的相似对角...
答：使得A=D'D.那么B=C'AC=C'(D'D)C=(DC)'(DC),所以B与E合同→B正定；充分性：B=C'AC正定→B与E合同→存在可逆矩阵M,使得B=C'AC=M'EM=M'M 那么A=(C')^(-1)*M'M*(C)^-1=(M(C)^-1)'(M(C)^-1),C可逆则C^(-1)可逆→M(C)^-1可逆,所以A 与E合同→A正定。
网友评论：
巩狗15788708884：
设A是n阶实对称矩阵,证明A是正定矩阵的充分必要条件是A的特征值都大于0 -
54918壤殷
：[答案] 证: A是n阶实对称矩阵, 则存在正交矩阵P, P'=P^-1满足: P'AP = diag(a1,a2,...,an). 其中a1,a2,...,an是A的全部特征值则A对应的二次型为:f = X'AX 令 X=PY 得f = Y'P' APY = Y'diag(a1,a2,...,an)Y = a1y1^2+...+a...
巩狗15788708884：
线性代数的问题证明:若A是n阶实对称矩阵,则存在正定矩阵B,使得A=B^2 -
54918壤殷
：[答案] 你这证明题是不是有问题啊? A应该是要求正定吧? 否则考虑N=1,A=任意负数,则也不存在这样的B啊. 如果A是正定,证明如下: 证明: 因为A实对称,所以A能对角化,得到:P*C*P^(-1), 因为A正定,所以C的对角元都是正的. 考虑C为如下形式...
巩狗15788708884：
设A是n阶实对称矩阵,证明:(1)A的特征值全是实数;(2)若A为正定矩阵,则A^2也是正定矩阵 -
54918壤殷
： (1) 设λ是A在复数域内的一个特征值, X是属于λ的特征向量(未必是实向量), 即有AX = λX.用B*表示B的复共轭的转置, 由A是实对称矩阵, 有A* = A.考虑1*1矩阵X*AX, 可知(X*AX)* = X*A*(X*)* = X*AX, 即X*AX唯一的矩阵元是实数...
巩狗15788708884：
设A为n阶实对称矩阵,且A^3 - A^2+A - E=0可得A正定,能否求出A具体为哪个矩阵 -
54918壤殷
：[答案] A^2(A-E)+(A-E)=(A^2+E)(A-E)=0 A^2+E可逆,故上式左右两边同乘A^2+E的逆=>A=E
巩狗15788708884：
设a是n阶实对称矩阵,且满足A^2+2A=0,若kA+E是正定矩阵,则k的取值范围 -
54918壤殷
：[答案] 由A^2+2a=0知道,A的特征值都是方程x^2+2x=0的根,所以A的特征值是0与-2,那么kA+E的特征值是k*0+1与k*(-2)+1,即1与1-2k,要想kA+E正定,则1-2k>0,所以k<1/2.
巩狗15788708884：
线性代数:n阶方阵A正定,为什么知A是实对称矩阵?还有正定和实对称矩阵的关系是什么? -
54918壤殷
：[答案] 正定矩阵的概念来源于正定二次型 即 X^TAX>0(X≠0时) 所以A是对称的. 线性代数考虑的范围为实数,实二次型 所以有时默认正定矩阵是实对称矩阵
巩狗15788708884：
请问:A,B均为n阶实对称矩阵,且都正定,那么AB一定是:A对称矩阵B正定矩阵C可逆矩阵D正交矩阵为什么正确及为什么不正确. -
54918壤殷
：[答案] 正定则顺序主子式都大于0 所以 |A|≠0,|B|≠0 所以 |AB|=|A||B|≠0 所以 AB 可逆 所以 (C) 正确.
巩狗15788708884：
设A为n阶实对称矩阵,证明:秩(A)=n的充分必要条件为存在一个n阶实矩阵B,使AB+BTA是正定矩阵. -
54918壤殷
：[答案]“必要性”(⇐) 利用反证法进行证明. 反设:r(A)
巩狗15788708884：
小弟请教个问题:设A是n阶实对称矩阵,则当t充分大时,A+tE为正定矩阵. -
54918壤殷
：[答案] 实对称矩阵必有实特征根 设A的特征根组成的对角矩阵为M 则A=P^(-1)*M*P A+tE=P^(-1)*(M+tE)*P 当t充分大时,A+tE的特征根全为正值 于是A+tE为正定矩阵
巩狗15788708884：
n阶实对称矩阵 -
54918壤殷
：[选项] A. 正定的充要条件是( ). (A)R(A)=n ( B. )A的所有特征值非负 ( C. )A的主对角线元素都大于零 ( D. )A^-1正定
