正四面体内切球,外接球半径各为多少，只要结论，我当公式记住 正四面体内切球和外接球的半径之比1：3怎么证明？
\u68f1\u957f\u4e3aa\u7684\u6b63\u56db\u9762\u4f53\uff0c\u5185\u5207\u7403\u534a\u5f84\u53ca\u5916\u63a5\u7403\u534a\u5f84\u5927\u5c0f\u5185\u5207\u7403\u534a\u5f84r=(\u221a6/12)a\uff0c\u5916\u63a5\u7403\u534a\u5f84R=(\u221a6/4)a\u3002
\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u5916\u63a5\u7403\u7403\u5fc3\u4e0e\u5185\u5207\u7403\u7403\u5fc3\u662f\u5728\u540c\u4e00\u70b9\u4e0a\uff0c\u800c\u8fd9\u4e00\u70b9\u662f\u56db\u9762\u4f53\u5176\u4e2d\u4e24\u5e73\u9762\u4f5c\u5782\u7ebf\u7684\u4ea4\u70b9O\u3002\u53ef\u7528\u622a\u9762\u65b9\u6cd5\u6c42\u51fa\u5782\u7ebf\u957f\u5ea6h\u4e3a\u4e09\u5206\u4e4b\u6839\u53f76\u500da\u3002
\u7136\u540e\u628a\u56db\u9762\u4f53\u770b\u6210\u7531\u56db\u4e2a\u76f8\u7b49\u7684\u5c0f\u4e09\u68f1\u9525\uff08\u4ea4\u70b9O\u51fa\u53d1\u5411\u56db\u9762\u4f53\u7684\u4e09\u4e2a\u9876\u70b9\u5f15\u51fa\u4e09\u6761\u7ebf\uff0c\u628a\u56db\u9762\u4f53\u5206\u6210\u56db\u4efd\uff0c\u6bcf\u4efd\u4e3a\u4e00\u4e2a\u5c0f\u4e09\u68f1\u9525\uff09\u4ece\u6240\u5408\u6210\u7684\u3002
\u5229\u7528\u7b49\u4f53\u79ef\u6cd5\uff0c\u56db\u4e2a\u5c0f\u4e09\u68f1\u9525\u7684\u4f53\u79ef\u7b49\u4e8e\u56db\u9762\u4f53\u7684\u4f53\u79ef\u53ef\u5f88\u5bb9\u6613\u6c42\u51fa\u5c0f\u4e09\u68f1\u9525\u7684\u9ad8\uff0c\u4e09\u68f1\u9525\u7684\u9ad8\u5373\u5185\u5207\u7403\u534a\u5f84\uff0ch\u51cf\u53bb\u5185\u5207\u7403\u534a\u5f84\u5373\u5916\u63a5\u7403\u534a\u5f84\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599
\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u6027\u8d28\uff1a
1.\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u6bcf\u4e00\u4e2a\u9762\u662f\u6b63\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u53cd\u4e4b\u4ea6\u7136\u3002
2.\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u662f\u4e09\u7ec4\u5bf9\u68f1\u90fd\u5782\u76f4\u7684\u7b49\u9762\u56db\u9762\u4f53\u3002
3.\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u662f\u4e24\u7ec4\u5bf9\u68f1\u5782\u76f4\u7684\u7b49\u9762\u56db\u9762\u4f53\u3002
4.\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u56db\u4e2a\u65c1\u5207\u7403\u534a\u5f84\u5747\u76f8\u7b49\uff0c\u7b49\u4e8e\u5185\u5207\u7403\u534a\u5f84\u76842\u500d\uff0c\u6216\u7b49\u4e8e\u56db\u9762\u4f53\u9ad8\u7ebf\u7684\u4e00\u534a\u3002
5.\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u5185\u5207\u7403\u4e0e\u5404\u4fa7\u800c\u7684\u5207\u70b9\u662f\u4fa7I\u9762\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5916\u5fc3\uff0c\u6216\u5185\u5fc3\uff0c\u6216\u5782\u5fc3\uff0c\u6216\u91cd\u5fc3\uff0c\u9664\u5916\u5fc3\u5916\uff0c\u5176\u9006\u547d\u9898\u5747\u6210\u7acb\u3002
6.\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u5916\u63a5\u7403\u7403\u5fc3\u5230\u56db\u9762\u4f53\u56db\u9876\u70b9\u7684\u8ddd\u79bb\u4e4b\u548c\uff0c\u5c0f\u4e8e\u7a7a\u95f4\u4e2d\u5176\u4ed6\u4efb\u4e00\u70b9\u5230\u56db\u9876\u70b9\u7684\u8ddd\u79bb\u4e4b\u548c\u3002
7.\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u5185\u4efb\u610f\u4e00\u70b9\u5230\u5404\u4fa7\u9762\u7684\u5782\u7ebf\u957f\u7684\u548c\u7b49\u4e8e\u8fd9\u56db\u9762\u4f53\u7684\u9ad8\u3002
\u6ce8\u610f\u770b\u8fd9\u4e2a\u6b63\u65b9\u4f53ABCD-A1B1C1D1\u4ee5\u53ca\u56db\u9762\u4f53A1BC1D,\u8fd9\u4e2a\u56db\u9762\u4f53\u6bcf\u6761\u8fb9\u957f\u90fd\u662f\u6b63\u65b9\u4f53\u9762\u5bf9\u89d2\u7ebf\u7684\u957f\u5ea6,\u6240\u4ee5\u5b83\u7684\u56db\u4e2a\u9762\u662f\u5168\u7b49\u7684\u7b49\u8fb9\u4e09\u89d2\u5f62,\u6240\u4ee5\u5b83\u662f\u4e00\u4e2a\u6b63\u56db\u9762\u4f53.
\u6b63\u65b9\u4f53\u7684\u4e2d\u5fc3O\u52308\u4e2a\u9876\u70b9\u7684\u8ddd\u79bb\u76f8\u7b49,\u4e5f\u5c31\u662f\u5230\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u56db\u4e2a\u9876\u70b9\u8ddd\u79bb\u76f8\u7b49,\u90a3\u4e48\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u7684\u4e2d\u5fc3\u548cO\u91cd\u5408
\u8bbe\u6b63\u65b9\u4f53\u8fb9\u957f\u4e3a2,\u90a3\u4e48\u4f53\u5bf9\u89d2\u7ebf\u4e3a2\u221a3,\u6240\u4ee5\u4e2d\u5fc3O\u5230\u6bcf\u4e2a\u9876\u70b9\u8ddd\u79bb\u4e3a\u221a3,\u8fd9\u662f\u6b63\u56db\u9762\u4f53\u5916\u63a5\u7403\u7684\u534a\u5f84R
\u800c\u6839\u636e\u56fe\u4e2d\u5efa\u7acb\u7684\u5750\u6807\u7cfb,O(1,1,1),\u9762A1BD\u65b9\u7a0b\u4e3ax+y+z-2=0,\u6240\u4ee5O\u5230\u9762A1BD\u8ddd\u79bb
d=|1*1+1*1+1*1-2|/\u221a(1+1+1)=1/\u221a3.\u8fd9\u662f\u5185\u5207\u7403\u7684\u534a\u5f84r
\u90a3\u4e48r:R=1/\u221a3:\u221a3=1:3
若棱长为a，外切球半径为√6a/4，内切球半径为 √6a/12。
设正四面体是S－ABC，过点S作高线SH交底面ABC于点H，则内切球球心在SH上，设其半径是R，则主要就产生四个四面体：O－SAB、O－SBC、O－SCA、O－ABC，这四个四面体的高都是内切球的半径R，底面都是以a为边长是正三角形，利用等体积法可以求出内切球半径R的值。
边长为a的正四面体可以看成是边长是(√2/2)a的正方体截出来的，则其外接球直径是正方体边长的√3倍。
扩展资料
正四面体的性质：
1、正四面体的四个旁切球半径均相等，等于内切球半径的2倍，或等于四面体高线的一半。
2、正四面体的内切球与各侧而的切点是侧I面三角形的外心，或内心，或垂心，或重心，除外心外，其逆命题均成立。
3、正四面体的外接球球心到四面体四顶点的距离之和，小于空间中其他任一点到四顶点的距离之和。
4、正四面体内任意一点到各侧面的垂线长的和等于这四面体的高。
5、对于四个相异的平行平面，总存住一个正四面体，其顶点分别在这四个平面上。
1、外接球。
边长为a的正四面体可以看成是边长是(√2/2)a的正方体截出来的，则其外接球直径是正方体边长的√3倍。
2、内切球半径。
设正四面体是S－ABC，过点S作高线SH交底面ABC于点H，则内切球球心在SH上，设其半径是R，则主要就产生四个四面体：O－SAB、O－SBC、O－SCA、O－ABC，这四个四面体的高都是内切球的半径R，底面都是以a为边长是正三角形，利用等体积法可以求出内切球半径R的值。
3、正方体的中心O到8个顶点的距离相等,也就是到正四面体四个顶点距离相等,那么正四面体的中心和O重合。
设正方体边长为2,那么体对角线为2√3,所以中心O到每个顶点距离为√3,这是正四面体外接球的半径R；
而根据图中建立的坐标系,O(1,1,1),面A1BD方程为x+y+z-2=0,所以O到面A1BD距离；
d=|1*1+1*1+1*1-2|/√(1+1+1)=1/√3.这是内切球的半径r，那么r:R=1/√3:√3=1:3、
扩展资料：
在中学的立体几何中，有关多边形内切球和多边形外接球半径的计算题目，占有重要的地位，现在来简述一下这些球的基本性质。
多边形内切球球心是多边形一切二面角平分面的交点。
多边形外接球球心O的位置可用下述方法之一定出来：
1、点O是通过多面体非平行平面外接圆的圆心并垂直于非平行平面的两条直线的交点；
2、点O是通过多面体非平行棱中点、并垂直于这些棱的三个平面的交点；
3、点O是通过一个面的外接圆圆心，且垂直于此圆的平面∑的直线和垂直于过不与∑平行的棱的中点的平面，且垂直于此棱的直线的交点。
一个球面是由四个非共面的点所确定的。因此，求解多面体外接球半径的任何习题都可由其内切球的证明和计算绕某个三棱柱外接球的半径(顶点是给定多面体的顶点)得出来。
参考资料来源：百度百科-外接球
1、外接球。
边长为a的正四面体可以看成是边长是(√2/2)a的正方体截出来的，则其外接球直径是正方体边长的√3倍。
2、内切球半径。
设正四面体是S－ABC，过点S作高线SH交底面ABC于点H，则内切球球心在SH上，设其半径是R，则主要就产生四个四面体：O－SAB、O－SBC、O－SCA、O－ABC，这四个四面体的高都是内切球的半径R，底面都是以a为边长是正三角形，利用等体积法可以求出内切球半径R的值。
若棱长为a
外切球半径为 √6a/4
内切球半径为 √6a/12
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