在平面直角坐标系中,抛物线的方程是什么?
解答:设在平面直角坐标系中,抛物线的方程为y=ax²,a≠0(为不失一般性,任意对称轴与坐标轴平行的抛物线方程均可通过平移得到这个方程,特此说明)
抛物线外有一点P(x0,y0),
设过P点与抛物线相切的直线的斜率为k,则该直线方程为y=kx-kx0+y0;
联立抛物线方程,消去y,得关于x的一元二方程ax²-kx+(kx0-y0)=0(1);
则方程(1)的△=k²-4×a(kx0-y0)=0,化简得k²-4ax0×k+4ay0=0(2),
由于要求过P点与抛物线相切的直线有两条,
则方程(2)的△=(-4ax0)²-4×4ay0>0,即ax0²>y0,
这是存在两个切点的前提条件,即要求P点在抛物线外;
(其实只要P点在抛物线外,就有ax0²>y0,二者互为充要条件!)
设切点A、B的坐标依次为(x1,y1)、(x2,y2),
则过A、B两点的直线方程的斜率k′为k′=(y2-y1)/(x2-x1);
而y2-y1=a(x2)²-a(x1)²=a(x2+x1)(x2-x1),则k′=a(x2+x1);
由于方程(1)的△=0,则方程(1)的解为x=k/(2a);
由于方程(2)的△>0,则设方程(2)的解为k1、k2,
则x2+x1=(k2+k1)/(2a)=2x0,则k′=2ax0;
(k′的结果为什么要这样获得,请勿必想明白!)
解得方程(2)得k=2ax0±2√(a²x0²-ay0),取k1=2ax0+2√(a²x0²-ay0)——(3)
则x1=k1/(2a)=[ax0+√(a²x0²-ay0)]/a,则y1=ax1²=([ax0+√(a²x0²-ay0)])²/a;
则直线AB的方程为:
y=2ax0{x-([ax0+√(a²x0²-ay0)]/a)}+{([ax0+√(a²x0²-ay0)])²/a}——(4)
(上述步骤(3)中取k=k2=2ax0-2√(a²x0²-ay0),所得最终结果与(4)等效)
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