若f'(x)为偶函数,证明f(x)是奇函数? 请大家帮忙做下,谢谢了 证明若f(x)是偶函数。则f'(x)是奇函数
\u82e5\u51fd\u6570f\uff08x\uff09\u662f\u8fde\u7eed\u7684\u5076\u51fd\u6570\uff0c\u8bc1\u660eF\uff08x\uff09=\u222b\uff08x\uff0c0\uff09f\uff08t\uff09d\uff08t\uff09\u662f\u5947\u51fd\u6570\u3002\u6c42\u52a9\u5404\u4f4d\u5e2e\u5e2e\u5fd9\uff0c\u6025\u6c42\uff01\u8c22\u8c22\u4e86F\uff08-x\uff09=\u222b\uff08-x\uff0c0\uff09f\uff08t\uff09d\uff08t\uff09\u4ee4t=-u
\u5219F(-x)=\u222b\uff08x\uff0c0\uff09f\uff08-u\uff09d\uff08-u\uff09=-\u222b\uff08x\uff0c0\uff09f\uff08-u\uff09d\uff08u\uff09
\u56e0\u4e3af\uff08x\uff09\u662f\u8fde\u7eed\u7684\u5076\u51fd\u6570\uff0c\u6240\u4ee5f(-u)=f(u)
\u6240\u4ee5F(-x)=-\u222b\uff08x\uff0c0\uff09f\uff08u\uff09d\uff08u\uff09=-F(x)
\u53c8\u56e0\u4e3aF\uff080\uff09=\u222b\uff080\uff0c0\uff09f\uff08t\uff09d\uff08t\uff09=0
\u6240\u4ee5
F\uff08x\uff09=\u222b\uff08x\uff0c0\uff09f\uff08t\uff09d\uff08t\uff09\u662f\u5947\u51fd\u6570
\u6211\u662f\u8001\u5e08 \u8c22\u8c22\u91c7\u7eb3
f(x)=f(-x) \u4e24\u8fb9\u6c42\u5bfc\u5f97 f'(x)=f'(-x)(-x)'=-f'(-x) \u6545f'(x)\u662f\u5947\u51fd\u6570
因f(x)=∫f'(x)dx 则f(-x)=∫f'(-x)d(-x)=-∫f'(-x)dx
又f'(x)是偶函数所以f'(x)=f'(-x)
则f(-x)=-∫f'(x)dx=-f(x)
可知f(x)是奇函数
扩展资料
性质
1. 两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数[2] 。
2. 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。
3. 两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。
4. 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。
用反正法做好了
反之,假设f(x)偶奇函数,则
若f'(x)=x2,则f(x)=x3为奇函数,与假设想矛盾,
所以,原命题成立,所以若f'(x)为偶函数,则f(x)是奇函数
应该可以的吧....
因f(x)=∫f'(x)dx
则f(-x)=∫f'(-x)d(-x)=-∫f'(-x)dx
又f'(x)是偶函数所以f'(x)=f'(-x)
则f(-x)=-∫f'(x)dx=-f(x)
可知f(x)是奇函数
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