如何证明奇数阶反对称行列式为零 证明奇数级反对称阵的行列式为0
\u5982\u4f55\u8bc1\u660e\u5947\u6570\u9636\u53cd\u5bf9\u79f0\u884c\u5217\u5f0f\u7684\u503c\u4e3a\u96f6\u6bcf\u4e00\u884c\u63d0\u51fa-1\uff0c\u6709\u4e00\u4e2a(-1)^n=-1, n\u4e3a\u5947\u6570
\u518d\u8f6c\u7f6e
\u8bb0\u539f\u884c\u5217\u5f0f\u4e3aA\uff0c\u8f6c\u7f6e\u7684\u884c\u5217\u5f0f\u4e3aA'
A=(-1)^n*A'=-A'=-A
\u6240\u4ee5A=0
\u8bbeA\uff0cB\u4e3a\u53cd\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\uff0cAB\u4e0d\u4e00\u5b9a\u662f\u53cd\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u3002\u8bbeA\u4e3a\u53cd\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\uff0c\u82e5A\u7684\u9636\u6570\u4e3a\u5947\u6570\uff0c\u5219A\u7684\u884c\u5217\u5f0f\u4e3a0\uff1bA\u7684\u9636\u6570\u4e3a\u5076\u6570\uff0c\u5219\u6839\u636e\u5177\u4f53\u60c5\u51b5\u8ba1\u7b97\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u53cd\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u7684\u7279\u5f81\u503c\u662f0\u6216\u7eaf\u865a\u6570\uff0c\u5e76\u4e14\u5bf9\u5e94\u4e8e\u7eaf\u865a\u6570\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u7684\u5b9e\u90e8\u548c\u865a\u90e8\u5f62\u6210\u7684\u5b9e\u5411\u91cf\u7b49\u957f\u4e14\u4e92\u76f8\u6b63\u4ea4\u3002
\u8bbeA\u4e3a\u53cd\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\uff0cB\u4e3a\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\uff0c\u5219AB-BA\u4e3a\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\uff1b\u5947\u6570\u9636\u53cd\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u7684\u884c\u5217\u5f0f\u5fc5\u4e3a0\u3002\u53cd\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u7684\u7279\u5f81\u503c\u662f0\u6216\u7eaf\u865a\u6570\uff0c\u5e76\u4e14\u5bf9\u5e94\u4e8e\u7eaf\u865a\u6570\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u7684\u5b9e\u90e8\u548c\u865a\u90e8\u5f62\u6210\u7684\u5b9e\u5411\u91cf\u7b49\u957f\u4e14\u4e92\u76f8\u6b63\u4ea4\u3002
\u8bc1\u660e\uff1a\u6839\u636e\u53cd\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u7684\u6027\u8d28\u6709\uff1a
AT=-A
|A|=|AT|=|-A|=\uff08-1\uff09n|A|=-|A|
\u7531\u4e8en\u4e3a\u5947\u6570
\u6240\u4ee5|A|=0
\u8bbeA\u4e3an\u7ef4\u65b9\u9635\uff0c\u82e5\u6709A'=-A\uff0c\u5219\u79f0\u77e9\u9635A\u4e3a\u53cd\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u3002\u5bf9\u4e8e\u53cd\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\uff0c\u5b83\u7684\u4e3b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u4e0a\u7684\u5143\u7d20\u5168\u4e3a\u96f6\uff0c\u800c\u4f4d\u4e8e\u4e3b\u5bf9\u89d2\u7ebf\u4e24\u4fa7\u5bf9\u79f0\u7684\u5143\u53cd\u53f7\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u884c\u5217\u5f0f\u53ef\u4ee5\u770b\u505a\u662f\u6709\u5411\u9762\u79ef\u6216\u4f53\u79ef\u7684\u6982\u5ff5\u5728\u4e00\u822c\u7684\u6b27\u51e0\u91cc\u5f97\u7a7a\u95f4\u4e2d\u7684\u63a8\u5e7f\u3002\u6216\u8005\u8bf4\uff0c\u5728 n \u7ef4\u6b27\u51e0\u91cc\u5f97\u7a7a\u95f4\u4e2d\uff0c\u884c\u5217\u5f0f\u63cf\u8ff0\u7684\u662f\u4e00\u4e2a\u7ebf\u6027\u53d8\u6362\u5bf9\u201c\u4f53\u79ef\u201d\u6240\u9020\u6210\u7684\u5f71\u54cd\u3002
\u53cd\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u5177\u6709\u5f88\u591a\u826f\u597d\u7684\u6027\u8d28\uff0c\u5982\u82e5A\u4e3a\u53cd\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\uff0c\u5219A'\uff0c\u03bbA\u5747\u4e3a\u53cd\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\uff1b\u82e5A,B\u5747\u4e3a\u53cd\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\uff0c\u5219A\u00b1B\u4e5f\u4e3a\u53cd\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\uff1b\u8bbeA\u4e3a\u53cd\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\uff0cB\u4e3a\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\uff0c\u5219AB-BA\u4e3a\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\uff1b\u5947\u6570\u9636\u53cd\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u7684\u884c\u5217\u5f0f\u5fc5\u4e3a0\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1\u2014\u2014\u53cd\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635
简单计算一下即可，答案如图所示
是这样的，反对称阵每个元素都是在对称后都是其相反数
设A＝(a1,a2,...,an) （注意a1-an是列向量）
A^T=(-a1,-a2,...,-an)^T （注意a1-an是列向量，转置后是行向量）
这样|A^T|=|(-a1,-a2,...,-an)^T|=(-1)^n|(a1,a2,...,an)|=(-1)^n|A| = -|A|.
所以 |A| = 0.
其实有种稍简单的理解方法，行列式有条性质是：如果A为n阶行列式，k为常数，则|kA|=k^n|A|
这里-1即常数k啦~
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