如何证明lim(sinx/x)=1? 如何证明limsinx/x=1
\u5982\u4f55\u8bc1\u660elim(sinx/x)=1\u3002\u3002\u3002x\u8d8b\u4e8e0\u5427\uff1f
\u5f530<x<\u03c0/2\u65f6
sinx<x<tanx[\u8fd9\u4e2a\u77e5\u9053\u5427\uff1f]
\u9664\u4ee5sinx\uff0c\u5f97\u52301<x/sinx<1/cosx\uff0c\u7531\u6b64\u5f97
cosx<sinx/x<1.
\u5728\u4e0a\u5f0f\u4e2d\u7528-x\u4ee3\u66ffx\u65f6\uff0c\u4e0a\u5f0f\u4e0d\u53d8\uff0c\u6545\u4e0a\u5f0f\u5f53-\u03c0/2<x<0\u65f6\u4e5f\u6210\u7acb\uff0c
\u4ece\u800c\u5b83\u5bf9\u4e00\u5207\u6ee1\u8db3\u4e0d\u7b49\u5f0f0<|x|<\u03c0/2\u7684x\u90fd\u6210\u7acb.
\u7531lim(x\u21920)cosx=1\u53ca\u51fd\u6570\u6781\u9650\u7684\u8feb\u655b\u6027\uff0c\u5373\u5f97
lim(x\u21920)(sinx/x)=1.
\u9996\u5148\uff0c\u5148\u8bc1\u660e\uff1a\u5f530<x<\u03c0/2\u65f6\uff0c\u6709\uff1a
sin x < x < tan x
(\u4e0d\u80fd\u7528\u6c42\u5bfc\u53bb\u8bc1\u660e\uff0c\u5426\u5219\u5c31\u53d8\u6210\u5faa\u73af\u8bba\u8bc1
\u56e0\u4e3asin x\u7684\u6c42\u5bfc\u516c\u5f0f\u4e2d\u8fd0\u7528\u5230\u8fd9\u4e00\u4e2a\u6781\u9650)
\u5728\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\u4e2d\u4f5c\u4e00\u5355\u4f4d\u5706(\u4ee5\u539f\u70b9O\u4e3a\u5706\u5fc3\uff0c1\u4e3a\u534a\u5f84\u7684\u5706)\uff0c\u4ea4x\u6b63\u534a\u8f74\u4e8e\u70b9A
\u4f5c\u5706\u5728A\u70b9\u4e0a\u7684\u5207\u7ebfAB\uff0c\u5176\u4e2dB\u70b9\u5728\u7b2c\u4e00\u8c61\u9650\u3002\u8fde\u63a5OB\uff0c\u4ea4\u5706\u4e8e\u70b9P
\u8fc7P\u4f5c\u5e73\u884c\u4e8ey\u8f74\u7684\u76f4\u7ebf\uff0c\u4ea4x\u8f74\u4e8eQ\u3002\u8fde\u7ed3AP(\u8bf7\u81ea\u5df1\u753b\u56fe)
\u8bbe\u2220POA=x(\u5f27\u5ea6)\uff0c\u90a3\u4e48OA=OP=1
PQ=OP*sin x=sin x, AB=OA*tan x=tan x
\u7531\u56fe\u53ef\u77e5\uff1a\u25b3OPQ\u7684\u9762\u79ef<\u6247\u5f62OPA\u7684\u9762\u79ef<\u25b3OAB\u7684\u9762\u79ef
\u25b3OPQ\u7684\u9762\u79ef=1/2*PQ*OA=1/2*sin x
\u6247\u5f62OPA\u7684\u9762\u79ef=1/2*x*1^2=1/2*x
\u25b3OAB\u7684\u9762\u79ef=1/2*AB*OA=1/2*tan x
\u4ee3\u5165\u521a\u521a\u7684\u9762\u79ef\u5927\u5c0f\u5173\u7cfb\u5c31\u5f97\uff1a
sin x < x < tan x (0<x<\u03c0/2)
\u4ee5\u4e0b\u8fd0\u7528\u5939\u903c\u51c6\u5219\u8bc1\u660e\u53f3\u6781\u9650\u7b49\u4e8e1
\u4e0a\u5f0f\u5404\u9879\u53d6\u5012\u6570\uff0c\u5f97\uff1a
1/tan x < 1/x < 1/sin x
\u5404\u9879\u4e58\u4ee5sin x,\u5f97\uff1a
cos x < (sin x)/x < 1
\u5f53x\u8d8b\u54110\u5f0f\uff0c\u4e0a\u9762\u4e0d\u7b49\u5f0f\u4e2d\uff0ccos x\u8d8b\u54111
\u800c\u6700\u53f3\u9762\u4e5f\u662f1\uff0c\u7531\u5939\u903c\u51c6\u5219\u4fbf\u6709
lim sinx/x=1(x\u8d8b\u54110(+))
\u56e0\u4e3asinx/x\u662f\u5076\u51fd\u6570\uff0c\u56fe\u8c61\u5173\u4e8ey\u8f74\u5bf9\u79f0
\u6240\u4ee5lim sinx/x=1(x\u8d8b\u54110(-))
\u5de6\u53f3\u6781\u9650\u76f8\u7b49\uff0c\u90fd\u7b49\u4e8e1
\u6240\u4ee5\uff1a
lim sinx/x=1(x\u8d8b\u54110)
sin x < x < tan x
(不能用求导去证明，否则就变成循环论证
因为sin x的求导公式中运用到这一个极限)
在直角坐标系中作一单位圆(以原点O为圆心，1为半径的圆)，交x正半轴于点A
作圆在A点上的切线AB，其中B点在第一象限。连接OB，交圆于点P
过P作平行于y轴的直线，交x轴于Q。连结AP(请自己画图)
设∠POA=x(弧度)，那么OA=OP=1
PQ=OP*sin x=sin x, AB=OA*tan x=tan x
由图可知：△OPQ的面积<扇形OPA的面积<△OAB的面积
△OPQ的面积=1/2*PQ*OA=1/2*sin x
扇形OPA的面积=1/2*x*1^2=1/2*x
△OAB的面积=1/2*AB*OA=1/2*tan x
代入刚刚的面积大小关系就得：
sin x < x < tan x (0<x<π/2)
以下运用夹逼准则证明右极限等于1
上式各项取倒数，得：
1/tan x < 1/x < 1/sin x
各项乘以sin x,得：
cos x < (sin x)/x < 1
当x趋向0式，上面不等式中，cos x趋向1
而最右面也是1，由夹逼准则便有
lim sinx/x=1(x趋向0(+))
因为sinx/x是偶函数，图象关于y轴对称
所以lim sinx/x=1(x趋向0(-))
左右极限相等，都等于1
所以：
lim sinx/x=1(x趋向0)
x→0时，因为是0/0型的式子求极限,所以可以采用洛必达法则,也就是分子分母同时求导.即:
原式=lim(cosx/1)=1
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...
sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7!+...
x->0 sinx/x ->1
书上都有，考试不考
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