不等式的基本性质 不等式的基本性质有哪些？
\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u57fa\u672c\u6027\u8d28\u3002\u5728\u9ad8\u4e2d\u6570\u5b66\u4e2d\uff0c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u662f\u4e00\u79cd\u975e\u5e38\u5e38\u89c1\u7684\u5f62\u5f0f\uff0c\u51e0\u4e4e\u8d2f\u7a7f\u4e86\u6574\u4e2a\u9ad8\u4e2d\u6570\u5b66\u7684\u8bfe\u672c\uff0c\u76f8\u4fe1\u53ea\u8981\u662f\u4e0a\u8fc7\u9ad8\u4e2d\u7684\u4eba\uff0c\u90fd\u4e0d\u4f1a\u5bf9\u4e0d\u7b49\u5f0f\u611f\u5230\u964c\u751f\u3002\u4e0d\u7b49\u5f0f\u5c31\u662f\u7528\u5927\u4e8e\uff0c\u5c0f\u4e8e\uff0c\u5927\u4e8e\u7b49\u4e8e\uff0c\u5c0f\u4e8e\u7b49\u4e8e\u8fde\u63a5\u800c\u6210\u7684\u6570\u5b66\u5f0f\u5b50\u3002\u90a3\u4e48\uff0c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u6709\u54ea\u4e9b\u57fa\u672c\u6027\u8d28\uff1f\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u4e00\u5171\u6709\u516b\u79cd\u57fa\u672c\u6027\u8d28\uff0c\u5206\u522b\u662f\uff1a
1\u3001\u5bf9\u79f0\u6027\uff0c\u5982\u679cx>y\uff0c\u90a3\u4e48yy\u3002\u6bd4\u5982\uff0c4>3\uff0c\u90a3\u4e483<4\uff1b
2\u3001\u4f20\u9012\u6027\uff0c\u5982\u679cx>y\uff0cy>z\uff0c\u90a3\u4e48x>z\u3002\u6bd4\u5982\uff0c5>4\uff0c4>3\uff0c\u90a3\u4e485>3\uff1b
3\u3001\u52a0\u6cd5\u5355\u8c03\u6027\uff0c\u5373\u540c\u5411\u4e0d\u7b49\u5f0f\u53ef\u52a0\u6027\uff0c\u5982\u679cx>y\uff0c\u800cz\u4e3a\u4efb\u610f\u5b9e\u6570\u6216\u6574\u5f0f\uff0c\u90a3\u4e48x+z>y+z,\u5373\u4e0d\u7b49\u5f0f\u4e24\u8fb9\u540c\u65f6\u52a0\u6216\u51cf\u53bb\u540c\u4e00\u4e2a\u6574\u5f0f\uff0c\u4e0d\u7b49\u53f7\u65b9\u5411\u4e0d\u53d8\u3002\u6bd4\u59824>3\uff0c\u90a3\u4e484+2>3+2\uff1b
4\u3001\u4e58\u6cd5\u5355\u8c03\u6027\uff0c\u5982\u679cx>y\uff0cz>0\uff0c\u90a3\u4e48xz>yz ,\u5373\u4e0d\u7b49\u5f0f\u4e24\u8fb9\u540c\u65f6\u4e58\u4ee5\uff08\u6216\u9664\u4ee5\uff09\u540c\u4e00\u4e2a\u5927\u4e8e0\u7684\u6574\u5f0f\uff0c\u4e0d\u7b49\u53f7\u65b9\u5411\u4e0d\u53d8\uff1b
5\u3001\u540c\u5411\u6b63\u503c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u53ef\u4e58\u6027\uff0c\u5982\u679cx>y\uff0cz<0\uff0c\u90a3\u4e48xz<yz, \u5373\u4e0d\u7b49\u5f0f\u4e24\u8fb9\u540c\u65f6\u4e58\u4ee5\uff08\u6216\u9664\u4ee5\uff09\u540c\u4e00\u4e2a\u5c0f\u4e8e0\u7684\u6574\u5f0f\uff0c\u4e0d\u7b49\u53f7\u65b9\u5411\u6539\u53d8\uff1b
6\u3001\u6b63\u503c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u53ef\u4e58\u65b9\uff0c\u5982\u679cx>y\uff0cm>n\uff0c\u90a3\u4e48x+m>y+n\uff1b
7\u3001\u6b63\u503c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u53ef\u5f00\u65b9\uff0c\u5982\u679cx>y>0\uff0cm>n>0\uff0c\u90a3\u4e48xm>yn\uff1b
8\u3001\u5012\u6570\u6cd5\u5219\u3002\u5982\u679cx>y>0\uff0c\u90a3\u4e48x\u7684n\u6b21\u5e42>y\u7684n\u6b21\u5e42\uff08n\u4e3a\u6b63\u6570)\uff0cx\u7684n\u6b21\u5e42<y\u7684n\u6b21\u5e42\uff08n\u4e3a\u8d1f\u6570\uff09\u3002
\u4ee5\u4e0a\u5c31\u662f\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u516b\u6761\u57fa\u672c\u6027\u8d28\uff0c\u8fd9\u516b\u6761\u57fa\u672c\u6027\u8d28\u5728\u9ad8\u4e2d\u6570\u5b66\u4e2d\u7684\u5e94\u7528\u662f\u975e\u5e38\u5e7f\u6cdb\u7684\uff0c\u5982\u679c\u4f60\u662f\u9ad8\u4e2d\u5b66\u751f\u7684\uff0c\u60f3\u8981\u5b66\u597d\u9ad8\u4e2d\u6570\u5b66\uff0c\u5c31\u4e00\u5b9a\u8981\u7262\u8bb0\u8fd9\u516b\u6761\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u57fa\u672c\u6027\u8d28\u3002
\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u57fa\u672c\u6027\u8d28\u6709\uff1a
\u5bf9\u79f0\u6027;
\u4f20\u9012\u6027;
\u52a0\u6cd5\u5355\u8c03\u6027\uff0c\u5373\u540c\u5411\u4e0d\u7b49\u5f0f\u53ef\u52a0\u6027;
\u4e58\u6cd5\u5355\u8c03\u6027;
\u540c\u5411\u6b63\u503c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u53ef\u4e58\u6027;
\u6b63\u503c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u53ef\u4e58\u65b9;
\u6b63\u503c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u53ef\u5f00\u65b9;
\u5012\u6570\u6cd5\u5219\u3002
\u5982\u679c\u7531\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u57fa\u672c\u6027\u8d28\u51fa\u53d1\uff0c\u901a\u8fc7\u903b\u8f91\u63a8\u7406\uff0c\u53ef\u4ee5\u8bba\u8bc1\u5927\u91cf\u7684\u521d\u7b49\u4e0d\u7b49\u5f0f\uff0c\u4ee5\u4e0a\u662f\u5176\u4e2d\u6bd4\u8f83\u6709\u540d\u7684\u3002
\u53e6\uff0c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u6027\u8d28\u6709\u4e09\uff1a
\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u4e24\u8fb9\u90fd\u52a0\u4e0a\u6216\u51cf\u53bb\u540c\u4e00\u4e2a\u6574\u5f0f\uff0c\u4e0d\u7b49\u53f7\u7684\u65b9\u5411\u4e0d\u53d8\u3002
\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u4e24\u8fb9\u90fd\u4e58\u4ee5\u6216\u9664\u4ee5\u540c\u4e00\u4e2a\u6b63\u6570\uff0c\u4e0d\u7b49\u53f7\u7684\u65b9\u5411\u4e0d\u53d8\u3002
\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u4e24\u8fb9\u90fd\u4e58\u4ee5\u6216\u9664\u4ee5\u540c\u4e00\u4e2a\u8d1f\u6570\uff0c\u4e0d\u7b49\u53f7\u7684\u65b9\u5411\u6539\u53d8\u3002
\u603b\u7ed3\uff1a\u5f53\u4e24\u4e2a\u6b63\u6570\u7684\u79ef\u4e3a\u5b9a\u503c\u65f6\uff0c\u5b83\u4eec\u7684\u548c\u6709\u6700\u5c0f\u503c;\u5f53\u4e24\u4e2a\u6b63\u6570\u7684\u548c\u4e3a\u5b9a\u503c\u65f6\uff0c\u5b83\u4eec\u7684\u79ef\u6709\u6700\u5927\u503c\u3002
\u7b49\u5f0f\u7684\u57fa\u672c\u6027\u8d28\uff1a
\u7b49\u5f0f\u4e24\u8fb9\u540c\u65f6\u52a0\u4e0a\uff08\u6216\u51cf\u53bb\uff09\u540c\u4e00\u4e2a\u4ee3\u6570\u5f0f\uff0c\u6240\u5f97\u7ed3\u679c\u4ecd\u4f7f\u7b49\u5f0f\u3002 \u7b49\u5f0f\u7684\u57fa\u672c\u6027\u8d28
\u7b49\u5f0f\u4e24\u8fb9\u540c\u65f6\u4e58\u540c\u4e00\u4e2a\u6570\uff08\u6216\u9664\u4ee5\u4e00\u4e2a\u4e0d\u4e3a0\u7684\u6570\uff09\uff0c\u6240\u5f97\u7ed3\u679c\u4ecd\u4f7f\u7b49\u5f0f\u3002
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d.
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.
例1:判断下列命题的真假,并说明理由.
若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假)
若,则a>b;(真)
若a>b且ab<0,则;(假)
若a若,则a>b;(真)
若|a|b2;(充要条件)
命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.
a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b的大小.(≥)
说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备.
例4:设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.
说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想.
练习:
1.若a≠0,比较(a2+1)2与a4+a2+1的大小.(>)
2.若a>0,b>0且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.(>)
3.判断下列命题的真假,并说明理由.
(1)若a>b,则a2>b2;(假) (2)若a>b,则a3>b3;(真)
(3)若a>b,则ac2>bc2;(假) (4)若,则a>b;(真)
若a>b,c>d,则a-d>b-c.(真).
1.不等式的基本性质: 性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性). 性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性). 性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d. 性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. 性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且. 判断下列命题的真假,并说明理由. 若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假) 若,则a>b;(真) 若a>b且ab<0,则;(假) 若a若,则a>b;(真) 若|a|b2;(充要条件) 本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性. a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b的大小.(≥) 强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备. :设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小. 本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想. 1.若a≠0,比较(a2+1)2与a4+a2+1的大小.(>) 2.若a>0,b>0且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.(>) 3.判断下列命题的真假,并说明理由. (1)若a>b,则a2>b2;(假) (2)若a>b,则a3>b3;(真) (3)若a>b,则ac2>bc2;(假) (4)若,则a>b;(真) 若a>b,c>d,则a-d>b-c.(真).
1.不等式的基本性质:
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d.
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.
例1:判断下列命题的真假,并说明理由.
若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假)
若,则a>b;(真)
若a>b且ab<0,则;(假)
若a若,则a>b;(真)
若|a|b2;(充要条件)
命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.
a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b的大小.(≥)
说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备.
例4:设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.
说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想.
练习:
1.若a≠0,比较(a2+1)2与a4+a2+1的大小.(>)
2.若a>0,b>0且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.(>)
3.判断下列命题的真假,并说明理由.
(1)若a>b,则a2>b2;(假) (2)若a>b,则a3>b3;(真)
(3)若a>b,则ac2>bc2;(假) (4)若,则a>b;(真)
若a>b,c>d,则a-d>b-c.(真).
1.不等式的基本性质:
性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).
性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).
性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么acb,c>d,那么a+c>b+d.
性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
性质6:如果a>b，那么b<a
这才是不等式的六个性质
不等式性质1
不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
如果a＞b,那么a+m＞b+m；
如果a＜b,那么a+m＜b+m。
不等式性质2
不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
如果a＞b,且m＞0,那么am＞bm；
如果a＜b,且m＞0,那么am＜bm。
不等式性质3
不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
如果a＞b,且m＜0,那么am＜bm；
如果a＜b,且m＜0,那么am＞bm。
绛旓細1.涓嶇瓑寮忕殑鍩烘湰鎬ц川:鎬ц川1:濡傛灉a>b,b>c,閭ｄ箞a>c(涓嶇瓑寮忕殑浼犻掓).鎬ц川2:濡傛灉a>b,閭ｄ箞a+c>b+c(涓嶇瓑寮忕殑鍙姞鎬).鎬ц川3:濡傛灉a>b,c>0,閭ｄ箞ac>bc;濡傛灉a>b,c<0,閭ｄ箞acb,c>d,閭ｄ箞a+c>b+d.鎬ц川5:濡傛灉a>b>0,c>d>0,閭ｄ箞ac>bd.鎬ц川6:濡傛灉a>b>0,n鈭圢,n>1,閭ｄ箞an>bn,涓...
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