求数列的通项公式有哪几种方法？ 求数列an的通项公式有哪几种方法
\u6c42\u6570\u5217an\u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0f\u6709\u54ea\u4e9b\u65b9\u6cd5\uff1f\u2460\u7b49\u5dee\u6570\u5217\u548c\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u6709\u901a\u9879\u516c\u5f0f\u3002
\u2461\u7d2f\u52a0\u6cd5\uff1a\u7528\u4e8e\u9012\u63a8\u516c\u5f0f\u4e3aan+1=an+f\uff08n\uff09\uff0c\u4e14f(n)\u53ef\u4ee5\u6c42\u548c\u3002
\u2462\u7d2f\u4e58\u6cd5\uff1a\u7528\u4e8e\u9012\u63a8\u516c\u5f0f\u4e3aan+1/an=f\uff08n\uff09 \u4e14f(n)\u53ef\u6c42\u79ef\u3002
\u2463\u6784\u9020\u6cd5\uff1a\u5c06\u975e\u7b49\u5dee\u6570\u5217\u3001\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\uff0c\u8f6c\u6362\u6210\u76f8\u5173\u7684\u7b49\u5dee\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u3002
\u2464\u9519\u4f4d\u76f8\u51cf\u6cd5\uff1a\u7528\u4e8e\u5f62\u5982\u6570\u5217\u7531\u7b49\u5dee\u00d7\u7b49\u6bd4\u6784\u6210\uff1a\u5982an=n\u00b72^n\u3002
\u6309\u4e00\u5b9a\u6b21\u5e8f\u6392\u5217\u7684\u4e00\u5217\u6570\u79f0\u4e3a\u6570\u5217\uff0c\u800c\u5c06\u6570\u5217{an} \u7684\u7b2cn\u9879\u7528\u4e00\u4e2a\u5177\u4f53\u5f0f\u5b50\uff08\u542b\u6709\u53c2\u6570n\uff09\u8868\u793a\u51fa\u6765\uff0c\u79f0\u4f5c\u8be5\u6570\u5217\u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0f\u3002\u8fd9\u6b63\u5982\u51fd\u6570\u7684\u89e3\u6790\u5f0f\u4e00\u6837\uff0c\u901a\u8fc7\u4ee3\u5165\u5177\u4f53\u7684n\u503c\u4fbf\u53ef\u6c42\u77e5\u76f8\u5e94an \u9879\u7684\u503c\u3002\u800c\u6570\u5217\u901a\u9879\u516c\u5f0f\u7684\u6c42\u6cd5\uff0c\u901a\u5e38\u662f\u7531\u5176\u9012\u63a8\u516c\u5f0f\u7ecf\u8fc7\u82e5\u5e72\u53d8\u6362\u5f97\u5230\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599
\u7b49\u5dee\u6570\u5217\u7684\u5176\u4ed6\u63a8\u8bba\uff1a
\u2460 \u548c=\uff08\u9996\u9879+\u672b\u9879\uff09\u00d7\u9879\u6570\u00f72\uff1b
\u2461\u9879\u6570=\uff08\u672b\u9879-\u9996\u9879\uff09\u00f7\u516c\u5dee+1\uff1b
\u2462\u9996\u9879=2x\u548c\u00f7\u9879\u6570-\u672b\u9879\u6216\u672b\u9879-\u516c\u5dee\u00d7\uff08\u9879\u6570-1\uff09\uff1b
\u2463\u672b\u9879=2x\u548c\u00f7\u9879\u6570-\u9996\u9879\uff1b
\u2464\u672b\u9879=\u9996\u9879+\uff08\u9879\u6570-1\uff09\u00d7\u516c\u5dee\uff1b
\u24652(\u524d2n\u9879\u548c-\u524dn\u9879\u548c)=\u524dn\u9879\u548c+\u524d3n\u9879\u548c-\u524d2n\u9879\u548c\u3002
\u2460\u7b49\u5dee\u6570\u5217\u548c\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u6709\u901a\u9879\u516c\u5f0f
\u2461\u7d2f\u52a0\u6cd5\uff1a\u7528\u4e8e\u9012\u63a8\u516c\u5f0f\u4e3a \uff0c\u4e14f(n)\u53ef\u4ee5\u6c42\u548c
\u2462\u7d2f\u4e58\u6cd5\uff1a\u7528\u4e8e\u9012\u63a8\u516c\u5f0f\u4e3a \u4e14f(n)\u53ef\u6c42\u79ef
\u2463\u6784\u9020\u6cd5\uff1a\u5c06\u975e\u7b49\u5dee\u6570\u5217\u3001\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\uff0c\u8f6c\u6362\u6210\u76f8\u5173\u7684\u7b49\u5dee\u7b49\u6bd4\u6570\u5217
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求数量1、1/2、1/4、1/7 ……的通项公式
解：先看数列1,2,4,7……
研究它的规律发现：
a1=1
a2=a1+1
a3=a2+2
---------
an=a(n-1)+(n-1)
上述式子相加得：
a1+a2+a3+----+a(n-1)+an=a1+a2+a3+----+a(n-1)+1+1+2+3+---+(n-1)
an=1+1+2+3+---+(n-1)
=1+n(n-1)/2
=(n²-n+2)/2
所以1、1/2、1/4、1/7 的通项公式是an=2/(n²-n+2).
数列{an},a1=1,an=3^(n-1)+an-1,n>=2,求an通项公式
解：an=3^(n-1)+a(n-1)
an-a(n-1)=3^(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=3^(n-2)
a(n-2)-a(n-3)=3^(n-3)
......
a2-a1=3
累加得：an-a1=3^(n-1)+3^(n-2)+...+3=(3^n -3)/2
an=3^n/2-1/2
【利用Sn与an的关系解题】
设sn为数列an的前n项和 且SN=2分之3的AN-1求AN的通项公式
解：Sn=3/2(an-1),所以S(n-1)=3/2(a(n-1)-1),
a[n]=S[n]-S[n-1]=3/2(a[n]-a[n-1])，得a[n]=3a[n-1]
∴a[n]是等比数列，公比是3，又a1=S1=3/2(a1-1)，解得a1=3
∴a[n]=3*3^(n-1)=3^n.
设数列{An}的前项和为Sn,A1=10.An+1=9Sn+10.求数列{An}的通项公式
解：An+1=9Sn+10
An=9S(n-1)+10
An=Sn-S(n-1)=(1/9)[A(n+1)-An]
A(n+1)/An=10
所以为等比数列 A1=10,q=10
An=10*10^(n-1)=10^n
设各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=1/2(an+1/an) ，求an的通项公式
解法一：
Sn=1/2(an+1/an)
S(n-1)=Sn-an=1/2(1/an-an)
Sn+S(n-1)=1/an
Sn-S(n-1)=an
上面两式相乘得：
Sn^2-S(n-1)^2=1
S1=a1=1/2(a1+1/a1),a1=1
{Sn^2}是首项为S1^2=1,公差为1的等差数列
Sn^2=n
Sn=√n
an=Sn-S(n-1)=√n-√(n-1)
解法二：
两边同乘2an 2anSn=an²+1
2（Sn-Sn-1）Sn=（Sn-Sn-1）²+1
（Sn-Sn-1）【2Sn-（Sn-Sn-1）】=1
Sn²-Sn-1²=1
a1=Sn=1
Sn²=n
an=Sn-Sn-1=√n-√（n-1)
【构造等差数列】
数列a（1）=1,a(n)=1/3a(n-1)+(1/3)^n 则{an}的通项公式是？
解：a(n)=1/3a(n-1)+(1/3)^n
两边同乘以3^n得：
3^n a(n)= 3^(n-1) a(n-1)+1,
这说明数列{3^n a(n)}是等差数列，公差为1，
首项为3a1=3,
所以3^n a(n)=3+(n-1)*1
3^n a(n)=n+2
a(n)=(n+2)/ 3^n.
设数列｛a(n)}的前n项和Sn=2a(n)-2^n. 求数列a(n)的通项公式。
解：当n=1时，有a1=S1=2a1-2，解得：a1=2；
当n>1时，Sn=2an-2^n=2an-2*2^(n-1)，S(n-1)=2a(n-1)-2^(n-1)
所以an=Sn-S(n-1)=[2an-2*2^(n-1)]-[2a(n-1)-2^(n-1)]=2an-2a(n-1)-2^(n-1).
整理得：an-2a(n-1)=2^(n-1).
两边同时除以2^n，得：an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=1/2.
因为a1/2^1=1，所以数列{an/2^n}是以1为首项，1/2为公差的等差数列.
所以an/2^n=a1/2^1+(n-1)*d=1+(n-1)/2=(n+1)/2，
所以an=(n+1)*2^(n-1).
因为a1=2=(1+1)*2^(1-1)，符合上式.
所以数列{an}的通项公式为an=(n+1)*2^(n-1).
数列{an}满足a1=3 a(n+1)=3an+3^n+1求通项公式
解：a(n+1)=3an+3^(n+1),两边同除以3^(n+1)可得：
a(n+1)/ 3^(n+1)= 3an/ 3^(n+1)+1,
a(n+1)/ 3^(n+1)= an/ 3^n+1,
设an/ 3^n=bn,则b(n+1)=bn+1,
这说明数列{bn}是公差为1的等差数列，首项为b1=a1/3=1.
bn=b1+(n-1)•1=1+(n-1)•1=n.
即an/ 3^n=n,
∴an=n•3^n.
【待定系数法构造等比数列】
数列{An}a1=1 , 3an-a(n-1)=n 求An 的通项公式
解： 3an=a(n-1)+n,
an=1/3[a(n-1)+n]……①
设an+xn+y=1/3[a(n-1)+ x(n-1)+y ]……②,其中x，y是待定的常数。
①②两式比较可知：x=-1/2，y=1/4,
所以an-1/2n+1/4=1/3[a(n-1)-1/2(n-1)+1/4 ],
这说明数列{ an-1/2n+1/4}是等比数列，公比为1/3,首项为a1-1/2+1/4=3/4.
根据等比数列的通项公式得：
an-1/2n+1/4=3/4•(1/3)^(n-1),
an=3/4•(1/3)^(n-1)+1/2n-1/4.
已知数列{an}的首项a1=3/5 , a(n+1)=3an/2an +1,n=1,2,3... 求{an}的通项公式
解：a(n+1)=3an/(2an +1),
取倒数得：
1/ a(n+1)= (2an +1) /(3an),
即1/ a(n+1)=2/3+1/(3an),
1/ a(n+1)-1=1/3(1/an-1),
所以数列{1/an-1}是公比为1/3的等比数列，首项为1/a1-1=2/3.
所以1/an-1=2/3•(1/3)^(n-1),
1/an=1+2/3^n,
an=1/(1+2/3^n)
an=3^n/(3^n+2).
【特征根法】
A(n+2)=pA(n+1)+qAn， p,q为常数
（1）通常设： A(n+2)-mA(n+1)=k[A(n+1)-mAn],
则 m+k=p, mk=-q
（2）特征根法：
特征方程是y²=py+q（※）
注意：① m n为（※）两根。
② m n可以交换位置，但其结果或出现两种截然不同的数列形式，但同样都可以计算An，而且还会有意想不到的惊喜，嘿嘿
③ m n交换位置后可以分别构造出两组An和A(n+1)的递推公式，这个时侯你会发现，这是一个关于An和A(n+1)的二元一次方程组，那么不就可以消去A（n+1），留下An，得了，An求出来了。
例：A1=1,A2=1,A(n+2)= 5A（n+1）-6An，
特征方程为：y²= 5y-6
那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3
于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3An] (1)
A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2An] (2)
所以，A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3)
A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4)
消元消去A（n+1），就是An,
An=- 3 ^ (n-1) +2 ^ n.
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