A为正定矩阵,B为实反对称矩阵,求证:| A+B |大于零。
\u6c42\u8bc1\u8fd9\u9053\u9ad8\u7b49\u4ee3\u6570\u5173\u4e8e\u6b63\u5b9a\u77e9\u9635\uff0c\u884c\u5217\u5f0f\uff0c\u662f\u53cd\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635 \u7684\u4e00\u7cfb\u5217\u5185\u5bb9\u3002\u3002\u9898\u76ee\uff0c\u5982\u56fe\uff0c\u8c22\u8c22\u8001\u5e08\uff0c\u5927\u795e\uff0c\u9ad8\u6211\u91cd\u65b0\u7f16\u8f91\u4e0b
A\u4e3a\u6b63\u5b9a\u77e9\u9635\uff0c\u503c\u4e3a\u5b9e\u6570\uff0c\u8bbe\u4e3aa\uff1bB\u4e3a\u975e\u96f6\u5b9e\u53cd\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u7684\u503c\u5fc5\u5b9a\u4e3a\u7eaf\u865a\u6570\uff0c\u8bbe\u4e3abi\uff1b
\uff08a\u22600\uff0cb\u22600\uff0ca\u2208R\uff0cb\u2208R\uff09
|A+B=\u221a\uff08a^2+b^2)|>a=|A|\u3002
\u5373|A+B|>|A|\u3002
设a为A+B的任一特征值，b为其特征向量，用b`表示b的共轭转置 则有 (A+B)b=ab 两端左乘b`
得 b`(A+B)b=b`ab=a|b|^2 再在 (A+B)b=ab, 两端取共轭转置，由 A为正定矩阵,B为实反对称矩阵得 b`(A-B)=b`a 再两端右乘b 得b`(A-B)b=b`ab=a|b|^2 所以 2|b|^2*a=b`Ab >0
所以 a>0 即A+B的任一特征值为正数。所以| A+B |>0
A正定,B反对称,
那么对于任意的非负实数k
det((k*I+A+B)(k*I'+A'+B'))
=det((k*I+A)^2+BB')
而(k*I+A)^2+BB'是正定
所以
det(k*I+A+B)^2>0
也就是
det(k*I+A+B)!=0对于任意非负实数k成立
左边是关于k的多项式多项式,所以在区间[0,+00)不变号
而对于从分大的k,det(k*I+A+B)>0(所有特征值实部远远大于虚部而且大于0),所以det(A+B)>0(k=0时)
你还可以通过证明|A+B|的特征值全部大于零来证明，这个办法也很简单，在下面这个帖子里我有证明过。你看看吧
绛旓細寰 b`(A+B)b=b`ab=a|b|^2 鍐嶅湪 (A+B)b=ab, 涓ょ鍙栧叡杞浆缃紝鐢 A涓烘瀹氱煩闃,B涓哄疄鍙嶅绉扮煩闃寰 b`(A-B)=b`a 鍐嶄袱绔彸涔榖 寰梑`(A-B)b=b`ab=a|b|^2 鎵浠 2|b|^2*a=b`Ab >0 鎵浠 a>0 鍗矨+B鐨勪换涓鐗瑰緛鍊间负姝ｆ暟銆傛墍浠 A+B |>0 ...
绛旓細yajun瀹濊礉 ,鐢鍙嶅绉扮煩闃瀹氫箟鐭ユ湁B=-B^T,浜庢槸A-B^TB=A+B^2,鐢辨璐熺煩闃电殑瀹氫箟鏈塜^TAX>0,浜庢槸X^T(A-B^TB)X=X^TAX-X^TB^TBX=X^TAX+(B^TX)2>0,鏁呮槸姝ｅ畾鐭╅樀.
绛旓細yajun瀹濊礉 锛屼綘濂斤細鐢鍙嶅绉扮煩闃瀹氫箟鐭ユ湁B=-B^T锛屼簬鏄疉-B^TB=A+B^2锛岀敱姝ｈ礋鐭╅樀鐨勫畾涔夋湁X^TAX>0锛屼簬鏄疿^T(A-B^TB)X=X^TAX-X^TB^TBX=X^TAX+(B^TX)2>0锛屾晠鏄瀹氱煩闃点
绛旓細yajun瀹濊礉 锛屼綘濂斤細鐢鍙嶅绉扮煩闃瀹氫箟鐭ユ湁B=-B^T锛屼簬鏄疉-B^TB=A+B^2锛岀敱姝ｈ礋鐭╅樀鐨勫畾涔夋湁X^TAX>0锛屼簬鏄疿^T(A-B^TB)X=X^TAX-X^TB^TBX=X^TAX+(B^TX)2>0锛屾晠鏄瀹氱煩闃点
绛旓細鎴戦噸鏂扮紪杈戜笅
绛旓細姝ｅ畾鐭╅樀瀹氫箟锛氬浜庝换鎰忛潪闆跺悜閲廥=锛坸1,x2,...,xn锛塣T锛岄兘婊¤冻X^TAX>0锛屽垯A涓烘瀹氱煩闃銆傝X涓轰换鎰弉缁村垪鍚戦噺锛孹^T锛圓-B^2锛塜=X^TAX-X^TB^2X锛孊^2=B*B锛岀敱浜B涓哄弽瀵圭О鐭╅樀锛孊=-B^T銆傛墍浠ワ紝-X^TB^2X=X^TB^TBX=(BX)^TBX=||BX||锛寍|BX||鏄垪鍚戦噺鐨勯暱搴︿篃鍙仛鑼冩暟锛屽畠鐨...
绛旓細鍋囧畾浣犳墍璇寸殑姝ｅ畾鏄瀵圭О姝ｅ畾锛骞朵笖A鍜孊閮芥槸瀹炵殑 鎶婁互涓嬪嚑涓粨璁虹敤涓閬嶅嵆鍙 1.瀛樺湪鍙鐭╅樀C浣垮緱A=C'C 2.B鐨勭З涓哄伓鏁 3.rank(X'X)=rank(X)
绛旓細A涓烘瀹氱煩闃碉紝鍊间负瀹炴暟锛岃涓篴锛B涓闈為浂瀹炲弽瀵圭О鐭╅樀鐨勫煎繀瀹氫负绾櫄鏁帮紝璁句负bi锛涳紙a鈮0锛宐鈮0锛宎鈭圧锛宐鈭圧锛墊A+B=鈭氾紙a^2+b^2)|>a=|A|銆傚嵆|A+B|>|A|銆
绛旓細Bx 鏄竴涓垪鍚戦噺 鍒 (Bx)'(Bx) >= 0 [杩欓噷瑕佹眰B鏄瀹炵煩闃--绾挎т唬鏁伴粯璁杩欐槸鍐呯Н鐨勯潪璐熸(涓涓ц川), 鍘熷洜: 璁 Bx =(a1,...,an)'鍒 (Bx)'(Bx) = a1^2+...+an^2 >=0.鎵浠 x' (A-B^2)x = x'Ax + x'B'Bx [ B' = -B]= x'Ax + (Bx)'(Bx) [ ...
绛旓細鍙嶄緥锛欰= 2 1 1 2 B= 2 0.1 10 2 灏界涓よ呯浉浼间絾涓嶈兘淇濊瘉B姝ｅ畾, 鍙兘璇碆鍙瑙掑寲涓旂壒寰佸煎ぇ浜庨浂銆侫锛孊涓哄疄瀵圭О鐭╅樀鏃, 鎺ㄥ鏄鐨勶紝涓嶈繃绾挎т唬鏁颁竴鑸璁虹殑鏄疄瀵圭О鐭╅樀锛涓嶆槸瀹炲绉扮煩闃垫椂鐪嬬湅鐢电伅缁欑殑鍙嶄緥銆
