圆锥体积公式推导过程 圆锥体积公式的推导过程是什么？
\u5706\u9525\u4f53\u79ef\u516c\u5f0f\u7684\u63a8\u5bfc\u5706\u9525\u7684\u4f53\u79ef
\u3000\u3000\u4e00\u4e2a\u5706\u9525\u6240\u5360\u7a7a\u95f4\u7684\u5927\u5c0f\uff0c\u53eb\u505a\u8fd9\u4e2a\u5706\u9525\u7684\u4f53\u79ef\uff0e
\u3000\u3000\u4e00\u4e2a\u5706\u9525\u7684\u4f53\u79ef\u7b49\u4e8e\u4e0e\u5b83\u7b49\u5e95\u7b49\u9ad8\u7684\u5706\u67f1\u7684\u4f53\u79ef\u76841/3
\u3000\u3000\u6839\u636e\u5706\u67f1\u4f53\u79ef\u516c\u5f0fV=Sh\uff08V=rr\u03c0h\uff09\uff0c\u5f97\u51fa\u5706\u9525\u4f53\u79ef\u516c\u5f0f\uff1a
\u5706\u9525
V=1/3Sh
\u3000\u3000S\u662f\u5706\u9525\u7684\u5e95\u9762\u79ef\uff0ch\u662f\u5706\u9525\u7684\u9ad8\uff0cr\u662f\u5706\u9525\u7684\u5e95\u9762\u534a\u5f84\u3002
\u3000\u3000\u8bc1\u660e\uff1a
\u3000\u3000\u628a\u5706\u9525\u6cbf\u9ad8\u5206\u6210k\u5206 \u6bcf\u4efd\u9ad8 h/k,
\u3000\u3000\u7b2c n\u4efd\u534a\u5f84\uff1an*r/k
\u3000\u3000\u7b2c n\u4efd\u5e95\u9762\u79ef\uff1api*n^2*r^2/k^2
\u3000\u3000\u7b2c n\u4efd\u4f53\u79ef\uff1api*h*n^2*r^2/k^3
\u3000\u3000\u603b\u4f53\u79ef(1+2+3+4+5+...+n)\u4efd:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
\u3000\u3000\u56e0\u4e3a
\u3000\u30001^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
\u3000\u3000\u6240\u4ee5
\u3000\u3000\u603b\u4f53\u79ef(1+2+3+4+5+...+n)\u4efd:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
\u3000\u3000=pi*h*r^2* k*(k+1)*(2k+1)/6k^3
\u3000\u3000=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
\u3000\u3000\u56e0\u4e3a\u5f53n\u8d8a\u6765\u8d8a\u5927\uff0c\u603b\u4f53\u79ef\u8d8a\u63a5\u8fd1\u4e8e\u5706\u9525\u4f53\u79ef\uff0c1/k\u8d8a\u63a5\u8fd1\u4e8e0
\u3000\u3000\u6240\u4ee5pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3
\u3000\u3000\u56e0\u4e3aV\u5706\u67f1=pi*h*r^2
\u3000\u3000\u6240\u4ee5
\u3000\u3000V\u5706\u9525\u662f\u4e0e\u5b83\u7b49\u5e95\u7b49\u9ad8\u7684V\u5706\u67f1\u4f53\u79ef\u76841/3
\u5706\u9525\u7684\u4f53\u79ef
\u3000\u3000\u4e00\u4e2a\u5706\u9525\u6240\u5360\u7a7a\u95f4\u7684\u5927\u5c0f\uff0c\u53eb\u505a\u8fd9\u4e2a\u5706\u9525\u7684\u4f53\u79ef\uff0e
\u3000\u3000\u4e00\u4e2a\u5706\u9525\u7684\u4f53\u79ef\u7b49\u4e8e\u4e0e\u5b83\u7b49\u5e95\u7b49\u9ad8\u7684\u5706\u67f1\u7684\u4f53\u79ef\u76841/3
\u3000\u3000\u6839\u636e\u5706\u67f1\u4f53\u79ef\u516c\u5f0fV=Sh\uff08V=rr\u03c0h\uff09\uff0c\u5f97\u51fa\u5706\u9525\u4f53\u79ef\u516c\u5f0f\uff1a
\u5706\u9525
V=1/3Sh
\u3000\u3000S\u662f\u5706\u9525\u7684\u5e95\u9762\u79ef\uff0ch\u662f\u5706\u9525\u7684\u9ad8\uff0cr\u662f\u5706\u9525\u7684\u5e95\u9762\u534a\u5f84\u3002
\u3000\u3000\u8bc1\u660e\uff1a
\u3000\u3000\u628a\u5706\u9525\u6cbf\u9ad8\u5206\u6210k\u5206 \u6bcf\u4efd\u9ad8 h/k,
\u3000\u3000\u7b2c n\u4efd\u534a\u5f84\uff1an*r/k
\u3000\u3000\u7b2c n\u4efd\u5e95\u9762\u79ef\uff1api*n^2*r^2/k^2
\u3000\u3000\u7b2c n\u4efd\u4f53\u79ef\uff1api*h*n^2*r^2/k^3
\u3000\u3000\u603b\u4f53\u79ef(1+2+3+4+5+...+n)\u4efd:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
\u3000\u3000\u56e0\u4e3a
\u3000\u30001^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
\u3000\u3000\u6240\u4ee5
\u3000\u3000\u603b\u4f53\u79ef(1+2+3+4+5+...+n)\u4efd:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
\u3000\u3000=pi*h*r^2* k*(k+1)*(2k+1)/6k^3
\u3000\u3000=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
\u3000\u3000\u56e0\u4e3a\u5f53n\u8d8a\u6765\u8d8a\u5927\uff0c\u603b\u4f53\u79ef\u8d8a\u63a5\u8fd1\u4e8e\u5706\u9525\u4f53\u79ef\uff0c1/k\u8d8a\u63a5\u8fd1\u4e8e0
\u3000\u3000\u6240\u4ee5pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3
\u3000\u3000\u56e0\u4e3aV\u5706\u67f1=pi*h*r^2
\u3000\u3000\u6240\u4ee5
\u3000\u3000V\u5706\u9525\u662f\u4e0e\u5b83\u7b49\u5e95\u7b49\u9ad8\u7684V\u5706\u67f1\u4f53\u79ef\u76841/3
设圆锥高H,底面半径为R,底面积S=π*R^2
用平行于底面的平面把它切成n片,则每片的厚度为H/n
可把每片近似看做底半径为k/n*r的圆柱
其体积为(π*k/n*r)^2*h/n,对k=1到n求和得
S=πR^2H*(1/6/n^3)*n*(n+1)*(2n+1)
令n=无穷大,则S=1/3πR^2H
绛旓細鍦嗛敟鐨勪綋绉叕寮忔帹瀵艰繃绋嬩负锛鍦嗛敟鐨勪綋绉=鍦嗘煴浣撶Н梅3锛岃屽渾鏌辩殑浣撶Н=搴曢潰绉楅珮锛屾墍浠ュ渾閿ョ殑浣撶НV=搴曢潰绉楅珮梅3銆傝嫢鍦嗛敟鍨嬬殑瀹瑰櫒娉ㄦ弧姘达紝鍊掑叆鍦嗘煴鍨嬬殑瀹瑰櫒鍐咃紝闇瑕佷笁娆℃墠鑳藉皢鍦嗘煴鍨嬬殑瀹瑰櫒鍊掓弧锛岃鏄庡渾閿ョ殑浣撶Н鏄渾鏌变綋绉殑1/3锛屾墍浠ュ渾閿ョ殑浣撶НV=搴曢潰绉楅珮梅3銆傚渾褰㈣绉颁负鍦嗛敟鐨勫簳闈紝骞抽潰澶栫殑瀹氱偣...
绛旓細鍦嗛敟浣浣撶Н鍏紡涓 V = 蟺r²h锛屽叾涓 r 涓哄簳闈㈠崐寰勶紝h 涓洪珮銆鎺ㄥ杩囩▼濡備笅锛1. 璁炬兂鍦嗛敟浣撹鍒嗗壊鎴愯嫢骞茬浉鍚岀殑灏忓渾閿ヤ綋锛屽苟涓旇繖浜涘皬鍦嗛敟浣撶殑椤剁偣閮藉湪鍦嗛敟鐨勬瘝绾夸笂銆傚綋鍒嗗壊瓒冲澶氭椂锛岃繖浜涜繎浼煎渾褰㈢殑灏忓渾閿ヤ綋鍙犲姞璧锋潵杩戜技涓轰竴涓渾鏌变綋銆傝繖涓渾鏌变綋鐨勫簳闈㈠崐寰勪笌鍦嗛敟搴曢潰鍗婂緞鐩稿悓锛岄珮涔熺浉鍚屻2. ...
绛旓細涓涓渾閿ョ殑浣撶Н绛変簬涓庡畠绛夊簳绛夐珮鐨勫渾鏌辩殑浣撶Н鐨1/3锛屾牴鎹渾鏌变綋绉叕寮廣=Sh(V=rr蟺h)锛屽緱鍑哄渾閿ヤ綋绉叕寮忥細鍦嗛敟V=1/3Sh銆係鏄渾閿ョ殑搴曢潰绉紝h鏄渾閿ョ殑楂橈紝r鏄渾閿ョ殑搴曢潰鍗婂緞銆傝瘉鏄庯細鎶婂渾閿ユ部楂樺垎鎴恔鍒嗭紝姣忎唤楂榟/k銆傜n浠藉崐寰勶細n*r/k銆傜n浠藉簳闈㈢Н锛歱i*n^2*r^2/k^2銆傜n浠戒綋绉細pi*h...
绛旓細涓涓渾閿ョ殑浣撶Н绛変簬涓庡畠绛夊簳绛夐珮鐨勫渾鏌辩殑浣撶Н鐨1/3锛屾牴鎹渾鏌变綋绉叕寮廣=Sh(V=rr蟺h)锛屽緱鍑哄渾閿ヤ綋绉叕寮忥細鍦嗛敟V=1/3Sh S鏄渾閿ョ殑搴曢潰绉紝h鏄渾閿ョ殑楂橈紝r鏄渾閿ョ殑搴曢潰鍗婂緞銆傝瘉鏄庯細鎶婂渾閿ユ部楂樺垎鎴恔鍒嗭紝姣忎唤楂榟/k,绗琻浠藉崐寰勶細n*r/k 绗琻浠藉簳闈㈢Н锛歱i*n^2*r^2/k^2 绗琻浠戒綋绉細pi*h*n...
绛旓細dh=蟺r²/H²*1/3h³=1/3蟺r²/H²*h³鏄笉瀹氱Н鍒嗭紝瀹為檯涓婄殑浣撶Н鏄眰h鍦╗0锛孒]鍖洪棿涓婄殑瀹氱Н鍒嗭紝鎵浠=1/3蟺r²/H²*H³-1/3蟺r²/H²*0³=1/3蟺r²H-0=1/3蟺r²H鎵浠ワ紝鍦嗛敟浣撶Н=1/3涔樺簳闈㈢Н...
绛旓細鍦嗛敟浣撶Н鐨鎺ㄥ杩囩▼濡備笅锛1銆佸渾閿ヤ綋绉殑鎺ㄥ杩囩▼鏄氳繃涓涓掓按瀹為獙鏉ユ帹瀵肩殑銆2銆侀渶瑕佸噯澶囦袱涓瓑搴曠瓑楂樼殑鍦嗘煴鍜屽渾閿ュ鍣紝鍦ㄥ渾閿ュ鍣ㄩ噷鍊掓弧姘达紝鍐嶅線鍦嗘煴瀹瑰櫒閲屽掞紝灏变細鍙戠幇闇瑕佸3娆℃墠鑳藉皢杩欎釜鍦嗘煴瀹瑰櫒鍒氬ソ鍊掓弧銆3锛屽洜姝ゆ垜浠緱鍒扮粨璁猴紝绛夊簳绛夐珮鐨勫渾鏌卞拰鍦嗛敟锛屽渾鏌变綋绉槸鍦嗛敟浣撶Н鐨3鍊嶃鍦嗛敟浣撶Н鍏紡鐨...
绛旓細鍦嗛敟浣撶Н鐨鎺ㄥ杩囩▼鍙互杩芥函鍒板彜甯岃厞鏁板瀹堕樋鍩虹背寰枫備粬閫氳繃瀹為獙鍜屽嚑浣曟柟娉曡瘉鏄庝簡鍦嗛敟鐨浣撶Н鍏紡锛屽嵆V=1/3蟺r²h锛屽叾涓璻涓哄簳闈㈠崐寰勶紝h涓哄渾閿ョ殑楂樸傝繖涓叕寮忕殑鎺ㄥ杩囩▼濡備笅锛1銆侀樋鍩虹背寰烽鍏堝皢鍦嗛敟鐨勫簳闈㈠垎鍓叉垚璁稿灏忕殑涓夎褰紝鐒跺悗浠庡渾閿ョ殑椤剁偣鍑哄彂锛屽皢姣忎釜灏忎笁瑙掑舰閮芥枩鐫鍚戜笅鍫嗗彔锛屽舰鎴愪竴涓炬枩鐨...
绛旓細鍦嗛敟浣撶Н鍏紡锛歏 = 蟺r²h 鎺ㄥ杩囩▼濡備笅锛1. 鍦嗛敟鐨勫熀鏈俊鎭 鍦嗛敟鏄竴涓笁缁村嚑浣曚綋锛屾湁涓涓渾褰㈢殑搴曢潰鍜屼竴涓《鐐广傚簳闈㈠崐寰勪负r锛岄珮涓篽銆2. 鍦嗛敟浣撶Н鐨勭洿瑙傜悊瑙 鍦嗛敟浣撶Н琛ㄧず鐨勬槸瀹冩墍鍗犳嵁鐨勭┖闂村ぇ灏忋傛兂璞′竴涓嬫按婊℃孩鍏ュ渾閿ュ舰瀹瑰櫒涓紝姘撮噺鐨勫灏戝氨浠ｈ〃浜嗗渾閿ョ殑浣撶Н銆3. 鎺ㄥ杩囩▼ 涓轰簡姹傚緱...
绛旓細涓嬮潰鏄鍦嗛敟浣撶Н鍏紡鎺ㄥ杩囩▼锛1銆侀渶瑕佺煡閬撲竴涓熀鏈殑鏁板鐭ヨ瘑锛屽嵆绔嬫柟浣撶殑浣撶Н鍏紡锛歏=a脳a脳a=a^3锛屽叾涓璦鏄珛鏂逛綋鐨勮竟闀裤傝繖涓叕寮忔槸浣撶Н璁＄畻鐨勫熀纭锛屽皢鍏朵綔涓哄嚭鍙戠偣銆2銆佽浜嗚В鍦嗛敟鐨勫熀鏈畾涔夊拰灞炴с傚渾閿ユ槸涓绉嶅嚑浣曞浘褰紝鐢变竴涓簳闈㈠拰涓涓《鐐圭粍鎴愩傚渾閿ョ殑搴曢潰鏄竴涓渾锛屽叾鍗婂緞涓簉锛岃屽渾閿ョ殑楂榟...
绛旓細鍦嗛敟浣撶殑浣撶Н鐢卞渾鏌鎺ㄥ鑰屾潵銆傝 h涓哄渾鍙扮殑楂橈紝 r鍜孯涓烘１鍙扮殑涓婁笅搴曢潰鍗婂緞锛 V 涓哄渾鍙扮殑浣撶Н銆傜敱浜庡渾鍙版槸鐢变竴涓钩闈㈡埅鍘诲渾閿ョ殑涓閮ㄥ垎锛堜篃灏辨槸鍜屽師鏉ュ渾閿ョ浉浼肩殑涓涓皬鍦嗛敟锛夊緱鍒帮紝鎵浠ヨ绠椾綋绉殑鏃跺欙紝鍙互鍏堢畻鍑哄師鏉ュ渾閿ョ殑浣撶Н銆傚啀鍑忓幓鍜屽畠鐩镐技鐨勫皬鍦嗛敟鐨勪綋绉傚渾閿ヨ骞宠浜庡簳闈㈢殑骞抽潰鎵鎴椂锛屾埅闈...
