如何判断函数的间断点类型?
要判断函数的间断点类型,我们需要考虑函数在该点的极限存在与否以及极限的性质。常见的间断点类型有可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
可去间断点(Removable Discontinuity): 可去间断点是指函数在该点的极限存在,但函数在该点处的值与极限不相等。这种间断点可以通过修补或定义一个新的函数来消除。
跳跃间断点(Jump Discontinuity): 跳跃间断点是指函数在该点的左右极限存在,但两个极限不相等。在跳跃间断点处,函数的值会出现突变或跳跃。
无穷间断点(Infinite Discontinuity): 无穷间断点是指函数在该点的极限不存在或为无穷大。在无穷间断点处,函数在该点附近的值趋近于正无穷大或负无穷大。
举例:考虑函数f(x) = (x^2-9)/(x-3)。在x = 3时,函数的分子为0,分母不为0,因此函数在x = 3处存在一个间断点。通过因式分解,我们可以将f(x)改写为f(x) = (x+3),如果我们定义f(3) = 6,则可消除间断点。因此,x = 3是一个可去间断点。
举例:考虑函数g(x) = {0, x < 0; 1, x >= 0}。在x = 0时,函数在左右极限x→0-时等于0,x→0+时等于1,因此函数在x = 0处存在一个间断点。在x = 0时,函数的值发生了跳跃从0变为1,因此x = 0是一个跳跃间断点。
举例:考虑函数h(x) = 1/x。在x = 0时,函数的分母为0,因此极限不存在。当x→0-时,h(x)趋近于负无穷大;当x→0+时,h(x)趋近于正无穷大。因此,x = 0是一个无穷间断点。
综上所述,要判断函数的间断点类型,我们需要分析函数在该点的极限存在与否以及极限的性质。通过观察函数在间断点处的行为,可以确定其间断点类型为可去间断点、跳跃间断点或无穷间断点。
从定义出发
首先,考察间断点的概念:
据此,我们可以对间断点进行分类
第一类间断点
第一类间断点也叫有限型间断点,其特点是左右极限均存在.
可去间断点
可去间断点,据名可知,函数在该处定义极限为函数值,即可将该间断点去除。即:左极限,右极限存在且相等,但不等于该点的函数值或在该点无定义。数学语言表示为
跳跃间断点
跳跃间断点,顾名思义,即函数在该间断点两侧像是从一个点跳跃到另一个点。其判断方法为:左极限和右极限均存在,但不相等
第二类间断点
第二类间断点左右极限至少有一个不存在。注:除了第一类间断点其余均为第二类间断点。
无穷间断点
在该点可以无定义,且左右极限至少有一个不存在,且改函数在该点极限为∞
震荡间断点
在该点可以无定义,当自变量趋于该点时,函数值再两个常数之间变动无限多次。此时左右极限均不存在。
另外,值得说明的是,第一类间断点也叫非无穷间断点,平时做题中,除了第一类间断点,其余书写时均判定位第二类间断点。同时,根据间断点的类型,我们可对判断间断点的题型作处如下总结:
step1:找出函数无定义的点。
step2:求出该点的左、右极限。观察极限是否存在,左右极限是否等。
step3:根据定义判断间断点种类。
判断间断点类型的做题步骤如下:
先找出函数无定义的点,通常为分母为零的点,或者某个开区间端点。对于这些点,需要判断其左右极限是否存在,以及是否相等。
如果左右极限相等,且该点左右极限不是无穷大,则该点是可去间断点。如果左右极限存在,但是不相等,则该点是跳跃间断点。如果左右极限为无穷大,则该点是无穷间断点。
间断点是指:在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象,那么,xo就称为函数的不连续点。间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点,在非无穷间断点中,还分可去间断点和跳跃间断点。左右极限存在且相等是可去间断点,左右极限存在且不相等才是跳跃间断点。
类型
1、可去间断点:函数在该点左极限、右极限存在且相等,但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=(x^2-1)/(x-1)在点x=1处。
2、跳跃间断点:函数在该点左极限、右极限存在,但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。
3、无穷间断点:函数在该点可以无定义,且左极限、右极限至少有一个不存在,且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。
4、振荡间断点:函数在该点可以无定义,当自变量趋于该点时,函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。
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