求反正弦函数y=arcsinx的导数。
已知：y=arcsinx则：siny=x，
两边对x求导：(cosy)y'=1
则：y'=1/(cosy)
又：cosy=√(1-x^2)
所以：y'=1/√(1-x^2)
利用反正弦函数arcsinx的泰勒公式
arcsinx=x+1/2*x^3/3+1/2*3/4*x^5/5+1/2*3/4*5/6*x^7/7+...
(-1＜x＜1)
绛旓細t锛漚rcsinx琛ㄧずt锛漵inx鐨鍙嶅嚱鏁锛宼鍜寈浜ゆ崲浣嶇疆锛屽緱x锛漵int銆鍙嶆寮﹀嚱鏁锛堝弽涓夎鍑芥暟涔嬩竴锛変负姝ｅ鸡鍑芥暟y=sinx锛坸鈭圼-½蟺,½蟺]锛夌殑鍙嶅嚱鏁帮紝璁颁綔y=arcsinx鎴杝iny=x锛坸鈭圼-1,1]锛夈傜敱鍘熷嚱鏁扮殑鍥惧儚鍜屽畠鐨勫弽鍑芥暟鐨勫浘鍍忓叧浜庝竴涓夎薄闄愯骞冲垎绾垮绉板彲鐭ユ寮﹀嚱鏁扮殑鍥惧儚鍜屽弽姝ｅ鸡鍑芥暟鐨勫浘鍍忎篃...
绛旓細鍙嶆寮﹀嚱鏁鐨勫畾涔夛細濡傛灉siny=x锛屽苟涓攜鍦╗-pi/2,pi/2]鍐咃紝鍒y=arcsinx銆傚洜姝in(pi/6)=1/2,鎵浠rcsin(1/2)=pi/6.鍥犱负sin(-pi/2)=-1/2,鎵浠rcsin(-1/2)=-pi/2.濡傛灉鑳藉璁板緱甯哥敤瑙掔殑涓夎鍑芥暟鍊硷紝灏辫兘澶熻繀閫熷緱鍒版纭粨鏋溿俛rcsin1/2鍜岋紙-1/2锛塧rcsinx涓哄弽姝ｅ鸡锛屽畾涔夊煙鍦╗-1锛1...
绛旓細鍙嶆寮﹀嚱鏁癮rcsinx鐨勫弽鍑芥暟鏄寮﹀嚱鏁皊in(x)銆傝繖鏄洜涓哄湪鍙嶄笁瑙掑嚱鏁颁腑锛宎rcsinx琛ㄧず鐨勬槸浣垮緱sin(x)=y鎴愮珛鐨勪竴涓搴锛岃屾寮﹀嚱鏁皊in(x)鍒欐槸琛ㄧず缁欏畾瑙掑害x鐨勬寮﹀紋銆傚洜姝わ紝褰揳rcsinx姹傝В鍑鸿搴鍚庯紝灏嗚繖涓搴︿唬鍏in(x)鍗冲彲寰楀埌鍘熸潵鐨剏鍊笺傛墍浠ワ紝arcsinx鐨勫弽鍑芥暟灏辨槸sin(x)銆
绛旓細y=arcsinx鍙嶆寮﹀嚱鏁锛屽浘鍍忚缁嗚涓嬪浘锛姝ｅ鸡鍑芥暟y=sin x鍦╗-蟺/2锛屜/2]涓婄殑鍙嶅嚱鏁锛屽彨鍋氬弽姝ｅ鸡鍑芥暟銆傝浣渁rcsinx锛岃〃绀轰竴涓寮﹀间负x鐨勮锛岃瑙掔殑鑼冨洿鍦╗-蟺/2锛屜/2]鍖洪棿鍐呫傚畾涔夊煙[-1锛1] 锛屽煎煙[-蟺/2锛屜/2]銆傦紙1锛 arcsinx鏄 锛堜富鍊煎尯锛変笂鐨勪竴涓锛堝姬搴︽暟锛 銆傦紙2锛 杩...
绛旓細宸茬煡锛y=arcsinx 鍒欙細siny=x锛屼袱杈瑰x姹傚锛(cosy)y'=1 鍒欙細y'=1/(cosy)鍙堬細cosy=鈭(1-x^2)鎵浠ワ細y'=1/鈭(1-x^2)
绛旓細涓夎鍑芥暟鐨鍙嶅嚱鏁锛屾槸澶氬煎嚱鏁般傚畠浠槸鍙嶆寮Arcsin x锛屽弽浣欏鸡Arccos x锛屽弽姝ｅ垏Arctan x锛屽弽浣欏垏Arccot x锛屽弽姝ｅ壊Arcsec x=1/cosx锛屽弽浣欏壊Arccsc x=1/sinx绛夛紝鍚勮嚜琛ㄧず鍏舵寮︺佷綑寮︺佹鍒囥佷綑鍒囥佹鍓层佷綑鍓蹭负x鐨勮銆備负闄愬埗鍙嶄笁瑙掑嚱鏁颁负鍗曞煎嚱鏁帮紝灏鍙嶆寮﹀嚱鏁鐨勫紋闄愬湪y=-蟺/2鈮鈮は/2锛...
绛旓細宸茬煡锛y=arcsinx 鍒欙細siny=x锛屼袱杈瑰x姹傚锛(cosy)y'=1 鍒欙細y'=1/(cosy)鍙堬細cosy=鈭(1-x^2)鎵浠ワ細y'=1/鈭(1-x^2)
绛旓細鍙嶅嚱鏁涓簓=1/3log2锛坸-1锛夛紙x锛1锛夈傚弽涓夎鍑芥暟鏄竴绉嶅熀鏈垵绛夊嚱鏁般傚畠鏄鍙嶆寮銆佸弽浣欏鸡銆佸弽姝ｅ垏銆佸弽浣欏垏銆佸弽姝ｅ壊銆佸弽浣欏壊杩欎簺鍑芥暟鐨勭粺绉帮紝鍚勮嚜琛ㄧず鍏舵寮︺佷綑寮︺佹鍒囥佷綑鍒 锛屾鍓诧紝浣欏壊涓簒鐨勮銆傚弽鍑芥暟x=f-1(y)鐨勫畾涔夊煙銆佸煎煙鍒嗗埆鏄鍑芥暟y=f(x)鐨勫煎煙銆佸畾涔夊煙銆傛渶鍏锋湁浠ｈ〃鎬х殑鍙嶅嚱鏁板氨...
绛旓細鍑芥暟y=sinx鐨鍙嶅嚱鏁鍙仛鍙嶆寮﹀嚱鏁锛岃浣渪=arcsiny.涔犳儻涓婄敤x琛ㄧず鑷彉閲忥紝鐢▂琛ㄧず鍑芥暟锛屾墍浠ュ弽姝ｅ鸡鍑芥暟鍐欐垚y=arcsinx.瀹氫箟鍩熸槸銆-1锛1銆戯紝鍊煎煙鏄痽鈭堛愶紞鈭/2锛屸垙/2銆;arcsinx鐨勫惈涔夛細锛1锛 杩欓噷鐨剎婊¤冻 锛涳紙2锛 arcsinx鏄 锛堜富鍊煎尯锛変笂鐨勪竴涓锛堝姬搴︽暟锛夛紱鍒嗗緱鍐嶇粏涓鐐癸紝鍗冲綋 鏃讹紝 锛...
绛旓細y=arcsinx鍙嶆寮﹀嚱鏁锛屽浘鍍忚缁嗚涓嬪浘锛姝ｅ鸡鍑芥暟y=sin x鍦╗-蟺/2锛屜/2]涓婄殑鍙嶅嚱鏁锛屽彨鍋氬弽姝ｅ鸡鍑芥暟銆傝浣渁rcsinx锛岃〃绀轰竴涓寮﹀间负x鐨勮锛岃瑙掔殑鑼冨洿鍦╗-蟺/2锛屜/2]鍖洪棿鍐呫傚畾涔夊煙[-1锛1] 锛屽煎煙[-蟺/2锛屜/2]銆傦紙1锛 arcsinx鏄 锛堜富鍊煎尯锛変笂鐨勪竴涓锛堝姬搴︽暟锛 銆傦紙2锛 ...
