复数矩阵为什么要取共轭转置而不直接取转置？或者说两者的应用范围有什么不同？ 复数矩阵的转置就是共轭转置的概念?
\u4e24\u4e2a\u590d\u5411\u91cf\u7684\u5185\u79ef\uff0c\u4e3a\u4ec0\u4e48\u8981\u7528\u5171\u8f6d\u8f6c\u7f6e\u800c\u4e0d\u7528\u8f6c\u7f6e\u5462\uff1f\u6bd4\u5982A.B=A^H .B \u800c\u4e0d\u662fA^T .B,\u8bf7\u6307\u5bfc\u5bf9\u4e8e\u590d\u77e9\u9635\u800c\u8a00\u5171\u8f6d\u8f6c\u7f6e\u786e\u5b9e\u6bd4\u5355\u7eaf\u7684\u8f6c\u7f6e\u66f4\u4e3a\u5e38\u7528, \u5176\u539f\u56e0\u4e3b\u8981\u6765\u81ea\u4e8e\u5bf9\u5185\u79ef\u7684\u9700\u6c42%D%A%D%A\u5148\u770bC^n\u7a7a\u95f4, x^Ty\u662f\u4e00\u4e2a\u53cc\u7ebf\u6027\u5f62\u5f0f, \u4e0d\u6784\u6210\u5185\u79ef, \u800cx^Hy\u624d\u6784\u6210\u5185\u79ef. \u8fdb\u4e00\u6b65, \u770b\u7ebf\u6027\u7b97\u5b50\u7684\u4f34\u968f, <y,Ax>=<A^*y,x>, \u5bb9\u6613\u9a8c\u8bc1\u4f34\u968f\u7b97\u5b50\u7684\u77e9\u9635\u8868\u793a\u6070\u597d\u662f\u4e00\u4e2a\u8f6c\u7f6e\u5171\u8f6d. \u8fd9\u4e9b\u90fd\u662f\u7531\u5185\u79ef\u7a7a\u95f4\u7684\u516c\u7406\u81ea\u7136\u51b3\u5b9a\u7684. \u6240\u4ee5\u4e0e\u51e0\u4f55\u76f8\u5173\u7684\u6982\u5ff5\u7ecf\u5e38\u4f1a\u91c7\u7528\u5171\u8f6d\u8f6c\u7f6e(\u6bd4\u5982\u9149\u9635, Hermite\u9635, Hermite\u578b, QR\u5206\u89e3, \u5947\u5f02\u503c\u5206\u89e3, \u6781\u5206\u89e3, ...)%D%A%D%A\u5728\u8ba8\u8bba\u7eaf\u7cb9\u7684\u7ebf\u6027\u7684\u4ee3\u6570\u6027\u8d28\u800c\u4e0d\u662f\u51e0\u4f55\u6027\u8d28\u7684\u65f6\u5019\u5355\u7eaf\u7684\u8f6c\u7f6e\u5c31\u6709\u7528\u4e86, \u6bd4\u5982\u8bf4\u7814\u7a76\u6620\u5c04X->AXB\u7684\u65f6\u5019, \u53ef\u4ee5\u628aX\u62c9\u6210\u5411\u91cf, \u7136\u540e\u8fd9\u4e2a\u7ebf\u6027\u6620\u5c04\u5c31\u53ef\u4ee5\u8868\u793a\u6210vec(X) -> vec(AXB) = T vec(X), \u8868\u793a\u77e9\u9635T\u53ef\u4ee5\u5199\u6210 T = B^T o A, \u8fd9\u91cc o \u8868\u793a\u77e9\u9635\u7684Kronecker\u4e58\u79ef. \u8fd9\u79cd\u60c5\u51b5\u4e0b\u53d6\u5171\u8f6d\u8f6c\u7f6e\u5c31\u4e0d\u6210\u7acb\u4e86, \u56e0\u4e3a\u7834\u574f\u4e86\u7ebf\u6027\u6027\u8d28.
\u5728matlab \u4e2d\uff0c\u590d\u77e9\u9635\u7684\u8f6c\u7f6e\u8fd0\u7b97\u6709\u4e24\u79cd\u3002
1\u3001\u5355\u7eaf\u8f6c\u7f6e\uff0c\u5c31\u662f\u4f60\u8bf4\u7684\u5171\u8f6d\u8f6c\u7f6e\u3002
2\u3001\u70b9\u8f6c\u7f6e\uff0c\u5c31\u662f\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\u4e2d\u7684\u666e\u901a\u8f6c\u7f6e\u3002
先看C^n空间, x^Ty是一个双线性形式, 不构成内积, 而x^Hy才构成内积. 进一步, 看线性算子的伴随, =, 容易验证伴随算子的矩阵表示恰好是一个转置共轭. 这些都是由内积空间的公理自然决定的. 所以与几何相关的概念经常会采用共轭转置(比如酉阵, Hermite阵, Hermite型, QR分解, 奇异值分解, 极分解, ...)
在讨论纯粹的线性的代数性质而不是几何性质的时候单纯的转置就有用了, 比如说研究映射X->AXB的时候, 可以把X拉成向量, 然后这个线性映射就可以表示成vec(X) -> vec(AXB) = T vec(X), 表示矩阵T可以写成 T = B^T o A, 这里 o 表示矩阵的Kronecker乘积. 这种情况下取共轭转置就不成立了, 因为破坏了线性性质.
矩阵有实数矩阵和复数矩阵。转置矩阵仅仅是将矩阵的行与列对换，而共轭转置矩阵在将行与列对换后还要讲每个元素共轭一下。共轭你应该知道，就是将形如a+bi的数变成a-bi，实数的共轭是它本身。所以，实数矩阵的共轭转置矩阵就是转置矩阵，复数矩阵的共轭转置矩阵就是上面所说的行列互换后每个元素取共轭。
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