高数求解。。书上说函数可导则必然连续，如果函数在某点没有定义那怎么能连续哇？？ 高数函数可导充分必要条件
\u9ad8\u6570\u4e2d\u51fd\u6570\u8fde\u7eed\u6027\u4e0e\u53ef\u5bfc\u6027\u95f4\u7684\u5173\u7cfb1\u3001\u9996\u5148 \u7167\u4e66\u4e0a\u8bf4 \u51fd\u6570\u5728\u8be5\u70b9\u53ef\u5bfc\u5219\u5728\u8be5\u70b9\u8fde\u7eed \u5728\u8be5\u70b9\u8fde\u7eed\u5374\u4e0d\u4e00\u5b9a\u53ef\u5bfc \u4f8b\u5982Y=|X| \u5728X=0\u5904\uff0c\u800c\u5173\u4e8e\u9700\u4e0d\u9700\u8981\u5728\u8be5\u70b9\u6709\u5b9a\u4e49\u3002\u8fde\u7eed \u6761\u4ef6\u662f\u5de6\u6781\u9650\u7b49\u4e8e\u53f3\u6781\u9650\uff0c\u5373\u8be5\u70b9\u6781\u9650\u5b58\u5728\uff0c\u5e76\u4e14\u5728\u8be5\u70b9\u6709\u5b9a\u4e49\uff0c\u503c\u7b49\u4e8e\u6781\u9650\u503c\u3002\u53ef\u5bfc \u53ea\u8981\u5de6\u5bfc\u6570\u7b49\u4e8e\u53f3\u5bfc\u6570\u5373\u53ef\uff0c\u800c\u4e0e\u8be5\u70b9Y\u503c\u65e0\u5173\uff0c\u800c\u4ece\u5012\u6570\u7684\u5b9a\u4e49\u53ef\u77e5\u8be5\u70b9\u7684Y\u503c\u5fc5\u5b58\u5728\u5373\u6709\u5b9a\u4e49\u3002\u603b\u7ed3\uff0c\u5bfc\u6570\u9700\u8981\u5de6\u5bfc\u7b49\u4e8e\u53f3\u5bfc\u4e14\u5728\u8be5\u70b9\u6709\u5b9a\u4e49\uff1b\u8fde\u7eed\u9700\u8981\u5728\u8be5\u70b9\u6781\u9650\u5b58\u5728\u4e14\u7b49\u4e8e\u8be5\u70b9y\u503c\uff08== \u7528\u5f0f\u5b50\u8868\u793a\u592a\u8017\u65f6\u95f4~~\u4e0d\u597d\u610f\u601d\uff09
2\u3001\u9996\u5148 \u4f60\u53ef\u4ee5\u6784\u9020\u7684\u51fd\u6570\u5fc5\u5b9a\u662f\u6709\u4e09\u6bb5\uff0c\u7b97\u4e86\uff0c\u5c31\u7528\u9ad8\u6570\u516d\u724864\u9762\u7684\u4f8b5\u5427~\u4f60\u81ea\u5df1\u627e\u4e0b\u3002X=0\u5904\u662f\u8df3\u8dc3\u95f4\u65ad\uff0c\u5e76\u4e14\u5bf9\u6574\u4e2a\u51fd\u6570\u800c\u8a00\u8be5\u70b9\u6709\u5b9a\u4e49\u4e14\u4e3a0\uff0c\u4f46\u662f\u5bf9\u4e8eX0\u8fd9\u4e24\u6bb5\u6765\u8bf4\uff0c0\u5904\u65e0\u5b9a\u4e49\uff0c\u6839\u636e\u5bfc\u6570\u7684\u5b9a\u4e49\u5f0f\u5b50\uff08\u4f60\u61c2\u5f97\uff09\u6765\u8bf4\uff0cf(0)\u5fc5\u987b\u6709\u5b9a\u4e49\uff0c\u800c\u8fd9\u4e24\u6bb5\uff0c0\u5df2\u88ab\u62a0\u53bb\u5373\u6ca1\u5b9a\u4e49\uff0c\u6240\u4ee5\u57280\u70b9\u7684\u5bfc\u6570\u5df2\u4e0d\u5b58\u5728\uff0c\u800c\u90a3\u4e2a\u4f60\u6000\u7591\u7684\u89c4\u5f8b\u5728\u8fd9\u91cc\u5df2\u4e0d\u9002\u7528\u3002
3\u3001\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u95ee\u9898\u540c\u4e0a\u3002
\u603b\u7ed3\uff0c\u4e00\u822c\u5b58\u5728\u95f4\u65ad\u70b9\u7684\u5730\u65b9\u90fd\u4f1a\u7279\u610f\u62a0\u53bb\u4e00\u70b9\uff0c\u72ec\u505a\u4e00\u6bb5\uff0c\u800c\u53e6\u5916\u4e24\u6bb5\u5219\u5728\u8be5\u70b9\u65e0\u5b9a\u4e49\u3002
\u8fd9\u662f\u6211\u81ea\u5df1\u7684\u5b66\u4e60\u7ecf\u9a8c\uff0c\u53ef\u80fd\u4f1a\u7406\u89e3\u9519\uff0c\u4f60\u53ef\u4ee5\u53c2\u8003\u81ea\u5df1\u7684\u60f3\u6cd5\uff0c\u4e00\u8d77\u60f3\u60f3~~\u4f60\u662f\u8003\u7814\u5427~\u6211\u4e5f\u662f\uff01\u90a3\u4e00\u8d77\u52a0\u6cb9\u5427~~~O(\u2229_\u2229)O
\u4ee5\u4e0b3\u8005\u6210\u7acb\uff1a
\u2460\u5de6\u53f3\u5bfc\u6570\u5b58\u5728\u4e14\u76f8\u7b49\u662f\u53ef\u5bfc\u7684\u5145\u5206\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6\u3002
\u2461\u53ef\u5bfc\u5fc5\u5b9a\u8fde\u7eed\u3002
\u2462\u8fde\u7eed\u4e0d\u4e00\u5b9a\u53ef\u5bfc\u3002
\u6240\u4ee5\uff0c\u5de6\u53f3\u5bfc\u6570\u5b58\u5728\u4e14\u76f8\u7b49\u5c31\u80fd\u4fdd\u8bc1\u8be5\u70b9\u662f\u8fde\u7eed\u7684\u3002\u4ec5\u6709\u5de6\u53f3\u5bfc\u6570\u5b58\u5728\u4e14\u8be5\u70b9\u8fde\u7eed\u4e0d\u80fd\u4fdd\u8bc1\u53ef\u5bfc\uff1a\u4f8b\u5982y=|x|\u5728x=0\u70b9\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u76f8\u5bf9\u4e8e\u521d\u7b49\u6570\u5b66\u800c\u8a00\uff0c\u6570\u5b66\u7684\u5bf9\u8c61\u53ca\u65b9\u6cd5\u8f83\u4e3a\u7e41\u6742\u7684\u4e00\u90e8\u5206\u3002
\u5e7f\u4e49\u5730\u8bf4\uff0c\u521d\u7b49\u6570\u5b66\u4e4b\u5916\u7684\u6570\u5b66\u90fd\u662f\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\uff0c\u4e5f\u6709\u5c06\u4e2d\u5b66\u8f83\u6df1\u5165\u7684\u4ee3\u6570\u3001\u51e0\u4f55\u4ee5\u53ca\u7b80\u5355\u7684\u96c6\u5408\u8bba\u521d\u6b65\u3001\u903b\u8f91\u521d\u6b65\u79f0\u4e3a\u4e2d\u7b49\u6570\u5b66\u7684\uff0c\u5c06\u5176\u4f5c\u4e3a\u4e2d\u5c0f\u5b66\u9636\u6bb5\u7684\u521d\u7b49\u6570\u5b66\u4e0e\u5927\u5b66\u9636\u6bb5\u7684\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u7684\u8fc7\u6e21\u3002
\u901a\u5e38\u8ba4\u4e3a\uff0c\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u662f\u7531\u5fae\u79ef\u5206\u5b66\uff0c\u8f83\u6df1\u5165\u7684\u4ee3\u6570\u5b66\u3001\u51e0\u4f55\u5b66\u4ee5\u53ca\u5b83\u4eec\u4e4b\u95f4\u7684\u4ea4\u53c9\u5185\u5bb9\u6240\u5f62\u6210\u7684\u4e00\u95e8\u57fa\u7840\u5b66\u79d1\u3002
\u4e3b\u8981\u5185\u5bb9\u5305\u62ec\uff1a\u6781\u9650\u3001\u5fae\u79ef\u5206\u3001\u7a7a\u95f4\u89e3\u6790\u51e0\u4f55\u4e0e\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\u3001\u7ea7\u6570\u3001\u5e38\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u3002
\u5982\u679cf\u662f\u5728x0\u5904\u53ef\u5bfc\u7684\u51fd\u6570\uff0c\u5219f\u4e00\u5b9a\u5728x0\u5904\u8fde\u7eed\uff0c\u7279\u522b\u5730\uff0c\u4efb\u4f55\u53ef\u5bfc\u51fd\u6570\u4e00\u5b9a\u5728\u5176\u5b9a\u4e49\u57df\u5185\u6bcf\u4e00\u70b9\u90fd\u8fde\u7eed\u3002\u53cd\u8fc7\u6765\u5e76\u4e0d\u4e00\u5b9a\u3002\u4e8b\u5b9e\u4e0a\uff0c\u5b58\u5728\u4e00\u4e2a\u5728\u5176\u5b9a\u4e49\u57df\u4e0a\u5904\u5904\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\uff0c\u4f46\u5904\u5904\u4e0d\u53ef\u5bfc\u3002
\u79f0 \u662f \u8fde\u7eed\u7684\uff0c\u5982\u679c\u5176\u5bfc\u51fd\u6570\u5b58\u5728\u4e14\u662f\u8fde\u7eed\u7684\u3002\u79f0 \u662f \u8fde\u7eed\u7684\uff0c\u5982\u679c\u5176\u5bfc\u6570\u662f \u7684\u3002\u4e00\u822c\u5730\uff0c\u79f0 \u662f \u8fde\u7eed\u7684\uff0c\u5982\u679c\u51761\u9636\uff0c\u76f4\u5230k\u9636\u5bfc\u6570\u5b58\u5728\u4e14\u662f\u8fde\u7eed\u7684\u3002\u82e5 \u4efb\u610f\u9636\u5bfc\u6570\u5b58\u5728\uff0c\u5219\u79f0 \u662f\u5149\u6ed1\u7684\uff0c\u6216 \u7684\u3002
\u5168\u4f53 \u51fd\u6570\u7c7b\u6784\u6210Banach\u7a7a\u95f4\u3002
\u5728\u590d\u5206\u6790\u4e2d\uff0c\u79f0\u51fd\u6570\u662f\u53ef\u5bfc\u7684\uff0c\u5982\u679c\u51fd\u6570\u5728\u5b9a\u4e49\u57df\u4e2d\u6bcf\u4e00\u70b9\u5904\u662f\u5168\u7eaf\u7684\u3002\u590d\u51fd\u6570\u53ef\u5bfc\u7b49\u4ef7\u4e8eCauchy\u2013Riemann\u65b9\u7a0b [2] \u3002\u5373\uff0c\u82e5 \u53ef\u5bfc\u5f53\u4ec5\u5f53 \u6ee1\u8db3\u4e0b\u5217\u65b9\u7a0b\uff1a\u6216\u7b49\u4ef7\u5730\u5199\u6210
\u5145\u5206\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6\u4e5f\u5373\u5145\u8981\u6761\u4ef6\uff0c\u610f\u601d\u662f\u8bf4\uff0c\u5982\u679c\u80fd\u4ece\u547d\u9898p\u63a8\u51fa\u547d\u9898q\uff0c\u800c\u4e14\u4e5f\u80fd\u4ece\u547d\u9898q\u63a8\u51fa\u547d\u9898p \uff0c\u5219\u79f0p\u662fq\u7684\u5145\u5206\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6\uff0c\u4e14q\u4e5f\u662fp\u7684\u5145\u5206\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6\u3002
\u5982\u679c\u6709\u4e8b\u7269\u60c5\u51b5A\uff0c\u5219\u5fc5\u7136\u6709\u4e8b\u7269\u60c5\u51b5B\uff1b\u5982\u679c\u6709\u4e8b\u7269\u60c5\u51b5B\uff0c\u5219\u5fc5\u7136\u6709\u4e8b\u7269\u60c5\u51b5A\uff0c\u90a3\u4e48B\u5c31\u662fA\u7684\u5145\u5206\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6 ( \u7b80\u79f0\uff1a\u5145\u8981\u6761\u4ef6 )\uff0c\u53cd\u4e4b\u4ea6\u7136 \u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u53ef\u5bfc\u51fd\u6570 \u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u5145\u5206\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6
连续是可导的必要条件，不连续一定不可导。
你说的对函数在某点没有定义就一定不会连续。 连续性的概念有 1 函数fx在x0出有定义。
2 当x趋向于x0时极限存在。 3 极限等于f（x0）你的理解是正确的 有空心点的话在那个区域张就不连续了。
另外很多高中的知识是不严谨的，这个可以不必过于在意。
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