等比数列是什么？如何求和 等比数列如何求和？
\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u6c42\u548c\u516c\u5f0f\u662f\u4ec0\u4e48\uff1f\u6c42\u548c\u516c\u5f0f
\u6c42\u548c\u516c\u5f0f\u63a8\u5bfc\uff1a
\uff081\uff09Sn=a1+a2+a3+...+an(\u516c\u6bd4\u4e3aq)
\uff082\uff09qSn=a1q + a2q + a3q +...+ anq = a2+ a3+ a4+...+ an+ a(n+1)
\uff083\uff09Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)
\uff084\uff09a(n+1)=a1qn
\uff085\uff09Sn=a1(1-qn)/(1-q)\uff08q\u22601)
\u6269\u5c55\u8d44\u6599
\u76f8\u5173\u5e94\u7528\uff1a
\u8fdc\u671b\u5dcd\u5dcd\u5854\u4e03\u5c42\uff0c\u7ea2\u5149\u70b9\u70b9\u500d\u52a0\u589e\uff0c\u5171\u706f\u4e09\u767e\u516b\u5341\u4e00\uff0c\u8bf7\u95ee\u5c16\u5934\u51e0\u76cf\u706f\uff1f\u201d\u610f\u601d\u662f\uff1a\u4e00\u5ea77\u5c42\u5854\u5171\u6302\u4e86381\u76cf\u706f\uff0c\u4e14\u76f8\u90bb\u4e24\u5c42\u4e2d\uff0c\u4e0b\u4e00\u5c42\u706f\u6570\u662f\u4e0a\u4e00\u5c42\u706f\u6570\u76842\u500d\uff0c\u5219\u5854\u7684\u9876\u5c42\u5171\u6709\u51e0\u76cf\u706f\u3002
\u6bcf\u5c42\u5854\u6240\u6302\u7684\u706f\u7684\u6570\u91cf\u5f62\u6210\u4e00\u4e2a\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\uff0c\u516c\u6bd4q=2\uff0c\u6211\u4eec\u8bbe\u5854\u7684\u9876\u5c42\u6709a1\u76cf\u706f\u30027\u5c42\u5854\u4e00\u5171\u6302\u4e86381\u76cf\u706f\uff0cS7=381\uff0c\u6309\u7167\u7b49\u6bd4\u6c42\u548c\u516c\u5f0f\uff0c \u90a3\u4e48\u6709a1\u4e58\u4ee51-2\u76847\u6b21\u65b9\uff0c\u9664\u4ee51-2\uff0c\u7b49\u4e8e381.\u80fd\u89e3\u51faa1\u7b49\u4e8e3. \u5c16\u5934\u5fc5\u67093\u76cf\u706f\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\u6c42\u548c\u516c\u5f0f
\u5c31\u662f\u4e0b\u4e00\u4e2a\u6570\u662f\u524d\u4e00\u4e2a\u6570\u7684\u56fa\u5b9a\u500d\u6570\uff0c\u6bd4\u5982\u8bf42\uff0c4\uff0c8\uff0c16\u00b7\u00b7\u00b7\u79f0\u8fd9\u4e2a\u500d\u6570\u4e3a\u516c\u6bd4\uff0c\u6c42\u548c\u7684\u8bdd\u7528\u9996\u9879\u4e58\u4ee51\u51cf\u53bb\u516c\u6bd4\u7684n\u6b21\u65b9\uff08n\u4e3a\u9879\u6570\uff09\u7684\u5dee\uff0c\u518d\u7528\u79ef\u9664\u4ee51\u51cf\u53bb\u516c\u6bd4\u7684\u5dee\u8868\u8fbe\u5f0fa1(1-q^n)/(1-q)
1、等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列。
举例：
数列：2、4、8、16、······
每一项与前一项的比值：4÷2=8÷4=16÷8=2，所以这个数列是等比数列，而它的公比就是2。
2、等比数列的求和公示如下：
其中a1为首项，q为等比数列公比，Sn为等比数列前n项和。
还是以数列：2、4、8、16、······为例，a1=2，公比q=2，
假如是求前四项的和，即：Sn=2×（1-2^4）÷（1-2）=30，与2+4+8+16=30 相符。
扩展资料
等比数列在生活中也是常常运用的。
如：银行有一种支付利息的方式---复利。
即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。
按照复利计算本利和的公式：本利和=本金×(1+利率)^存期
等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列。通俗的说，如果一个数列，第一项为a1，第二项为a1*q，第三项为a1*q*q....以此类推，第N+1项为，a1*q^n，那么这个数列为等比数列（a1、q均不为0）。
例如：2，4，8，16就是等比数列。
等比数列的和为：
还是以刚刚的例子，那么这个数列的和为：2*（1-2^4）/1-2=30
拓展资料：
（1）若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq。
（2）在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。
（3）若“G是a、b的等比中项”则“G^2=ab（G≠0）”。
（4）若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…{can}，c是常数，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
（5）若（an）为等比数列且各项为正，公比为q，则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数。
（6）等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。
注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
（7）由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)*q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列 。
用例题来理解等比数列。
先看看等比数列定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于一个常数（不为0），那么，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比。
来看下面这道题：
【例1】求1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024的和。
通过观察，会发现这个数列的后一项比上前一项都是2。
2÷1=2；
4÷2=2；
8÷4=2；
……
1024÷512=2。
所以这个题目就是典型的等比数列求和题，
公比是2。
例1中，如果拿笔硬算会十分麻烦，而且容易出错。
在这里G老师分享一个计算等比数列求和题目时经常用到的一个方法。
☞ 错位相减法
令A=1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024，
G老师让A这个式子再乘以数列的公比，
会得到什么呢？
2A=2+4+8+16+32+128+256+512+1024+2048，
这样我们构造出了一个新数列，
而且这个数列的和等于原数列乘以公比。
再将两个式子相减，
G老师纯手写
左边是2A-A=A；
右边是2048-1；
等式右边其余的项都已经抵消了。
这样我们就得出结果了，
1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024=2047
再来看看下面这道题
【例2】计算3+9+27+81+243+729+2187
分析：这题是等比数列求和，公比是3，共有7项。采用错位相减法，让等式乘以它的公比。
令A=3+9+27+81+243+729+2187；
则 3A=9+27+81+243+729+2187+6561；
两式相减，
3A-A=2A=6561-3
2A=6558
A=6558÷2=3279
所以，
3+9+27+81+243+729+2187=3279
总结一下，等比数列的一般规律。
等比数列中，
公比=后一项÷前一项；
末项的值=首项x公比的(n-1)次方（n代表项数）。
注意：公比的(n-1)次方=(n-1)个公比相乘
如【例2】中，末项是2187，首项是3，项数n=7。
2187=3x3^(7-1)
等比数列的和=(末项x公比-首项)÷(公比-1)
（由错位相减法得出）
就是后一项比前一项的比值都一样的数列，这个比值叫做公比q
比如1 2 4 8 16......公比就是2
比如1/3 1/9 1/27 1/81....公比就是1/3
设通项是an(就是第n项)，则a(n+1)=q*an
那么求和记为
Sn=a1+a2+...+an (1)
两边同乘以q，
qSn=q(a1+a2+...+an) =a2+a3+...+an+q*an（2）【乘以q后每个a的角标就要+1】
（1）-（2）式得到
(1-q)Sn=q*an-a1=q*a1*q^(n-1)-a1=a1(1-q^n) 【这里an=a1*q^(n-1)】
所以Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
拓展资料
等比数列是指如果一个 数列从第2项起，每一项与它的前一项的 比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。这个常数叫做等比数列的 公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。其中{an}中的每一项均不为0。注：q=1 时，a n为 常数列。
等比数列就是后一项比前一项的比值都一样的数列，这个比值叫做公比q
比如1 2 4 8 16......公比就是2
又比如1/3 1/9 1/27 1/81....公比就是1/3
设通项是an(就是第n项)，则a(n+1)=q*an
那么求和记为
Sn=a1+a2+...+an (1)
两边同乘以q，
qSn=q(a1+a2+...+an) =a2+a3+...+an+q*an（2）【乘以q后每个a的角标就要+1】
（1）-（2）式得到
(1-q)Sn=q*an-a1=q*a1*q^(n-1)-a1=a1(1-q^n) 【这里an=a1*q^(n-1)】
所以Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
绛旓細绛夋瘮鏁板垪鏄竴绉嶇壒娈婄殑鏁板垪锛屽叾涓换鎰忎袱椤圭殑姣斿奸兘鐩哥瓑銆傜瓑姣旀暟鍒楃殑姹傚拰鍙互閫氳繃鍏紡鏉ュ畬鎴銆傚浜庣瓑姣旀暟鍒楋紝濡傛灉棣栭」涓篴锛屽叕姣斾负r锛岄」鏁颁负n锛岄偅涔堝叾鍜孲鍙互閫氳繃浠ヤ笅鍏紡璁＄畻锛氬綋鍏瘮r涓嶇瓑浜1鏃讹紝绛夋瘮鏁板垪鐨勫拰S涓猴細S=a×(r^n-1)/(r-1)褰撳叕姣攔绛変簬1鏃讹紝鎵鏈夐」閮界浉绛夛紝绛夋瘮鏁板垪鐨勫拰S涓猴細S=...
绛旓細1銆佺瓑姣旀暟鍒楁槸鎸囦粠绗簩椤硅捣锛屾瘡涓椤逛笌瀹冪殑鍓嶄竴椤圭殑姣斿肩瓑浜庡悓涓涓父鏁扮殑涓绉嶆暟鍒銆備妇渚嬶細鏁板垪锛2銆4銆8銆16銆伮仿仿锋瘡涓椤逛笌鍓嶄竴椤圭殑姣斿硷細4梅2=8梅4=16梅8=2锛屾墍浠ヨ繖涓暟鍒楁槸绛夋瘮鏁板垪锛岃屽畠鐨勫叕姣斿氨鏄2銆2銆佺瓑姣旀暟鍒楃殑姹傚拰鍏ず濡備笅锛氬叾涓璦1涓洪椤癸紝q涓虹瓑姣旀暟鍒楀叕姣旓紝Sn涓虹瓑姣旀暟鍒楀墠n椤瑰拰銆
绛旓細绛夋瘮鏁板垪姹傚拰鍏紡锛歋n=a1(1-q^n)/(1-q)銆傚叾涓父鏁皅鍙綔鍏瘮锛屽湪绛夋瘮鏁板垪涓紝棣栭」a1涓庡叕姣攓閮戒笉涓洪浂銆傜瓑姣旀暟鍒楁眰鍜屽叕寮忔槸姹傜瓑姣旀暟鍒椾箣鍜岀殑鍏紡銆傚鏋滀竴涓暟鍒椾粠绗2椤硅捣锛屾瘡涓椤逛笌瀹冪殑鍓嶄竴椤圭殑姣旂瓑浜庡悓涓涓父鏁帮紝杩欎釜鏁板垪灏卞彨鍋氱瓑姣旀暟鍒楋紝杩欎釜甯告暟鍙仛绛夋瘮鏁板垪鐨勫叕姣旓紝鍏紡鍙互蹇熺殑璁＄畻鍑哄嚭璇ユ暟...
绛旓細锛1锛绛夋瘮鏁板垪鐨勯氶」鍏紡鏄細An=A1*q^锛坣锛1锛夎嫢閫氶」鍏紡鍙樺舰涓篴n=a1/q*q^n(n鈭圢*)锛屽綋q>0鏃讹紝鍒欏彲鎶奱n鐪嬩綔鑷彉閲弉鐨勫嚱鏁帮紝鐐(n,an)鏄洸绾縴=a1/q*q^x涓婄殑涓缇ゅ绔嬬殑鐐广傦紙2锛姹傚拰鍏紡锛歋n=nA1(q=1)Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)=...
绛旓細绛夋瘮鏁板垪鏄寚浠庣浜岄」璧凤紝姣忎竴椤逛笌瀹冪殑鍓嶄竴椤圭殑姣斿肩瓑浜庡悓涓涓父鏁扮殑涓绉嶆暟鍒锛屽父鐢℅銆丳琛ㄧず銆傝繖涓父鏁板彨鍋氱瓑姣旀暟鍒楃殑鍏瘮锛屽叕姣旈氬父鐢ㄥ瓧姣峲琛ㄧず锛坬鈮0)锛岀瓑姣旀暟鍒梐1鈮 0銆傚叾涓經an锝濅腑鐨勬瘡涓椤瑰潎涓嶄负0銆傛敞锛歲=1 鏃讹紝an涓哄父鏁板垪銆備簩銆佹暟瀛︿腑鐨勫簲鐢 璁綼k锛宎l锛宎m锛宎n鏄瓑姣旀暟鍒椾腑鐨勭k銆乴銆...
绛旓細绛夋瘮鏁板垪鐨姹傚拰鍏紡锛歋n=棣栭」锛1-鍏瘮鐨刵娆℃柟锛/1-鍏瘮锛堝叕姣斺墵1锛
绛旓細绛夋瘮鏁板垪姹傚拰鍏紡 鍏紡鎻忚堪锛氬叕寮忎腑a1涓洪椤癸紝an涓烘暟鍒楃n椤癸紝q涓虹瓑姣旀暟鍒楀叕姣旓紝Sn涓哄墠n椤瑰拰銆
绛旓細绛夋瘮鏁板垪姹傚拰鍏紡涓猴細Sn=n*a1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-anq)/(1-q) 锛坬涓嶇瓑浜 1锛夈傜瓑姣旀暟鍒楃殑鎰忎箟锛氫竴涓暟鍒楋紝濡傛灉浠绘剰鐨勫悗涓椤逛笌鍓嶄竴椤圭殑姣斿兼槸鍚屼竴涓父鏁帮紝鍗筹細A(n+1)/A(n)=q (n鈭圢*)锛岃繖涓暟鍒楀彨绛夋瘮鏁板垪锛屽叾涓父鏁皅鍙綔鍏瘮銆傚锛2銆4銆8銆16...2^10銆灏辨槸...
绛旓細1銆佺瓑姣旀暟鍒楁眰鍜屾槸鏁板涓父瑙佺殑璁＄畻闂锛屼篃鏄潪甯搁噸瑕佺殑涓閮ㄥ垎銆绛夋瘮鏁板垪鏄寚浠庣浜岄」璧锛屾瘡涓椤逛笌瀹冪殑鍓嶄竴椤圭殑姣斿肩瓑浜庡悓涓涓父鏁扮殑涓绉嶆暟鍒椼傝繖涓父鏁板彨鍋氱瓑姣旀暟鍒楃殑鍏瘮锛屽父鐢ㄥ瓧姣峲琛ㄧず銆2銆佺瓑姣旀暟鍒楃殑姹傚拰鍏紡鍙互鏍规嵁鍏瘮鍜岄」鏁版潵杩涜璁＄畻銆傚鏋滀竴涓瓑姣旀暟鍒楃殑棣栭」涓篴1锛屽叕姣斾负q锛岄」鏁颁负n锛岄偅涔...
绛旓細4梅2=2锛8梅4=2锛涒︹1024梅512=2銆傛墍浠ヨ繖涓鐩氨鏄吀鍨嬬殑绛夋瘮鏁板垪姹傚拰棰橈紝鍏瘮鏄2銆備緥1涓紝濡傛灉鎷跨瑪纭畻浼氬崄鍒嗛夯鐑︼紝鑰屼笖瀹规槗鍑洪敊銆傚湪杩欓噷G鑰佸笀鍒嗕韩涓涓绠楃瓑姣旀暟鍒楁眰鍜岄鐩椂缁忓父鐢ㄥ埌鐨勪竴涓柟娉曘☞ 閿欎綅鐩稿噺娉 浠=1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024锛孏鑰佸笀璁〢杩欎釜寮忓瓙鍐...
