什么是无穷大什么是无穷小
无穷大:在数学方面,无穷大并非特指一个概念,而是与下述的主题相关：极限、阿列夫数、集合论中的类、超实数、射影几何、扩展的实数轴以及绝对无限等.无穷大量就是在自变量的某个变化过程中,绝对值无限增大的变量或函数.精确定义
设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）.如果对于任意给定的正数M（无论它多么大）,总存在正数δ（或正数X）,只要x适合不等式0M,则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大.
在自变量的同一变化过程中,无穷大与无穷小具有倒数关系,即当x→a时f(x)为无穷大,则1/f(x)为无穷小；反之,f(x)为无穷小,且f(x)在a的某一去心邻域内恒不为0时,1/f(x)才为无穷大.
无穷大记作∞,不可与很大的数混为一谈.
分类
无穷大分为正无穷大、负无穷大和无穷大（可正可负）,分别记作+∞、-∞以及∞ ,非常广泛的应用于数学当中.
性质
两个无穷大量之和不一定是无穷大；
有界量与无穷大量的乘积不一定是无穷大（如常数0就算是有界函数）；
两个无穷大量之积一定是无穷大.
另外,一个数列不是无穷大量,不代表它就是有界的（如,数列1,1/2,3,1/3,……）.
无穷小量：
无穷小量即以数0为极限的变量.确切地说,当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时,函数值f(x)与0无限接近,即f(x)→0(或f(x)=0),则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量.例如,f(x)=(x－1)^2是当x→1时的无穷小量,f(n)=1/n是当n→∞时的无穷小量,f(x)=sin(x)是当x→0时的无穷小量.特别要指出的是,切不可把很小的数与无穷小量混为一谈.
初学者应当注意的是,无穷小量是极限为0的变量而不是数量0,是指自变量在一定变动方式下其极限为数量0,称一个函数是无穷小量,一定要说明自变量的变化趋势.
不能笼统说 0是无穷小量.也不能说无穷小就是 0
无穷小量通常用小写希腊字母表示,如α、β、ε等,有时候也用α（x）、ο（x）[1]等,表示无穷小量是以x为自变量的函数.
注意：
1.无穷小量不是一个很小的数,它是一个变量.
2.零可以作为无穷小量的唯一一个常数.
3.无穷小量与自变量的趋势相关.
绛旓細鏃犵┓澶у氨鏄湪鑷彉閲忕殑鏌愪釜鍙樺寲杩囩▼涓紝缁濆鍊兼棤闄愬澶х殑鍙橀噺鎴栧嚱鏁銆傛棤绌峰皬鏄瀬闄愪负0鐨勫彉閲忚屼笉鏄暟閲0锛屾槸鎸囪嚜鍙橀噺鍦ㄤ竴瀹氬彉鍔ㄦ柟寮忎笅鍏舵瀬闄愪负鏁伴噺0锛岀О涓涓嚱鏁版槸鏃犵┓灏忛噺锛屼竴瀹氳璇存槑鑷彉閲忕殑鍙樺寲瓒嬪娍銆傛棤绌峰皬涓庢棤绌峰ぇ鐨勫畾涔夛細1銆佹棤绌峰皬(infinitesimal)鐨勫畾涔夊畾涔1濡傛灉鍑芥暟f(x)褰搙涓x(鎴杧->o)鏃剁殑...
绛旓細姝ｆ棤绌峰ぇ锛岃礋鏃犵┓澶ч兘鏄棤绌峰ぇ閲忋2銆佸湪鑷彉閲忕殑鏌愪釜鍙樺寲杩囩▼涓紝缁濆鍊兼棤闄愬噺灏忕殑鍙橀噺绉颁负鏃犵┓灏忛噺鎴栧彨鍋氭棤绌峰皬銆傛暟0涔熸槸鏃犵┓灏忥紝铏界劧瀹冪殑缁濆鍊间笉鍐嶅彉鍖栵紝浣嗙粷瀵瑰煎凡缁忚揪鍒版渶灏忥紝鏁0鏄竴涓潪甯哥壒娈婄殑鏃犵┓灏忋
绛旓細鏃犵┓澶у拰鏃犵┓灏忕殑鍏崇郴鏄掓暟鍏崇郴锛屽嵆褰搙鈫抋鏃讹紝f(x)涓烘棤绌峰ぇ锛屽垯1/f(x)涓烘棤绌峰皬锛涘弽涔嬶紝f(x)涓烘棤绌峰皬锛屼笖f(x)鍦╝鐨勬煇涓鍘诲績閭诲煙鍐呮亽涓嶄负0鏃讹紝1/f(x)鎵嶄负鏃犵┓澶с傛棤绌峰皬閲忥細鍦ㄧ粡鍏哥殑寰Н鍒嗘垨鏁板鍒嗘瀽涓紝鏃犵┓灏忛噺閫氬父浠ュ嚱鏁般佸簭鍒楃瓑褰㈠紡鍑虹幇銆傛棤绌峰皬閲忓嵆浠ユ暟0涓烘瀬闄愮殑鍙橀噺锛屾棤闄愭帴杩戜簬...
绛旓細鏃犵┓澶:鍦ㄦ暟瀛︽柟闈,鏃犵┓澶у苟闈炵壒鎸囦竴涓蹇,鑰屾槸涓庝笅杩扮殑涓婚鐩稿叧锛氭瀬闄愩侀樋鍒楀か鏁般侀泦鍚堣涓殑绫汇佽秴瀹炴暟銆佸皠褰卞嚑浣曘佹墿灞曠殑瀹炴暟杞翠互鍙婄粷瀵规棤闄愮瓑.鏃犵┓澶ч噺灏辨槸鍦ㄨ嚜鍙橀噺鐨勬煇涓彉鍖栬繃绋嬩腑,缁濆鍊兼棤闄愬澶х殑鍙橀噺鎴栧嚱鏁.绮剧‘瀹氫箟 璁惧嚱鏁癴(x)鍦▁0鐨勬煇涓鍘诲績閭诲煙鍐呮湁瀹氫箟锛堟垨|x|澶т簬鏌愪竴姝ｆ暟鏃舵湁瀹氫箟锛...
绛旓細鏃犵┓澶э細褰撲竴涓暟鍊奸愭笎澧炲ぇ鑰屾病鏈変笂闄愭椂锛屾垜浠О涔嬩负鏃犵┓澶銆傛暟瀛﹁〃绀哄彲浠ヤ娇鐢ㄧ鍙 "鈭" 鏉ヨ〃绀烘棤绌峰ぇ銆備緥濡傦紝姝ｆ棤绌峰ぇ鍙互琛ㄧず涓 "+鈭"锛岃礋鏃犵┓澶у彲浠ヨ〃绀轰负 "-鈭"銆備緥濡傦紝闅忕潃 x 鐨勫澶э紝鍑芥暟 f(x) 鍙樺緱鏃犵┓澶э紝閭ｄ箞 f(x) 鏄棤绌峰ぇ銆傛棤绌峰皬锛鏃犵┓灏忔槸鎺ヨ繎浜庨浂鐨勬暟锛屼絾涓嶇瓑浜庨浂銆傞氬父鍦...
绛旓細鏃犵┓灏鍜鏃犵┓澶ф槸鏁板涓殑涓や釜閲嶈姒傚康锛屽畠浠湪鏋侀檺鍜岃繛缁х殑姒傚康涓捣鐫鍏抽敭浣滅敤銆傛棤绌峰皬锛氭棤绌峰皬鏄竴涓彉閲忥紝瀹冭秼鍚戜簬0銆傚湪鏇村叿浣撶殑鎯呭喌涓嬶紝鎴戜滑鍙互杩欐牱瀹氫箟鏃犵┓灏忥細濡傛灉瀵逛簬浠绘剰缁欏畾鐨勬鏁拔碉紙鏃犺澶氫箞灏忥級锛岄兘瀛樺湪涓涓鏁癤锛屼娇寰楀綋0 < |x| < X鏃讹紝鎭掓湁|f(x)| < 蔚锛岄偅涔堟垜浠氨绉癴(x...
绛旓細鏃犵┓灏鍜鏃犵┓澶ф槸鏁板涓敤鏉ユ弿杩版瀬闄愯涓虹殑閲嶈姒傚康锛屽畠浠箣闂村瓨鍦ㄥ瘑鍒囩殑鍏崇郴銆傝鎴戜滑鍒嗗埆瑙ｉ噴杩欎袱涓蹇碉紝骞惰璁哄畠浠箣闂寸殑鍏崇郴銆1.鏃犵┓灏忥紙Infinitesimal锛夛細鏃犵┓灏忔槸鎸囧湪鏋侀檺杩囩▼涓秼浜庨浂鐨勯噺銆傚畠鏄竴涓潪甯稿皬鐨勬暟锛屽彲浠ヨ〃绀轰负蔚锛屛达紝dx绛夈傛棤绌峰皬閫氬父鐢ㄦ潵鎻忚堪鍑芥暟鍦ㄦ煇涓鐐圭殑鍙樺寲鐜囨垨瀵兼暟銆備緥濡傦紝濡傛灉...
绛旓細鏃犵┓灏鍜鏃犵┓澶ф槸寰Н鍒嗕腑鐢ㄦ潵鎻忚堪鍑芥暟鍦ㄦ煇涓鐐规垨瓒嬪悜鏌愪竴鐐规椂鐨勬ц川鐨勯噸瑕佹蹇点傚畠浠箣闂村瓨鍦ㄥ瘑鍒囩殑鍏崇郴锛岄氬父鍦ㄧ爺绌舵瀬闄愬拰鍑芥暟鐨勮涓烘椂鍚屾椂鑰冭檻銆1.鏃犵┓灏忥紙Infinitesimal锛夛細 鏃犵┓灏忔槸鎸囧湪鏌愪竴鐐归檮杩戠殑鍑芥暟鍊奸潪甯告帴杩戜簬闆剁殑鏁板奸噺銆傞氬父鐢ㄧ鍙 "蔚" 鎴 "未" 鏉ヨ〃绀恒傚鏋滀竴涓嚱鏁癴(x)鍦▁=a澶勭殑...
绛旓細鏃犵┓澶灏辫〃绀轰竴涓暟鍊艰秼浜 姝ｆ棤绌鎴栬呰礋鏃犵┓锛岀敤绗﹀彿鈭炴潵琛ㄧず 鍗冲叾缁濆鍊煎ぇ浜庢墍鏈夌殑鏁板瓧 鑰鏃犵┓灏瀹為檯涓婂氨鏄秼浜0 浜岃呯殑鑱旂郴灏辨槸閮芥槸鏋侀檺鍊肩殑瓒嬩簬 涓嶄竴瀹氬氨鏄暟鍊
绛旓細杩欓噷鏃犺鏄棤绌峰ぇ杩樻槸鏃犵┓灏忥紝閮芥槸鏋侀檺鐨勬剰鎬濄備妇涓緥瀛愶細y = log x 褰搙瓒嬪悜浜0鏃讹紝y灏鏄棤绌峰皬锛泍=tan x 褰搙瓒嬪悜浜90掳鏃讹紝y灏辨槸鏃犵┓澶с傛渶鍩虹鐨勬槸鐢ㄦ瀬闄愮殑瀹氫箟鍘诲垽鏂細lim<鈻硏0>[f(x+鈻硏)-f(x)]/鈻硏.鍖栫畝鎴愪笉鍙啀绾﹀垎鐨勫舰寮忓悗,濡傛灉鍒嗗瓙=0锛屽垎姣嶁墵0锛屽嚱鏁扮殑鏋侀檺瓒嬪悜浜庨浂锛涘鏋...
