求该圆锥的体积
首先,连接圆锥顶点A和底面圆心O。在底面圆上任取一点D,那么四边形ABOD为圆锥的一个截面。因为夹角BAC为60°,所以四边形ABOD是一个菱形且对角线相等为底面直径,设底面直径为d,则AB=OD=d/2。又因为AC的长是高的2倍,所以设圆锥母线为l,高为h,则有AC=l,AO=l/2,且AC=2h,即l=2h。
根据截面面积公式得到:
2√3 = 1/2 * d * l
带入AB=OD=d/2,l=2h得到:
2√3 = (d/2) * (2h)
化简得:h = √3d/4
再根据圆锥体积公式得到:
V = 1/3 * π * r² * h
由于底面圆半径r等于底面直径d/2,其值为d/4,则:
V = 1/3 * π * (d/4)² * h
代入h=√3d/4,化简可得:
V = πd³/144
因此,该圆锥的体积为πd³/144。
设圆锥的顶点为A,底面圆的半径为r,高为h。由题意可知,AB和AC分别是底面圆上的两条直径,且它们之间的夹角为60度。
由于AB和AC是底面圆上的直径,所以它们的长度相等,即AB = AC = 2r。
截面面积是2√3,可以推断截面是一个正六边形。
将正六边形分成六个等边三角形,其中每个三角形的面积为:
Area_triangle = (1/2) * AB * AC * sin(60°) = (1/2) * 2r * 2r * (√3/2) = 2r^2 * √3
由题目中给出的截面面积为2√3,所以有 2r^2 * √3 = 2√3,即 r^2 = 1。
由于母线AC的长度是高h的2倍,即 AC = 2h。
现在我们有三个关于圆锥的关系:
r^2 = 1
AB = AC = 2r
AC = 2h
解这个方程组,我们可以得到 r = 1,AB = AC = 2,AC = 2h,即 h = 1。
现在我们已经确定了圆锥的底面半径r和高h,可以计算体积了。
圆锥的体积公式为 V = (1/3) * π * r^2 * h
代入 r = 1 和 h = 1,得到 V = (1/3) * π * 1^2 * 1 = (1/3) * π。
所以该圆锥的体积为 (1/3) * π。
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