高等数学 求由曲面z=x^2＋2y^2及z=6－2x^2－y^2所围成的立体的体积 求由曲面z=x^2＋2y^2及z=6－2x^2－y^2所围成...

\u8ba1\u7b97\u7531\u66f2\u9762z=2-x^2-y^2\u53caz=\u221a(x^2+y^2)\u6240\u56f4\u6210\u7684\u7acb\u4f53\u7684\u4f53\u79ef

\u9996\u5148\u5c06\u4e24\u4e2a\u65b9\u7a0b\u5e76\u5217\u627e\u51fa\u4e24\u4e2a\u66f2\u9762\u76f8\u4ea4\u7684\u66f2\u7ebf.\u901a\u8fc7\u6d88\u53bbz,\u5f97\u5230\uff1a
2-x²=x²+2y²
\u5373
x²+y²=1
\u6240\u4ee5,\u6b64\u66f2\u7ebf\u4f4d\u4e8e\u534a\u5f84\u4e3a1\u7684\u5706\u67f1\u9762\u4e0a.\u90a3\u4e48x\u548cy\u7684\u79ef\u5206\u9650\u5f88\u5bb9\u6613\u5c31\u627e\u5230\u4e86\uff1ax²+y²=1
\u8981\u627e\u5230z\u7684\u79ef\u5206\u9650,\u5c31\u9700\u8981\u77e5\u9053\u4e24\u4e2a\u66f2\u9762\u54ea\u4e2a\u5728\u4e0a\u9762,\u54ea\u4e2a\u5728\u4e0b\u9762.\u56e0\u4e3a\u6240\u5305\u7684\u4f53\u79ef\u5728\u5706\u67f1\u5185\u90e8,\u6240\u4ee5\u8981\u6c42x²+y²x²+2y²,\u5373z=2-x²\u5728\u4e0a\u9762,z=x²+2y²\u5728\u4e0b\u9762\u3002
\u6839\u636e\u4e0a\u9762\u7684\u8ba8\u8bba,\u6211\u4eec\u5c31\u53ef\u4ee5\u5199\u51fa\u4f53\u79ef\u5206\uff1a
V=\u222b\u222bdxdy\u222b_(x²+2y²)^(2-x²)dz
\u8fd9\u91cc\u7528\u7b26\u53f7_(x²+2y²)\u6765\u8868\u8fbez\u79ef\u5206\u7684\u4e0b\u9650,^(2-x²)\u8868\u8fbez\u79ef\u5206\u7684\u4e0a\u9650.(\u8bb0\u4f4fxy\u79ef\u5206\u9650\u662f\u5706\u5f62x²+y²=1.)
\u5bf9z\u7684\u79ef\u5206\u5f88\u5bb9\u6613\uff1a
\u222b_(x²+2y²)^(2-x²)dz=(2-x²)-(x²+2y²)=2-2x²-2y²
\u5269\u4e0b\u7684\u5c31\u662f\u5bf9xy\u7684\u4e24\u91cd\u79ef\u5206\u3002
V=\u222b\u222b(2-2x²-2y²)dxdy
\u8fd9\u4e2a\u79ef\u5206\u6700\u5bb9\u6613\u5728\u6781\u5750\u6807\u91cc\u505a.\u53d8\u6362\u4e3a\u6781\u5750\u6807\u65f6,x²+y²=r²,dxdy=rdrd\u03c6.\u79ef\u5206\u9650\u4e3ar\u4ece0\u52301,\u03c6\u4ece0\u52302\u03c0.
V=\u222b\u222b(2-2x²-2y²)dxdy=\u222b_0^1(2-2r²)rdr\u222b_0^(2\u03c0)d\u03c6
\u4e24\u4e2a\u79ef\u5206\u5404\u4e3a\uff1a
\u222b_0^(2\u03c0)d\u03c6=2\u03c0
\u222b_0^1(2-2r²)rdr=r²-(1/2)r^4|_0^1=1/2
V=(1/2)2\u03c0=\u03c0
\u6240\u4ee5\u4f53\u79ef\u662f\u03c0\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u6839\u636e\u4e0d\u540c\u7684\u5206\u7c7b\u6807\u51c6\uff0c\u66f2\u9762\u6709\u8bb8\u591a\u4e0d\u540c\u7684\u5206\u7c7b\u65b9\u6cd5\u3002
1)\u6839\u636e\u6bcd\u7ebf\u8fd0\u52a8\u65b9\u5f0f\u5206\u7c7b
(1)\u56de\u8f6c\u9762\u2014\u2014\u7531\u6bcd\u7ebf\u7ed5\u4e00\u8f74\u7ebf\u65cb\u8f6c\u800c\u5f62\u6210\u7684\u66f2\u9762\uff1b
(2)\u975e\u56de\u8f6c\u9762\u2014\u2014\u7531\u6bcd\u7ebf\u6839\u636e\u5176\u4ed6\u7ea6\u675f\u6761\u4ef6\u8fd0\u52a8\u800c\u5f62\u6210\u7684\u66f2\u9762\u3002
2)\u6839\u636e\u6bcd\u7ebf\u7684\u5f62\u72b6\u5206\u7c7b
(1)\u76f4\u7eb9\u66f2\u9762\u2014\u2014\u51e1\u662f\u53ef\u4ee5\u7531\u76f4\u6bcd\u7ebf\u8fd0\u52a8\u800c\u6210\u7684\u66f2\u9762\uff0c\u5982\u5706\u67f1\u9762\u3001\u5706\u9525\u9762\u3001\u692d\u5706\u67f1\u9762\u3001\u692d\u5706\u9525\u9762\u3001\u53cc\u66f2\u629b\u7269\u9762\u3001\u9525\u72b6\u9762\u548c\u67f1\u72b6\u9762\u7b49\uff1b
(2)\u53cc\u66f2\u66f2\u9762\u2014\u2014\u53ea\u80fd\u7531\u66f2\u6bcd\u7ebf\u8fd0\u52a8\u800c\u6210\u7684\u66f2\u9762\uff0c\u5982\u7403\u9762\u3001\u73af\u9762\u7b49\u3002
\u540c\u4e00\u4e2a\u66f2\u9762\u53ef\u80fd\u7531\u51e0\u79cd\u4e0d\u540c\u7684\u8fd0\u52a8\u5f62\u5f0f\u5f62\u6210\u3002\u5982\u5706\u67f1\u9762\uff0c\u5373\u53ef\u4ee5\u770b\u505a\u662f\u76f4\u7ebf\u7ed5\u7740\u4e0e\u4e4b\u5e73\u884c\u7684\u8f74\u7ebf\u505a\u65cb\u8f6c\u8fd0\u52a8\u800c\u6210\uff0c\u4e5f\u53ef\u4ee5\u770b\u505a\u662f\u4e00\u4e2a\u5706\u6cbf\u8f74\u5411\u5e73\u79fb\u800c\u5f62\u6210\u7684\u3002

\u767e\u5ea6\u800c\u6765\u3002
\u82e5\u6709\u7528\uff0c\u671b\u91c7\u7eb3\uff0c\u8c22\u8c22\u3002
\u4e24\u66f2\u9762\u7684\u4ea4\u7ebf\u5728xy\u5750\u6807\u9762\u4e0a\u7684\u6295\u5f71\u66f2\u7ebf\u662fx^2+y^2\uff1d2,\u6240\u4ee5\u6574\u4e2a\u7acb\u4f53\u5728xy\u9762\u4e0a\u7684\u6295\u5f71\u533a\u57df\u662fD\uff1ax^2\uff0by^2\u22642
\u4f53\u79efV\uff1d\u222b\u222b(D)
[(6-2x^2-y^2)\uff0d(x^2+2y^2)]dxdy
\u7528\u6781\u5750\u6807
\uff1d3\u222b(0\uff5e2\u03c0)d\u03b8\u222b(0\uff5e\u221a2)
(2\uff0d\u03c1^2)\u03c1d\u03c1\uff1d6\u03c0

令x^2＋2y^2 = 6－2x^2－y^2 不就是两个曲面的交线了吗？这个曲线投影到xoy面上就是D={(x，y)lx^2＋y^2小于等于2}一个圆内点的集合，建议好好看看高等数学上册的最后一张，曲面和曲线图像……这个对你很有帮助的……另外z=x^2＋2y^2与z=6－2x^2－y^2均为双曲面的方程，只是前一个最小值点为（0，0），形状像一个开口向上的椭圆，后一个最大值点为(0,0)，最大值为6，形状像一个开口向下的椭圆，最高点就是（0,0,6），二者交线为圆，求体积可以用二重积分，也可以用三重积分，都是一样的……

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