怎样证明余弦定理 余弦定理怎么证明？

\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406\u600e\u4e48\u8bc1\u660e\u7b80\u5355\u4e00\u70b9\u8c22\u8c22

\u7528\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u63a8\u51fa

\u5c06\u5f0f\u5b50\u4ee3\u5165\u76f8\u52a0\u5c31\u660e\u767d\u4e86

\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406\u662f\u63ed\u793a\u4e09\u89d2\u5f62\u8fb9\u89d2\u5173\u7cfb\u7684\u91cd\u8981\u5b9a\u7406\uff0c\u76f4\u63a5\u8fd0\u7528\u5b83\u53ef\u89e3\u51b3\u4e00\u7c7b\u5df2\u77e5\u4e09\u89d2\u5f62\u4e24\u8fb9\u53ca\u5939\u89d2\u6c42\u7b2c\u4e09\u8fb9\u6216\u8005\u662f\u5df2\u77e5\u4e09\u4e2a\u8fb9\u6c42\u89d2\u7684\u95ee\u9898\uff0c\u82e5\u5bf9\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406\u52a0\u4ee5\u53d8\u5f62\u5e76\u9002\u5f53\u79fb\u4e8e\u5176\u5b83\u77e5\u8bc6\uff0c\u5219\u4f7f\u7528\u8d77\u6765\u66f4\u4e3a\u65b9\u4fbf\u3001\u7075\u6d3b\uff0e

\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u4e09\u89d2\u5f62 \u4e09\u8fb9\u4e3aa,b,c \u4e09\u89d2\u4e3aA,B,C \u6ee1\u8db3\u6027\u8d28

a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA

b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB

c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac

CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

\u8bc1\u660e\uff1a
\u5982\u56fe\uff1a
\u2235a=b-c
\u2234a^2=(b-c)^2 \uff08\u8bc1\u660e\u4e2d\u524d\u9762\u6240\u5199\u7684a,b,c\u7686\u4e3a\u5411\u91cf\uff0c^2\u4e3a\u5e73\u65b9\uff09\u62c6\u5f00\u5373a^2=b^2+c^2-2bc
\u518d\u62c6\u5f00\uff0c\u5f97a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA
\u540c\u7406\u53ef\u8bc1\u5176\u4ed6\uff0c\u800c\u4e0b\u9762\u7684CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc\u5c31\u662f\u5c06CosA\u79fb\u5230\u53f3\u8fb9\u8868\u793a\u4e00\u4e0b\u3002

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\u5e73\u9762\u51e0\u4f55\u8bc1\u6cd5\uff1a
\u5728\u4efb\u610f\u25b3ABC\u4e2d
\u505aAD\u22a5BC.
\u2220C\u6240\u5bf9\u7684\u8fb9\u4e3ac\uff0c\u2220B\u6240\u5bf9\u7684\u8fb9\u4e3ab\uff0c\u2220A\u6240\u5bf9\u7684\u8fb9\u4e3aa
\u5219\u6709BD=cosB*c\uff0cAD=sinB*c\uff0cDC=BC-BD=a-cosB*c
\u6839\u636e\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u53ef\u5f97\uff1a
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB
b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
\u4ece\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406\u548c\u4f59\u5f26\u51fd\u6570\u7684\u6027\u8d28\u53ef\u4ee5\u770b\u51fa,
\u5982\u679c\u4e00\u4e2a\u4e09\u89d2\u5f62\u4e24\u8fb9\u7684\u5e73\u65b9\u548c\u7b49\u4e8e\u7b2c\u4e09
\u8fb9\u7684\u5e73\u65b9,\u90a3\u4e48\u7b2c\u4e09\u8fb9\u6240\u5bf9\u7684\u89d2\u4e00\u5b9a\u662f\u76f4
\u89d2,\u5982\u679c\u5c0f\u4e8e\u7b2c\u4e09\u8fb9\u7684\u5e73\u65b9,\u90a3\u4e48\u7b2c\u4e09\u8fb9\u6240
\u5bf9\u7684\u89d2\u662f\u949d\u89d2,\u5982\u679c\u5927\u4e8e\u7b2c\u4e09\u8fb9,\u90a3\u4e48\u7b2c\u4e09\u8fb9
\u6240\u5bf9\u7684\u89d2\u662f\u9510\u89d2.\u5373\uff0c\u5229\u7528\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406\uff0c\u53ef\u4ee5\u5224\u65ad\u4e09\u89d2\u5f62\u5f62\u72b6\u3002
\u540c\u65f6\uff0c\u8fd8\u53ef\u4ee5\u7528\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406\u6c42\u4e09\u89d2\u5f62\u8fb9\u957f\u53d6\u503c\u8303\u56f4\u3002

在任意△ABC中做AD⊥BC.∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c根据勾股定理可得：AC^2=AD^2+DC^2b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosBb^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2b^2=c^2+a^2-2ac*cosBcosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角一定是直角,如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边所对的角是锐角.即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

用向量 (AB向量）=（AC向量）—（AB向量） 等式两边同时平方 再整理一下 OVER!

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濡備綍璇佹槑涓夎褰㈢殑姝ｅ鸡瀹氱悊銆浣欏鸡瀹氱悊
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濡備綍璇佹槑浣欏鸡瀹氱悊?
绛旓細cos(90-a)=cos(90)cos(a)+sin(90)sin(a)=sin(a)浣欏鸡锛堜綑寮﹀嚱鏁帮級锛屼笁瑙掑嚱鏁扮殑涓绉嶃傚湪Rt鈻矨BC锛堢洿瑙掍笁瑙掑舰锛変腑锛屸垹C=90掳锛堝姒傝堪鍥炬墍绀猴級锛屸垹A鐨勪綑寮︽槸瀹冪殑閭昏竟姣斾笁瑙掑舰鐨勬枩杈癸紝鍗砪osA=b/c锛屼篃鍙啓涓篶osa=AC/AB銆備綑寮﹀嚱鏁帮細f(x)=cosx锛坸鈭圧锛夈傚湪浣欏鸡瀹氱悊涓細锛1锛夊凡鐭ヤ笁瑙掑舰鐨...

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姝ｅ鸡浣欏鸡瀹氱悊浠ュ強鍏紡璇佹槑
绛旓細1銆佹浣欏鸡瀹氱悊鍩烘湰鍏紡asinA=bsinB=csinC=2R 鐢ㄩ1宸茬煡涓夎褰㈢殑涓よ涓庝竴杈癸紝瑙ｄ笁瑙掑舰2宸茬煡涓夎褰㈢殑涓よ竟鍜屽叾涓竴杈规墍瀵圭殑瑙掞紝瑙ｄ笁瑙掑舰3杩愮敤abc=sinAsinBsinC瑙ｅ喅瑙掍箣闂寸殑杞崲鍏崇郴鐩磋锛涗綑寮os伪锛滲^2+C^2A^22BC cosb=A^2+C^2B^22AC cosc=A^2+B^2C^22AB 姝ｅ鸡瀹氱悊鏄笁瑙掑涓殑涓涓熀鏈...

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