如何证明余弦定理?
余弦定理可以通过数学推导来证明,以下是证明的一种常见方法:假设三角形的三边长度分别为 a、b 和 c,对应的角分别为 A、B 和 C。根据余弦定理,可以得到以下等式:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)
为了证明这个等式,我们可以利用平面几何和三角函数的定义来推导。
首先,我们画出三角形 ABC,并在边 BC 上选择一点 D,使得 BD = a,DC = b。然后,连接 AD,并设 AD 的延长线与 BC 交于点 E。
根据正弦定理,我们可以得到以下两个等式:
1. AB/sin(C) = BD/sin(A) -- (1)
2. AC/sin(C) = CD/sin(B) -- (2)
由三角形的内角和为180度,我们可以得到以下等式:
A + B = 180 - C
对于三角形 ADC,我们可以利用正弦定理得到:
CD/sin(A) = AD/sin(C) -- (3)
将等式 (2) 和等式 (3) 结合,我们可以得到:
AC/sin(C) = AD/sin(B)
由等式 (1),我们可以得到:
AB/sin(C) = AC/sin(B)
将上述两个等式整理,我们可以得到:
AB/AC = sin(B)/sin(C)
从而可以得到以下等式:
AB = AC * sin(B)/sin(C) -- (4)
同样地,对于三角形 ABD,我们可以得到:
AB/sin(B) = BD/sin(A) -- (5)
将等式 (4) 和等式 (5) 结合,我们可以得到:
AC * sin(B)/sin(C) / sin(B) = BD/sin(A)
简化后,我们可以得到:
AC/sin(C) = BD/sin(A)
再次利用等式 (1),我们可以得到:
AB/sin(C) = BD/sin(A)
所以,我们证明了余弦定理:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)
通过这个证明,我们可以看到余弦定理是基于三角形的正弦定理和角和公式推导而来的。
在直角三角形中,一个锐角的余弦=它的邻边 / 斜边,一个锐角的正弦=它的对边 / 斜边
比如一个三角形ABC中,∠C=90°.则AB叫做斜边,AC叫做∠A的邻边,BC叫做∠A的对边.所以,cosA=AC/AB,sinA=BC/AB.同理cosB=BC/AB,sinB=AC/AB
余弦定理是针对任意三角形的.比如三角形ABC中,如果∠A,∠B,∠C的对边分别用a、b、c来表示那么就有如下关系:
a²=b²+c²-2bccosA
b²=a²+c²-2accosB
c²=a²+b²-2abcosC
扩展资料:
判定定理一 两根判别法:
若记m(c1,c2)为c的两值为正根的个数,c1为c的表达式中根号前取加号的值,c2为c的表达式中根号前取
减号的值。
①若m(c1,c2)=2,则有两解;
②若m(c1,c2)=1,则有一解;
③若m(c1,c2)=0,则有零解(即无解)。
注意:若c1等于c2且c1或c2大于0,此种情况算到第二种情况,即一解。
参考资料来源:百度百科—余弦定理
绛旓細璇佹槑浣欏鸡瀹氱悊鐨勬柟娉曞涓嬶細1銆佷换鎰忎綔涓夎褰BC锛岃BC=a锛孉C=b锛孉B=c锛孊C鎵瀵硅涓何憋紝杩嘊鍋欱D鈯C浜C浜庣偣D鍒欐湁涓や釜鐩磋涓夎褰t鈻矨BD涓嶳t鈻矪DC銆2銆丅D=csin伪锛孉D=ccos伪锛孋D=b-ccos伪鐢卞嬀鑲″畾鐞嗭紝BD^2+CD^2=BC^2锛坈sin伪锛塣2+锛坆-ccos伪锛塣2=b^2-2bccos伪+c^2[锛坰in伪锛...
绛旓細(1) 鏍规嵁浣欏鸡瀹氱悊,姹傚緱浠绘剰涓涓寰椾綑寮︽暟鍊.(2) 鏍规嵁(sin(x))^2+(cos(x))^2=1,鍙眰寰楄瑙掓墍瀵瑰緱姝e鸡鏁板.(3) 鍒檟瑙掓墍瀵瑰緱楂榟涓哄す瑙掕竟l*sin(x).鍋囪涓夋潯杈归暱涓篴, b, c, 瀵瑰簲鐨勫す瑙掍负x, y, z.鍒欐眰x瀵瑰簲鐨勫瀭鐩翠簬c鐨勯珮hx涓: hx= b*鈭歿1-[(b^2+c^2-a^)/2]^2} ...
绛旓細浣欏鸡瀹氱悊鍙互閫氳繃涓嶅悓鐨勬柟娉曟潵璇佹槑锛屽叾涓竴绉嶆槸鍒╃敤骞抽潰鍑犱綍鐨勭洿瑙傛柟娉銆傚湪浠绘剰涓夎褰BC涓紝鎴戜滑鍙互閫氳繃浣滈珮AD鍨傜洿浜庤竟BC鏉ョ悊瑙c傞鍏堬紝鏍规嵁涓夎褰㈢殑鍩烘湰鎬ц川锛屸垹C鎵瀵圭殑杈逛负c锛屸垹B鎵瀵圭殑杈逛负b锛屸垹A鎵瀵圭殑杈逛负a銆傚綋AD鍨傜洿浜嶣C鏃讹紝鏍规嵁鍕捐偂瀹氱悊锛屾湁BD绛変簬c涔樹互cosB锛岃孉D绛変簬c涔樹互sinB銆傝繖鏍凤紝鎴...
绛旓細AB/sin(C) = BD/sin(A)鎵浠ワ紝鎴戜滑璇佹槑浜嗕綑寮﹀畾鐞嗭細c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)閫氳繃杩欎釜璇佹槑锛屾垜浠彲浠ョ湅鍒颁綑寮﹀畾鐞嗘槸鍩轰簬涓夎褰㈢殑姝e鸡瀹氱悊鍜岃鍜屽叕寮忔帹瀵艰屾潵鐨勩
绛旓細鏈枃涓昏浠庡悜閲忔硶銆佷笁瑙掑嚱鏁版硶銆佽緟鍔╁渾娉曟潵璁茶В璇佹槑浣欏鸡瀹氱悊锛1銆佸悜閲忔硶 2銆佷笁瑙掑嚱鏁版硶 3銆佽緟鍔╁渾娉 浣欏鸡瀹氱悊锛屾槸鎻忚堪涓夎褰腑涓夎竟闀垮害涓庝竴涓鐨勪綑寮﹀煎叧绯荤殑鏁板瀹氱悊锛屼綑寮﹀畾鐞嗘槸鎻ず涓夎褰㈣竟瑙掑叧绯荤殑閲嶈瀹氱悊銆傜洿鎺ヨ繍鐢ㄥ畠鍙В鍐充竴绫诲凡鐭ヤ笁瑙掑舰涓よ竟鍙婂す瑙掓眰绗笁杈规垨鑰呮槸宸茬煡涓変釜杈规眰瑙掔殑闂锛岃嫢瀵...
绛旓細浣欏鸡瀹氱悊璇佹槑鏂规硶濡傚浘鎵绀猴細骞抽潰鍚戦噺璇佹硶锛氣埖濡傚浘锛屾湁a+b=c(骞宠鍥涜竟褰㈠畾鍒欙細涓や釜閭昏竟涔嬮棿鐨勫瑙掔嚎浠h〃涓や釜閭昏竟澶у皬锛夈傗埓c路c=(a+b)路(a+b)銆傗埓c²=a路a+2a路b+b路b鈭碿²=a²+b²+2|a||b|Cos(蟺-胃)銆傦紙浠ヤ笂绮椾綋瀛楃琛ㄧず鍚戦噺锛夈傚張鈭礐os(蟺-胃)=-Cos胃...
绛旓細璇佹槑浣欏鸡瀹氱悊鐨勬纭э紝鎴戜滑鍙互浠庝互涓嬪嚑涓柟闈㈣繘琛岋細1. 鍑犱綍璇佹槑锛氬湪涓夎褰BC涓紝浣滀竴鏉¢珮CD锛屽瀭瓒充负D銆傛牴鎹嬀鑲″畾鐞嗭紝鎴戜滑鏈堿D² = AC² - CD²锛孊D² = BC² - CD²銆傚皢杩欎袱涓瓑寮忕浉鍔狅紝鎴戜滑寰楀埌AB² = AC² + BC² - 2AC*BC*cosC...
绛旓細姝e鸡瀹氱悊鍏紡銆浣欏鸡瀹氱悊鍏紡 涓銆佹寮﹀畾鐞嗗叕寮 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R銆傘愭敞1銆戝叾涓淩鈥濅负涓夎褰⑩柍ABC澶栨帴鍦嗗崐寰勩備笅鍚屻傘愭敞2銆戞寮﹀畾鐞嗛傜敤浜庢墍鏈変笁瑙掑舰銆傚垵涓暟瀛︿腑锛屼笁瑙掑舰鍐呰鐨勬寮﹀肩瓑浜庘滃姣旀枩鈥濅粎閫傜敤浜庣洿瑙掍笁瑙掑舰銆備簩銆佹寮﹀畾鐞嗘帹璁哄叕寮 1銆侊紙1锛塧=2RsinA锛涳紙2锛塨=2RsinB锛涳紙3...
绛旓細鏂滆竟涓庡杈归噸鍚堬紝閭昏竟绛変簬闆讹紝鎵浠ラ偦姣旀枩绛変簬闆躲傝繕鏈夌鎬濊冩柟娉昪os90搴=sin0搴︺浣欏鸡锛堜綑寮﹀嚱鏁帮級锛屼笁瑙掑嚱鏁扮殑涓绉嶃傚湪Rt鈻矨BC锛堢洿瑙掍笁瑙掑舰锛変腑锛屸垹C=90掳锛堝鍥炬墍绀猴級锛屸垹A鐨勪綑寮︽槸瀹冪殑閭昏竟姣斾笁瑙掑舰鐨勬枩杈癸紝鍗砪osA=b/c锛屼篃鍙啓涓篶osa=AC/AB銆備綑寮﹀嚱鏁帮細f(x)=cosx锛坸鈭圧锛夈
绛旓細鍒ゅ畾瀹氱悊(瑙掕竟鍒ゅ埆娉)锛氫竴銆佸綋a>bsinA鏃讹細鈶犲綋b>a涓攃osA>0(鍗矨涓洪攼瑙)鏃讹紝鍒欐湁涓よВ銆傗憽褰揵>a涓攃osA<=0(鍗矨涓虹洿瑙掓垨閽濊)鏃讹紝鍒欐湁闆惰В(鍗虫棤瑙)銆傗憿褰揵=a涓攃osA>0(鍗矨涓洪攼瑙)鏃讹紝鍒欐湁涓瑙c傗懀褰揵=a涓攃osA<=0(鍗矨涓虹洿瑙掓垨閽濊)鏃讹紝鍒欐湁闆惰В(鍗虫棤瑙)銆傗懁褰揵0(鍗矨涓洪攼瑙)鏃...