圆台的体积推导过程及公式 圆台侧面积和体积公式的推导过程
\u5706\u53f0\u4f53\u79ef\u516c\u5f0f\u63a8\u5bfc\u8fc7\u7a0b\uff0c\uff0c \u624b\u5199\uff0c\u53d1\u56fe\u7247\u3002\u3002\u3002\u3002\u4f5c\u5706\u53f0\u4e0a\u5e95\u5411\u4e0a\u5ef6\u4f38\u5230\u9876\u70b9P\uff0c\u4ea4\u63a5\u70b9P\u548c\u4e0a\u5e95\u9762\u5706\u5fc3\uff0c\u8bbeP\u70b9\u5230\u4e0a\u5e95\u9762\u5706\u5fc3\u7684\u8ddd\u79bb\u662fX\uff0c\u5219\u5706\u53f0\u4f53\u79ef\u4e3a
V\u53f0=V\u5927\u5706\u9525-V\u5c0f\u5706\u9525
=1/3S(H+X)-=1/3sX
=1/3SH+1/3SX+1/3sX
=1/3SH+1/3X(S-s)
\u56e0\u4e3aS/s=\u03c0R\u5e73\u65b9/\u03c0r\u5e73\u65b9
\u6240\u4ee5\u221aS/\u221as=R/r=(H+X)/X
\u5f97X=sH/\u221aS-\u221as\u5e26\u5165\u7b2c\u4e00\u4e2a\u5f0f\u5b50
\u539f\u5f0f=1/3SH+1/3\uff3b\u221asH(S-s)/\u221aS-\u221as]
=1/3SH+1/3\uff3b\u221asH((\u221aS-\u221as)(\u221aS+\u221as)/\u221aS-\u221as]
=1/3SH+1/3H\uff3b\u221asS+s]
=1/3H(S+\u221asS+s)
\u5b8c\u6210\uff0c\u6211\u770b\u8fc7\u522b\u7684\u7248\u672c\u4e86\uff0c\u6211\u89c9\u5f97\u8fd9\u4e2a\u7b80\u5355\uff0c\u5bb9\u6613\u7406\u89e3\u3002
\u4f60\u53ef\u4ee5\u901a\u8fc7\u5706\u9525\u4fa7\u9762\u79ef\u548c\u4f53\u79ef\u5bfc\u51fa\uff0c\u5706\u53f0\u662f\u5706\u9525\u5207\u5272\u800c\u6210\u3002\u53c2\u6570\u5982\u56fe\u3002
\u5706\u9525\u516c\u5f0f\uff1aS = PI * r * l, V = 1/3 * PI * r^2 * h (\u5176\u4e2d\uff0cPI \u5706\u5468\u7387\uff0cr \u5e95\u9762\u534a\u5f84\uff0cl \u5706\u9525\u6bcd\u7ebf\u957f\uff0ch\u4e3a\u5706\u9525\u9ad8\u5ea6)
\u4fa7\u9762\u79ef\uff1a\u4e0a\u5706\u9525\uff1aS1 = PI * r1 * l1\uff0c\u6574\u4e2a\u5706\u9525\uff1aS2 = PI * r2 * (l1 + l2)\uff0c
\u5706\u53f0\u9762\u79ef S = S2 - S1\uff0c\u6839\u636e\u4e09\u89d2\u5f62\u76f8\u4f3c\uff0cl1/l2 = r1/(r2 - r1)\uff0c\u6240\u4ee5 l1 = r1/(r2 - r1) * l2\uff0c
\u6240\u4ee5 S =PI * r2 * (r1/(r2 - r1) * l2 + l2) - PI * r1 * r1/(r2 - r1) * l2\uff0c
\u5316\u7b80\u5f97 S = PI * (r1 + r2) * l2\uff0c\u5176\u4e2d r1 \u4e3a\u5706\u53f0\u4e0a\u5e95\u9762\u534a\u5f84\uff0cr2 \u4e3a\u5706\u53f0\u4e0b\u5e95\u9762\u534a\u5f84\uff0cl2 \u4e3a\u5706\u53f0\u6bcd\u7ebf\uff0c
\u4f53\u79ef\uff1a\u4e0a\u5706\u9525 V1 = 1/3 * PI * r1^2 * h1\uff0c\u6574\u4e2a\u5706\u9525 V2 = 1/3 * PI * r2^2 * \uff08h1+h2\uff09\uff0c
\u5706\u53f0\u4f53\u79ef\uff1aV = V2 - V1\uff1b
\u5229\u7528\u4e09\u89d2\u5f62\u76f8\u4f3c\u5173\u7cfb\uff1ah1/h2 = r1/(r2 - r1)\uff0c\u6240\u4ee5 h1 = r1/(r2 - r1) * h2\uff0c
\u4ee3\u5165\u5706\u53f0\u4f53\u79ef\u516c\u5f0f\uff0c\u5e76\u5316\u7b80\u5f97\uff1a
V = 1/3 * PI * (r1^2 + r1* r2 + r2^2) * h2\uff0c\u5176\u4e2d r1 \u4e3a\u5706\u53f0\u4e0a\u5e95\u9762\u534a\u5f84\uff0cr2 \u4e3a\u5706\u53f0\u4e0b\u5e95\u9762\u534a\u5f84\uff0ch2 \u4e3a\u5706\u53f0\u7684\u9ad8\uff0c
\u9644\uff1a
(1) \u51e0\u4e2a\u5316\u7b80\u516c\u5f0f\uff1a
x^2 - y^2 = (x+y)(x-y);
x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + x*y + y^2)
(2) \u5706\u9525\u4f53\u79ef\u516c\u5f0f\u5f88\u591a\u5730\u65b9\u53ef\u4ee5\u627e\u5230
为便于叙述，设棱台的上下底面半径分别为r与R，高为h。将棱台补成圆锥，则小圆锥与大圆锥的相似比为r：R，则可以设小圆锥与大圆锥的高分别为r·x与R·x，则R·x－r·x＝h，则x＝h/(R-r)。
而圆台的体积＝大圆锥的体积－小圆锥的体积＝（1/3）·π·R＾2·R·x－（1/3）·π·r＾2·r·x＝（1/3）·π·（R＾3－r＾3）·x。将前面x代入上式得，圆台的体积＝（1/3）·π·（R＾3－r＾3）·[h/(R-r)]，利用三次立方差公式分解因式并约分得，圆台的体积＝（1/3）·πh·（R＾2＋R·r＋r＾2）。
在此基础上，要转化成用圆台两个底面积表示的形式，也不难。证明完毕。
要说推导过程啊……这应该是要用微积分的。就象圆的面积的推导那样，可以用两种办法，一是把圆台横向拆成一片一片的圆片，每一片按圆柱算积分积起来；另一种是像切圆那样把圆台从圆心纵向切成一片一片的，每一片按照梯台算，再积起来。
当然，如果预先知道了圆锥的体积公式，那就用大圆椎减去小圆椎算即可：＝1/3 派R^2-1/3 派r^2＝1/3派（R^2－r^2）
将圆台补成圆椎 则圆台的体积等于大圆椎减去小圆椎的体积 圆椎的体积公式为V=1/3底面积乘高
祖暅原理?还是极限思想?
课本
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