三角形的内心、外心、旁心、重心、垂心的公式有哪些
一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆周角定理.
圆周角定理:
同弧所对圆周角是圆心角的一半.
证明略(分类思想,3种,半径相等)
圆周角推论1:
半圆(弧)和半径所对圆周角是90‵.
90‵圆周角所对弦是直径.
(常用辅助线:已知直径,作其所对圆周角;已知90‵圆周角,作其所对弦,即直径.)
圆周角推论2:
同(等)弧所对圆周角相等.
同(等)圆中,相等的圆周角所对弧相等.
二、重心
三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每
条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.
中线长度公式:在三角形ABC中，D为BC上的中点，设BD=DC=n,AD=m,AB=a
AC=b,则有
2（m2+n2)=a2+b2
三、垂心
三角形的三条高线交于一点.三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角
三角形的垂心在三角形外。
四、内心
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
例：⊙O是△ABC的内切圆，△ABC是⊙O的一个外切三角形，点O叫做△ABC的内心.
张角公式:,设点C在线段AB上,AB外一点P对线段AC、BC的张角分别为γ、β,则sin(γ+β)/PC=sinγ/PB+sinβ/PA.
三角形内角平分线性质定理:三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
五、旁心
与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁心.
例：图中⊙O1、⊙O2、⊙O3都是△ABC的旁切圆，点O1、O2、O3叫做△ABC的旁心.
三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等，就是三角形的旁心.
三角形有三个旁切圆，三个旁心.
重心定理
三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．
上述交点叫做三角形的重心.
外心定理
三角形的三边的垂直平分线交于一点．
这点叫做三角形的外心.
垂心定理
三角形的三条高交于一点．
这点叫做三角形的垂心.
内心定理
三角形的三内角平分线交于一点．
这点叫做三角形的内心.
旁心定理
三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．
这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．
重心是三角形三边中线的交点
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1
重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均
三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
锐角三角形垂心在三角形内部。
直角三角形垂心在三角形直角顶点。
钝角三角形垂心在三角形外部。
内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。
内心到三边距离相等（为内切圆半径）
若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。
直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。
到外心到三角形的三个顶点距离相等
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