求心形线r=a(1+cosα)(a>0)所围平面图形绕极轴旋转一周而成的旋转体的体积,求详细过程
极轴就是θ=0的射线，或者不准确的讲就是X轴正半轴。显然，心形线关于极轴对称，取其上半部分图形（0<θ<π）
绕极轴旋转所称立体的体积微元：
dV=π*|y|^2*ds
ds=rdθ
y=rsinθ
所以
V=∫π(rsinθ)^2*rdθ （积分限从0到π，下同） =π*∫r^3*(sinθ)^2dθ
=πa^3*∫(1+cosθ)^3*(sinθ)^2dθ （令t=θ/2）
=πa^3*∫[2(cost)^2]^3*(2sintcost)^2*2dt(积分限从0到π/2，下同)
=64πa^3*∫(cost)^8*(sint)^2dt
=64πa^3*[∫(cost)^8dt-∫(cost)^10dt] (用华里士公式)
=64πa^3*(π/2)*[(7*3*5*1)/(8*6*4*2)-(9*7*5*3*1)/(10*8*6*4*2)]
=32π^2*a^3*7/256
=7π^2*a^3/8
扩展资料：
在某点切线的方向不是确定的，这就使得我们无法从切线开始入手，这就需要我们来研究导数处处不为零的这一类曲线，我们称它们为正则曲线。正则曲线才是经典曲线论的主要研究对象。
处处转折的曲线一般具有无穷大的长度和零的面积，这时，曲线本身就是一个大于1小于2维的空间。
直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。曲线的更严格的定义是区间α，b)到E3中的映射r:α,b)E3。
对于平面曲线，与空间曲线论基本定理相仿，它的形态由其相对曲率kr(s)所确定,故kr(s)的极值自然是令人感兴趣的。
相对曲率kr(s)的逗留点，的点称为曲线的顶点，对于凸闭曲线，即位于其上每一点的切线的一侧的曲线，成立著名的四顶点定理：平面凸闭曲线至少有四个顶点，因为椭圆只有四个顶点，所以这个结论不能再改进。
绛旓細璁＄畻鐨勫彧鏄孩鑹查儴鍒嗛潰绉細涓(1/2)蟺a²濡傛灉瑕佹眰鐨勯潰绉槸r 鈮 a(1 + cos胃)锛宺 鈮 2acos胃閮ㄥ垎鐨勮瘽 杩欏崟鐙槸r = 2acos胃鍥存垚鐨勯潰绉紝涓合a²锛屽洜涓哄績褰㈢嚎鎶婅繖鏁翠釜鍦嗗舰閮藉寘鍥村湪鍐呫
绛旓細鏄剧劧锛蹇冨舰绾鍏充簬鏋佽酱瀵圭О锛屽彇鍏朵笂鍗婇儴鍒嗗浘褰紙0<胃<蟺锛夌粫鏋佽酱鏃嬭浆鎵绉扮珛浣撶殑浣撶Н寰厓锛歞V=蟺*|y|^2*ds ds=rd胃 y=rsin胃 鎵浠 V=鈭(rsin胃)^2*rd胃 锛堢Н鍒嗛檺浠0鍒跋锛屼笅鍚岋級 =蟺*鈭玶^3*(sin胃)^2d胃 =蟺a^3*鈭(1+cos胃)^3*(sin胃)^2d胃 锛堜护t=胃/2锛=蟺a^3*...
绛旓細蹇冨舰绾縭=a(1+cos胃)缁曟瀬杞存棆杞竴鍛ㄤ骇鐢熺珛浣撶殑浣撶Н鏄7蟺^2*a^3/8銆俈=鈭(rsin胃)^2*rd胃 锛堢Н鍒嗛檺浠0鍒跋锛屼笅鍚岋級 =蟺*鈭玶^3*(sin胃)^2d胃 =蟺a^3*鈭(1+cos胃)^3*(sin胃)^2d胃 锛堜护t=胃/2锛=蟺a^3*鈭玔2(cost)^2]^3*(2sintcost)^2*2dt(绉垎闄愪粠0鍒跋/2锛...
绛旓細蟺脳(rsint)^2脳d(rcost)绉垎绉垎涓婁笅闄愪负0鍒跋/4 鎶r=4(1+cost)浠ｅ叆 绛変簬-64蟺脳(sint+sintcost)^2脳(sint+costsint)脳dt 绉垎灏辫浜 鐧惧害涓涓 灏辨湁鐨勫晩
绛旓細绗涘崱灏蹇冨舰绾鍏紡鏄粈涔堬細姘村钩鏂瑰悜锛r=a (1-cos胃)鎴杛=a (1+cos胃) (a>0)鎴栧瀭鐩存柟鍚戯細r=a (1-sin胃)鎴杛=a (1+sin胃) (a>0)銆傜瑳鍗″皵鏈涓轰笘浜虹啛鐭ョ殑鏄叾浣滀负鏁板瀹剁殑鎴愬氨銆備粬浜1637骞村彂鏄庝簡鐜颁唬鏁板鐨勫熀纭宸ュ叿涔嬩竴鈥斺斿潗鏍囩郴锛屽皢鍑犱綍鍜屼唬鏁扮浉缁撳悎锛屽垱绔嬩簡瑙ｆ瀽鍑犱綍瀛︺傚悓鏃讹紝浠栦篃鎺ㄥ鍑...
绛旓細绛旀涓猴細3蟺/2*a^2 2sqrt(2)蟺a^2(1 cos胃)^(3/2)d胃鎶婄Н鍒嗗彉閲忎唬鎹㈡垚胃/2 鍙互姣旇緝褰撶劧 濡傛灉璇蹇冨舰绾鍑硅繘鍘荤殑閮ㄥ垎涓嶇畻渚ч潰绉 鍙姹傚嚭娌挎瀬杞存柟鍚戠椤剁偣鏈杩 鏁板琛ㄨ揪鏂规硶锛氭瀬鍧愭爣鏂圭▼锛氭按骞虫柟鍚戯細 蟻=a(1-cos胃) 鎴 蟻=a(1+cos胃) (a>0)鍨傜洿鏂瑰悜锛 蟻=a(1-sin胃) 鎴 蟻=...
绛旓細鐢ㄥ畾绉垎鏉ユ眰锛屾牴鎹叕寮忥紝蹇冨瀷绾跨殑闀垮害璁句负L锛岄偅涔 L=鈭(r^2+r'^2)^(1/2)d胃 鍏朵腑锛宺'琛ㄧずr鐨勫鏁帮紝绉垎涓婇檺2蟺锛屼笅闄愪负0 L=鈭珄[a(1+cos胃)]^2+(asin胃)^2}^(1/2)d胃 =a*鈭玔2+2cos胃)^(1/2)d胃 =2a*鈭珅cos(胃/2)|d胃=2a*[鈭玞os(胃/2)d胃 (涓婇檺涓合锛屼笅闄...
绛旓細濡傛灉瑕佹眰鐨勯潰绉槸r 鈮 a(1 + cos胃),r 鈮 2acos胃閮ㄥ垎锛岃繖鍗曠嫭鏄r = 2acos胃鍥存垚鐨勯潰绉紝涓合a²锛屽洜涓蹇冨舰绾鎶婅繖鏁翠釜鍦嗗舰閮藉寘鍥村湪鍐呫傚鏋滅Н鍒嗗尯鍩熷叧浜嶺杞村绉帮紝閭ｄ箞姝ゆ椂灏遍渶瑕佺湅琚Н鍑芥暟鍏充簬Y鏄鍑芥暟杩樻槸鍋跺嚱鏁帮紝杩愮敤鍋跺嶅闆剁殑娉曞垯銆傚弽涔嬩害鐒躲傞渶瑕佽鏄庣殑涓鐐瑰氨鏄Н鍒嗙殑瀵圭О鎬ц繍鐢...
绛旓細x=rcos胃=a锛1+cos胃锛塩os胃 y=rsin胃=a锛1+cos胃锛塻in胃 锛坸锛寉锛変负鍧愭爣锛屛镐负鍙傛暟銆傚渾鐨勫弬鏁版柟绋 x=a+r cos胃 y=b+r sin胃锛埼糕垐 [0锛2蟺) 锛 (a,b) 涓哄渾蹇冨潗鏍囷紝r 涓哄渾鍗婂緞锛屛 涓哄弬鏁帮紝(x锛寉) 涓虹粡杩囩偣鐨勫潗鏍囥傛き鍦嗙殑鍙傛暟鏂圭▼ x=a cos胃銆 y=b sin胃锛埼糕垐[0锛...
绛旓細蹇冭剰绾縭=a(1+ cos胃)鐨勫浘鍍忓彲浠ョ敾鍗婂緞涓篴鐨勫渾缁曠潃涓庡叾鍗婂緞鐩哥瓑鐨勫渾r1=-a路sin胃鎵褰㈡垚鐨勮建杩癸紝a鐨勫叧绯绘槸褰卞搷骞呭害澶у皬銆俽=a(1-sin胃)鐨勬暟瀛﹀潗鏍囧浘鐗囷紝鏄竴涓渾涓婄殑鍥哄畾涓鐐瑰湪瀹冪粫鐫涓庡叾鐩稿垏涓斿崐寰勭浉鍚岀殑鍙﹀涓涓渾鍛ㄦ粴鍔ㄦ椂鎵褰㈡垚鐨勮建杩癸紝鍥犲叾褰㈢姸鍍忓績褰㈣屽緱鍚嶃傚績鑴忕嚎锛氫互cardioid (heart-...
